Расчет металлической балки на прогиб: учимся составлять формулы

Приветствую тебя, читатель экспресс-курса — «сопромат для чайников» на сайте – SoproMats.ru. Меня зовут Константин Вавилов, я являюсь автором статей по сопромату и других материалов данного ресурса. В этой статье, будем рассматривать универсальную методику расчета прогибов балки — метод начальных параметров. Как и любая другая статья для чайников, на нашем проекте, этот материал будет изложен максимально просто, лаконично и без лишних заумных терминов.

В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

Что такое прогиб балки?

Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).

Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.

ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.

Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)

Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

• в опорах прогибы равны нулю;
• в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.

Учитывая эти хитрости, их называют еще граничными условиями, определяются перемещения в других частях балки.

Расчет прогибов балки

Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

Реакции опор

Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.

Если ты не знаешь, как определять реакции, то рекомендую изучить данный материал, где я как раз рассказываю, как они определяются на примере этой балки:

Система координат

Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

Распределенная нагрузка

Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.

Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.

Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:

Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

\[ { V }_{ A }=0\quad при\quad x=0 \]

\[ { V }_{ B }=0\quad при\quad x=8м \]

Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=… \]

Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+ … \]

Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 4+… \]

Учет внешней нагрузки

И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:

• Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, которые направленны вверх, то есть совпадают с направлением оси y, в уравнении записываются со знаком «плюс». Если они направленны наоборот, соответственно, со знаком «минус»:

• Моменты, направленные по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:

• Все сосредоточенные моменты нужно умножать дробь:

\[ M\cdot \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \]

• Все сосредоточенные силы нужно умножать дробь:

\[ F\cdot \frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } \]

• Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:

\[ q\cdot \frac { { x }^{ 4 } }{ 24 } \]

Откуда такие цифры и степени взялись? Все эти вещи вытекают при интегрировании дифференциального уравнения упругой линии балки, в методе начальных параметров все эти выводы опускаются, то есть он является как бы упрощенным и универсальным методом.

Формулы прогибов

С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 4+\frac { { R }_{ A }\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot { 2 }^{ 4 } }{ 24 } \]

В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.

Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ B }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 8+\frac { { R }_{ A }\cdot { 8 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 8 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot 6^{ 4 } }{ 24 } +\frac { q\cdot 2^{ 4 } }{ 24 } =0 \]

Упрощаем уравнение:

\[ E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 8+874.67=0 \]

Выражаем угол поворота:

\[ { \theta }_{ A }=-\frac { 874.67 }{ 8E{ I }_{ z } } =-\frac { 109.33кН{ м }^{ 2 } }{ E{ I }_{ z } } \]

Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=\frac { -109.33\cdot 4E{ I }_{ z } }{ E{ I }_{ z } } +\frac { { R }_{ A }\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot { 2 }^{ 4 } }{ 24 } =-\frac { 280кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ z } } \]

Вычисление прогиба

Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:

\[ { V }_{ C }=-\frac { 280кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ z } } =-\frac { 280\cdot { 10 }^{ 9 }Н\cdot { см }^{ 3 } }{ 2\cdot { 10 }^{ 7 }\frac { Н }{ { см }^{ 2 } } \cdot 7080{ см }^{ 4 } } =-2см \]

Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.

На этом, пожалуй, закончу данный урок. Если у вас возникли какие-либо вопросы по представленным материалам, задавайте вопросы в комментариях к этой статье. А также рекомендую вам посмотреть другие примеры определение прогибов этим методом. Там вы найдете более сложные задачи, определение углов поворотов, примеры расчета консольных балок (с жесткой заделкой).

sopromats.ru

Расчет прогиба балки на двух опорах

Процесс проектирования современных строений и построек регулируется огромным количеством различных строительных норм и правил. В большинстве случаев нормы требуют обеспечения определенных характеристик, например, деформации или прогиба балок плит перекрытия под статической или динамической нагрузкой. Например, СНиП № 2.09.03-85 определяет для опор и эстакад прогиб балки не более чем в 1/150 длины пролета. Для чердачных перекрытий этот показатель составляет уже 1/200, а для межэтажных балок и того меньше – 1/250. Поэтому одним из обязательных этапов проектирования является выполнение расчета балки на прогиб.

Способы выполнить расчет и проверку на прогиб

Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность.

Просчитать прогиб конструкции можно несколькими способами:

• Воспользоваться программным онлайн-калькулятором, в котором «зашиты» стандартные условия, и не более того;
• Использовать готовые справочные данные для различных типов и видов балок, для различных опор схем нагрузок. Нужно только правильно идентифицировать тип и размер балки и определить искомый прогиб;
• Посчитать допустимый прогиб руками и своей головой, большинство проектировщиков так и делают, в то время как контролирующие архитектурные и строительные инспекции предпочитают второй способ расчета.

Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет.

Методика выполнения расчета на прогиб

Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета.

Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото.

В нашем случае балка:

1. Имеет прямоугольное сечение S=b*h, длина опирающейся части составляет L;
2. Линейка нагружена силой Q, проходящей через центр тяжести изгибаемой плоскости, в результате чего концы поворачиваются на небольшой угол θ, с прогибом относительно начального горизонтального положения, равным f;
3. Концы балки опираются шарнирно и свободно на неподвижных опорах, соответственно, не возникает горизонтальной составляющей реакции, и концы линейки могут перемещаться в произвольном направлении.

Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ, где Е – справочная величина, R— усилие, Δ— величина деформации тела.

Вычисляем моменты инерции и сил

Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е). Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е).

Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже.

Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е).

Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил M_max = q*L*2/8, соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е). Величину b·h²/6 называют моментом инерции и обозначают W. В итоге получается Δх = M·х/(W·Е) основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E через момент инерции и изгибающий момент.

Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L²/8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления.

Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h³/12, где b и h – размеры сечения балки.

Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150.

Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя.

Формулы для практического использования

На практике чаще всего стоит обратная задача – определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии.

Совет! В вопросе расчета предельного состояния балки по величине прогиба неоценимую услугу оказывают требования СНиПа. Устанавливая предел прогиба в относительной величине, например, 1/250, строительные нормы существенно облегчают определение аварийного состояния балки или плиты.

Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения.

Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем:

• Первоначально измеряется геометрия плиты или балки, фиксируется величина прогиба;
• По измеренным параметрам определяется сортамент балки, далее по справочнику выбирается формула момента инерции;
• По прогибу и моменту инерции определяют момент силы, после чего, зная материал, можно выполнить расчет реальных напряжений в металлической, бетонной или деревянной балке.

Вопрос – почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L²/(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия.

Ответ  прост — необходимо непросто рассчитать, но и сохранить на бумаге ход выполнения проверочного расчета, чтобы сделанные выводы о состоянии перекрытия можно было проверить и перепроверить по всем этапам проверки.

Совет! Используйте в своих расчетах существующие ведомственные сборники различных проектных организаций, в которых в сжатом виде сведены все необходимые формулы для определения и расчета предельного нагруженного состояния.

Заключение

Аналогичным образом поступает большинство разработчиков и проектантов серьезных построек. Программа – это хорошо, она помогает очень быстро выполнить расчет прогиба и основных параметров нагружения перекрытия, но важно также предоставить заказчику документальное подтверждение полученных результатов в виде конкретных последовательных расчетов на бумаге.

Что еще почитать по теме?

Автор статьи:

Сергей Новожилов — эксперт по кровельным материалам с 9-летним опытом практической работы в области инженерных решений в строительстве.

Понравилась статья? Поделись с друзьями в социальных сетях:

Facebook

Twitter

Вконтакте

Одноклассники

Google+

proroofer.ru

Расчет несущей способности и прогиба деревянных балок

Чтобы построить деревянный дом необходимо провести расчёт несущей способности деревянной балки. Также особое значение в строительной терминологии имеет определение  прогиба.

Без качественного математического анализа всех параметров просто невозможно построить дом из бруса. Именно поэтому перед тем как начать строительство крайне важно правильно рассчитать прогиб деревянных балок. Данные расчёты послужат залогом вашей уверенности в качестве и надёжности постройки.

Что нужно для того чтобы сделать правильный расчёт

Расчёт несущей способности и прогиба деревянных балок не такая простая задача, как может показаться на первый взгляд. Чтобы определить, сколько досок вам нужно, а также, какой у них должен быть размер необходимо потратить немало времени, или же вы просто можете воспользоваться нашим калькулятором.

Во-первых, нужно замерить пролёт, который вы собираетесь перекрыть деревянными балками. Во-вторых, уделите повышенное внимание методу крепления. Крайне важно, насколько глубоко фиксирующие элементы будут заходить в стену. Только после этого вы сможете сделать расчёт несущей способности вместе с прогибом и ряда других не менее важных параметров.

Длина

Перед тем как рассчитать несущую способность и прогиб, нужно узнать длину каждой деревянной доски. Данный параметр определяется длиной пролёта. Тем не менее это не всё. Вы должны провести расчёт с некоторым запасом.

Важно! Если деревянные балки заделываться в стены — это напрямую влияет на их длину и все дальнейшие расчёты.

При подсчёте особое значение имеет материал, из которого сделан дом. Если это кирпич, доски будут монтироваться внутрь гнёзд. Приблизительная глубина около 100—150 мм.

Когда речь идёт о деревянных постройках параметры согласно СНиПам сильно меняются. Теперь достаточно глубины в 70—90 мм. Естественно, что из-за этого  также изменится конечная несущая способность.

Если в процессе монтажа применяются хомуты или кронштейны, то длина брёвен или досок соответствует проёму. Проще говоря, высчитайте расстояние от стены до стены и в итоге сможете узнать несущую способность всей конструкции.

Важно! При формировании ската крыши брёвна выносятся за стены на 30—50 сантиметров. Это нужно учесть при подсчёте способности конструкции противостоять нагрузкам.

К сожалению, далеко не всё зависит от фантазии архитектора, когда дело касается исключительно математики. Для обрезной доски максимальная длина шесть метров. В противном случае несущая способность уменьшается, а прогиб становится больше.

Само собой, что сейчас не редкость дома, у которых пролёт достигает 10—12 метров. В таком случае используется клееный брус. Он может быть двутавровым или же прямоугольным. Также для большей надёжности можно использовать опоры. В их качестве идеально подходят дополнительные стены или колоны.

Совет! Многие строители при необходимости перекрыть длинный пролёт используют фермы.

Общая информация по методологии расчёта

В большинстве случаев в малоэтажном строительстве применяются однопролётные балки. Они могут быть в виде брёвен, досок или брусьев. Длина элементов может варьироваться в большом диапазоне. В большинстве случаев она напрямую зависит от параметров строения, которые вы собираетесь возвести.

Внимание! Представленный в конце странички калькулятор расчета балок на прогиб позволит вам просчитать все значения с минимальными затратами времени. Чтобы воспользоваться программой, достаточно ввести базовые данные.

Роль несущих элементов в конструкции выполняют деревянные бруски, высота сечения которых составляет от 140 до 250 мм, толщина лежит в диапазоне 55—155 мм. Это наиболее часто используемые параметры при расчёте несущей способности деревянных балок.

Очень часто профессиональные строители для того чтобы усилить конструкцию используют перекрёстную схему монтажа балок. Именно эта методика даёт наилучший результат при минимальных затратах времени и материалов.

Если рассматривать длину оптимального пролёта при расчёте несущей способности деревянных балок, то лучше всего ограничить фантазию архитектора в диапазоне от двух с половиной до четырёх метров.

Внимание! Лучшим сечением для деревянных балок считается площадь, у которой высота и ширина соотносятся как 1,5 к 1.

Как рассчитать несущую способность и прогиб

Стоит признать, что за множество лет практики в строительном ремесле был выработан некий канон, который чаще всего используют для того, чтобы провести расчёт несущей способности:

M/W<=Rд

Расшифруем значение каждой переменной в формуле:

• Буква М вначале формулы указывает на изгибающий момент. Он исчисляется в кгс*м.
• W обозначает момент сопротивления. Единицы измерения см³.

Расчёт прогиба деревянной балки является частью, представленной выше формулы. Буква М указывает нам на данный показатель. Чтобы узнать параметр применяется следующая формула:

M=(ql²)/8

В формуле расчёта прогиба есть всего две переменных, но именно они в наибольшей степени определяют, какой в конечном итоге будет несущая способность деревянной балки:

• Символ q показывает нагрузку, которую способна выдержать доска.
• В свою очередь буква l — это длина одной деревянной балки.

Внимание! Результат расчёт несущей способности и прогиба зависит от материала из которого сделана балка, а также от способа его обработки.

Насколько важно правильно рассчитать прогиб

Этот параметр крайне важен для прочности всей конструкции. Дело в том, что одной стойкости бруса недостаточно для долгой и надёжной службы, ведь со временем его прогиб под нагрузкой может увеличиваться.

Прогиб не просто портит эстетичный вид перекрытия. Если данный параметр превысит показатель в 1/250 от общей длины элемента перекрытия, то вероятность возникновения аварийной ситуации возрастёт в десятки раз.

Так зачем нужен калькулятор

Представленный ниже калькулятор позволит вам моментально просчитать прогиб, несущую способность и многие другие параметры без использования формул и подсчётов. Всего несколько секунд и данные по вашему будущему дому будут готовы.

bouw.ru

Расчет балки на прогиб

Однопролетные балки на двух шарнирных опорах
1	Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке	Смотреть расчет
2	Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух сосредоточенных нагрузках	Смотреть расчет
3	Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке	Смотреть расчет
4	Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке	Смотреть расчет
5	Расчет балки на двух шарнирных опорах при действии изгибающего момента	Смотреть расчет
Балки с жестким защемлением на двух опорах
6	Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной сосредоточенной нагрузке	Смотреть расчет
7	Расчет балки с жестким защемлением на опорах при двух сосредоточенных нагрузках	Смотреть расчет
8	Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке	Смотреть расчет
9	Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке	Смотреть расчет
10	Расчет балки с жестким защемлением на опорах при действии изгибающего момента	Смотреть расчет
Балки с жестким защемлением на одной опоре (консольные)
11	Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной сосредоточенной нагрузке	Смотреть расчет
12	Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной равномерно-распределенной нагрузке	Смотреть расчет
13	Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной неравномерно-распределенной нагрузке	Смотреть расчет
14	Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при действии изгибающего момента	Смотреть расчет
Балки двухпролетные
15	Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной сосредоточенной нагрузке	Смотреть
16	Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при двух сосредоточенных нагрузках	Смотреть
17	Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной равномерно-распределенной нагрузке	Смотреть
18	Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке	Смотреть
19	Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке	Смотреть

saitinpro.ru

Расчет прогиба балки методом начальных параметров

В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки, работающей на изгиб. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.

Теория по методу начальных параметров

Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым, охватим всю теоретическую часть по максимуму. Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:

Выбор базы и обозначение системы координат

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки. Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях, упростит  немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом решения задач на метод начальных параметров.

Универсальное уравнение прогибов для балки

После введения базы, системы координат и обозначении расстояний а, б, в, г записываем универсальную формулу, с помощью которой, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки): Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем так сказать:

• E – модуль упругости;
• I – момент инерции;
• V_k – прогиб сечения K;
• V_O – прогиб сечения O;
• θ_O – угол поворота сечения О.

Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.

Итак, изучаем эту формулу с лева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае V_k, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIV_O:

Также всегда учитывается угол поворота сечения совпадающего с выбранной базой. Причем, произведение EIθ_O всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку находящуюся слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:

В случае с моментами, скоба возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен почасовой стрелке и отрицательным, соответственно, когда против часовой стрелки.

Учет распределенной нагрузки

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки, но конец ее совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, поэтому в уравнение попадает только ее начало.

Причем важно, даже если бы в этом сечении была бы сила или момент, их бы так же не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.

Для распределенной нагрузки скобочка возводится в 4 степень и делится на 24. Правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил:

Граничные условия

Чтобы решить уравнение нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: V_K, VO и θ_O. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и ни каких поворотов, то есть V_O=0 и θ_O=0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.

Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был бы уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в другой моей статье, посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах.

Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров.  Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.

Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

Пример расчета прогиба балки

Для закрепления пройденного материала, предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок. Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·10⁵ МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см⁴). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.

Подготовительный этап

Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки, проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:

В методе начальных параметров, есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае, рассматриваемый метод будет работать. В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м. от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае, нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно-направленной нагрузкой. Тем самым, в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:

Расчет прогиба

Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:

V_A = 0 при x = 6м

θ_A = 0 при x = 6м

Напомню, что нас, в этом примере, интересует прогиб сечения O (V_O). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:

В полученном уравнении, у нас содержится две неизвестные величины: искомый прогиб V_O и угол поворота этого сечения — θ_O:

Таким образом, чтобы решить поставленную задачу, составим дополнительное уравнение, но только теперь, не прогибов, а углов поворотов, для сечения A:Из второго уравнения, найдем угол поворота:После чего, рассчитываем искомый прогиб:

Таким образом, свободный торец такой балки, прогнется практически на 6 см. Данную задачу, можно решить несколько проще, если ввести базу с правого торца. В таком случае, для решения потребовалось бы лишь одно уравнение, однако, оно было бы немного объемнее, т.к. включало реакции в заделке.

ssopromat.ru

Основы сопромата, расчет прогиба балки

Cодержание:

Основы сопромата кратко.

1. Виды опор.

1.1. Шарнирные опоры.

Расчетная длина (пролет) балки.

1.2. Опорные связи шарнирно закрепленной балки.

1.3 Жесткое защемление на опорах.

1.4. Скользящие заделки.

2. Нагрузки (внешние силы).

3. Напряжения (внутренние силы).

4. Реакции опор.

5. Уравнения статического равновесия.

4.1. Определение опорных реакций.

6. Уравнения изгибающего момента.

7. Балка на двух шарнирных опорах.

8. Консольная балка.

9. Метод сечений.

10. Определение момента сопротивления.

11. Определение угла поворота.

12. Определение прогиба.

13. Определение угла поворота через прогиб.

14. Список использованной литературы.

Расчет прогиба балки не то, чтобы такой уж сложный, но для того, чтобы каждый раз не повторять одни и те же операции при расчете и этим максимально сократить время расчета, специалисты по сопромату уже давно вывели формулы для наиболее вероятных вариантов опор балок и нагрузок, действующих на балки. Достаточно только определиться с расчетной моделью балки и формула для расчета прогиба к Вашим услугам. Но аксиомы: «если хочешь, чтобы работа была сделана хорошо, сделай это сам» пока никто не отменял. Дело в том, что в разного рода справочниках и пособиях иногда бывают опечатки или ошибки, поэтому использовать готовые формулы не всегда есть хорошо.

11. Определение угла поворота.

(вернуться к основному содержанию)

Прогиб строительной конструкции, а в нашем случае балки — единственная величина, которую проще всего определить опытным путем и сложнее всего теоретическим. Когда мы прикладывали к линейке нагрузку (давили на нее пальцем или мощью своего интеллекта), то невооруженным глазом видели, что линейка прогибалась:

Рисунок 11.1. Перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в центре балки и угол поворота продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения, на одной из опор.

Если бы мы хотели определить величину прогиба опытным путем, то достаточно было бы измерить расстояние от стола, на котором лежат книги (на рисунке не показан) до верха или низа линейки, затем приложить нагрузку и измерить расстояние от стола до верха или низа линейки. Разница в расстояниях — это и есть искомый прогиб (на фотографии величина прогиба обозначена оранжевой линией):

Фотография 1.

Но попробуем прийти к тому же результату, следуя по тернистому пути теории сопромата.

Так как балка прогнулась (в хорошем значении этого слова), получается, что и продольная ось, проходящая через центры тяжести поперечных сечений всех точек балки, и до приложения нагрузки совпадавшая с осью х, сместилась. Это смещение центра тяжести поперечного сечения по оси у называется прогибом балки f. Кроме того, очевидно, что на опоре эта самая продольная ось теперь находится под некоторым углом θ к оси х, а в точке действия сосредоточенной нагрузки угол поворота = 0, так как нагрузка у нас приложена посредине и балка прогнулась симметрично. Угол поворота принято обозначать «θ«, а прогиб «f» (во многих справочниках по сопромату прогиб обозначается как «ν«, «w» или любыми другими литерами, но нам, как практикам, удобнее использовать обозначение «f«, принятое в СНиПах).

Как определить этот самый прогиб мы пока не знаем, но зато мы знаем, что нагрузка, действуя на балку, создает изгибающий момент. А изгибающий момент создает внутренние нормальные сжимающие и растягивающие напряжения в поперечных сечениях балки. Эти самые внутренние напряжения приводят к тому, что в верхней части балка сжимается, а в нижней растягивается, при этом длина балки по оси, проходящей через центры тяжести поперечных сечений остается такой же, в верхней части длина балки уменьшается, а в нижней части увеличивается, причем чем дальше расположены точки поперечных сечений от продольной оси, тем больше будет деформация. Определить эту самую деформацию мы можем используя еще одну характеристику материала — модуль упругости.

Если мы возьмем кусок бинтовой резины и попробуем его растянуть, то обнаружим, что резина растягивается очень легко, а выражаясь по научному деформируется на значительную величину при воздействии даже небольшой нагрузки. Если мы попробуем проделать то же самое с нашей линейкой, то растянуть ее даже на десятые доли миллиметра руками вряд ли получится, даже если прилагать к линейке нагрузку в десятки раз большую, чем к бинтовой резине. Это свойство любого материала описывается модулем Юнга, который часто называется просто модулем упругости. Физический смысл модуля Юнга при максимально допустимом загружении рассчитываемой конструкции примерно следующий: модуль Юнга показывает отношение нормальных напряжений, (которые при максимально допустимом загружении равны расчетному сопротивлению материала к относительной деформации при таком загружении:

E = R/Δ (11.1.1)

а это значит, что для работы материала в области упругих деформаций значение внутренних нормальных напряжений, действующих не абстрактно, а на вполне определенную площадь сечения, с учетом относительной деформации не должно превышать значения модуля упругости:

E ≥ N/ΔS (11.1.2)

в нашем случае балка имеет прямоугольное сечение, поэтому S = b·h, где b — ширина балки, h — высота балки.

Измеряется модуль Юнга в Паскалях или кгс/м². Для абсолютного большинства строительных материалов модули упругости определены эмпирическим путем, узнать значение модуля для того или иного материала можно по справочнику или сводной таблице.

Определить величину деформации для поперечного сечения, к которому приложена равномерно распределенная нагрузка или сосредоточенная сила в центре тяжести поперечного сечения, очень просто. В таком сечении возникают нормальные сжимающие или растягивающие напряжения, равные по значению действующей силе, направленные противоположно и постоянные по всей высоте балки (согласно одной из аксиом теоретической механики):

Рисунок 507.10.1

и тогда определить относительную деформацию, если известны геометрические параметры балки (длина, ширина и высота) несложно, простейшие математические преобразования формулы (11.1.2) дают следующий результат:

Δ = Q/(S·Е) (11.2.1) или Δ = q·h/(S·Е) (11.2.2)

Так как расчетное сопротивление показывает какую максимальную нагрузку можно приложить к определенной площади, то в данном случае мы можем рассматривать действие сосредоточенной нагрузки на всю площадь сечения нашей конструкции. В некоторых случаях важно определить деформации именно в точке приложения сосредоточенной нагрузки, но сейчас мы эти случаи не рассматриваем. Чтобы определить суммарную деформацию, нужно обе части уравнения умножить на длину балки:

Δl = Q·l/(b·h·Е) (11.2.3) или Δl = q·h·l/(b·h·Е) (11.2.4)

Но в рассматриваемом нами случае на поперечные сечения балки действует не сосредоточенная сила, приложенная к центру тяжести поперечного сечения, а изгибающий момент, который можно представить в виде следующей нагрузки:

Рисунок 149.8.3 

При такой нагрузке максимальные внутренние напряжения и соответственно максимальные деформации будут происходить в самой верхней и в самой нижней части балки, а посредине никаких деформаций не будет. Равнодействующую для такой распределенной нагрузки и плечо действия сосредоточенной силы мы находили в предыдущей части (2), когда определяли момент сопротивления балки. Поэтому теперь без особого труда можем определить суммарную деформацию в самой верхней и в самой нижней части балки:

Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) (11.3.1)

или

Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

так как W = b·h²/6 (10.6)

Эту же формулу мы можем получить и другим способом. Как мы знаем, момент сопротивления поперечного сечения балки должен удовлетворять следующему условию:

W ≥ М / R (10.3)

Если мы будем рассматривать эту зависимость как уравнение и заменим в этом уравнении значение R на ΔЕ, получим следующее уравнение:

W = М / ΔЕ (11.4.1)

И тогда:

М = WΔЕ (11.4.2) a Δ = M/(W·Е) (11.4.5) и соответственно Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

В результате деформации, которую мы только что определили, наша балка могла была бы выглядеть так:

Рисунок 11.2. Предполагаемая (для наглядности) деформация балки

то есть в результате деформаций самая верхняя и самая нижняя точки поперечного сечения сместятся на величину Δх. А это значит, что зная величину деформации и высоту балки, мы можем определить угол поворота θ поперечного сечения на опоре балки. Из школьного курса геометрии мы знаем, что отношение катетов прямоугольного треугольника (в нашем случае катеты Δх и h/2) равно тангенсу угла θ:

tgφ = Δх/(h/2) (11.5.1)

и тогда

tgφ = 2 M·х/(h·W·Е) (11.5.3)

Если вспомнить, что момент инерции — это момент сопротивления поперечного сечения, умноженный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения или наоборот, момент сопротивления — это момент инерции, разделенный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения:

W = I/(h/2) (10.7) или I = W·h/2 (10.7.2)

то мы можем заменить момент сопротивления на момент инерции:

tgφ = M·х/(I·Е) (11.5.4)

хотя делать это было не обязательно, но таким образом мы получили формулу угла поворота почти такой, как она дается во всех учебниках и справочниках по сопромату. Главное отличие в том, что обычно речь идет о угле поворота, а не о тангенсе угла. И хотя при малых деформациях значения тангенса угла и угол сопоставимы, но тем не менее угол и тангенс угла — это разные вещи (впрочем в некоторых справочниках, например: Фесик С.П. «Справочник по сопротивлению материалов» Киев: Будiвельник. — 1982 переход от тангенса к углу упоминается, хотя и без достаточных на мой взгляд объяснений). Более того, если быть совсем уж точным, то таким способом мы определяем отношение продольной деформации к высоте балки

Рассчитываемые элементы далеко не всегда имеют прямоугольное сечение, как наша рассматриваемая линейка. В качестве балок и перемычек могут использоваться различные горячекатаные профили, тесанные и не тесанные бревна и вообще все, что угодно. Тем не менее понимание принципов расчета момента инерции позволяет определить момент инерции для поперечного сечения любой, даже очень сложной геометрической формы. В абсолютном большинстве случаев вычислять самому момент инерции нет необходимости, для металлических профилей сложного сечения (уголки, швеллера, двутавры и др.) момент инерции, как впрочем и момент сопротивления определяется по сортаменту. Для элементов круглого овального, треугольного сечения и некоторых других видов сечения определить момент инерции можно по соответствующей таблице.

Если рассматривать суммарную деформацию всей балки, т.е. по всей длине l, то очевидно, что суммарная деформация при наших нагрузках не может быть только с одной стороны балки, как показано на рисунке 11.3.а:

Рисунок 11.3.

Так как к нашей балке нагрузка приложена посредине, в результате чего реакции на опорах, возникающие в результате действия нагрузки равны между собой и каждая равна половине приложенной нагрузки, то скорее при этих условиях суммарная деформация будет выглядеть так, как показано на рисунке 11.3.b и тогда в нашем конкретном случае угол наклона поперечного сечения на каждой из опор будет:

tgθ = M·х/(2IЕ) (11.5.5)

Пока мы определяли тангенс угла поворота простым графоаналитическим методом и в случае, когда нагрузка к балке приложена посредине, это у нас неплохо получилось. Но варианты приложения нагрузок к балке бывают всякие и хотя суммарная деформация всегда будет равна Δl, но угол наклона поперечных сечений на опорах может быть разным. Если мы присмотримся к формулам (11.5.4) и (11.5.5) повнимательнее, то увидим, что мы умножаем значение момента в некоторой точке на величину х, которая с точки зрения теоретической механики ни чем не отличается от понятия — «плечо действия силы». Получается, что для определения тангенса угла поворота мы должны умножить значение момента на плечо действия момента, и значит, понятие «плечо» можно применить не только к силе, но и к моменту. Когда мы использовали понятие плеча действия силы, открытое еще Архимедом, то мы и предполагали как далеко это может нас завести. Метод, показанный на рисунке 5.3, дал нам значение плеча момента = х/2. Теперь попробуем определить плечо момента другим способом (графоаналитический метод). Тут нам пригодятся эпюры, построенные для балки на шарнирных опорах:

               

          Рисунок 149.7.1                                                             Рисунок 149.7.2

Теория сопротивления материалов позволяет рассматривать внутренние нормальные напряжения, характеризуемые эпюрой «М» рисунка 149.7.1 для балки с постоянной жесткостью, как некую внешнюю фиктивную нагрузку. Тогда площадь эпюры «М» от начала балки до середины пролета — это фиктивная опорная реакция материала балки на равномерно изменяющуюся нагрузку. А фиктивный изгибающий момент — это площадь эпюры «М», умноженная на расстояние от центра тяжести эпюры «М» до рассматриваемой точки. Так как значение изгибающего момента посредине пролета составляет Ql/4, то площадь такой фигуры составит Ql/4(l/2)(1/2) = Ql²/16. А если это значение разделить на жесткость ЕI, то мы получим значение тангенса угла поворота.

Забегая наперед, определим значение прогиба. Расстояние от центра тяжести треугольной эпюры «М» до середины пролета равно l/6, тогда фиктивный изгибающий момент составит (Ql²/16)l/2 — (Ql²/16)l/6 = Ql³/48. Тогда прогиб f = Ql³/48EI. А так как эпюра моментов у нас расположена снизу балки, то такая фиктивная нагрузка будет в итоге давать отрицательное значение угла поворота и прогиба, что в общем-то логично, так как при таком действии нагрузки прогиб — смещение центра тяжести поперечного сечения будет происходить вниз по оси у.

Характерная особенность графоаналитического метода состоит в том, что количество вычислений можно еще сократить. Для этого нужно умножить площадь эпюры фиктивной нагрузки на расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат, а не до рассматриваемой точки на оси. Например, для вышеприведенного случая (Ql²/16)l/3 = Ql³/48

При равномерно распределенной нагрузке эпюра моментов описывается квадратичной параболой, определить площадь такой фигуры и расстояние до центра тяжести сложнее, но для того нам и нужны знания по геометрии, чтобы можно было определить площадь любой фигуры и положение центра тяжести такой фигуры.

Таким образом получается, что для балки, на которую действует сосредоточенная нагрузка в середине балки при х=l/2:

tgθ = М·(x/2)/(ЕI) = ((Ql/4)·(l/4))/(ЕI) = Ql²/(16EI) (11.6.1)

То, что мы только что делали называется интегрированием, ведь если умножить значение значение эпюры «Q» (рисунок 149.7.1) на длину действия нагрузки, мы тем самым определим площадь прямоугольника со сторонами «Q» и х, при этом площадь данного прямоугольника равняется значению эпюры «М» в точке х.

Теоретически получается, что мы можем определить значение тангенса угла поворота, интегрируя одно из уравнений моментов, составленных для нашей балки. Максимальное значение тангенса угла поворота для балки на двух шарнирных опорах, на которую действует сосредоточенная нагрузка посредине (рисунок 149.7.1), будет при х=l/2

tgθ = ∫Mdx/(EI) = ∫Axdx/(EI)= Ax²/(2EI) = (Q/2)·(l/2)²/(2ЕI) = Ql²/(16EI) (11.6.2)

где А — это реакция опоры = Q/2

При распределенной нагрузке интегрирование уравнения моментов: q(l/2)·x — qx²/2 для левой части балки дает следующий результат:

tgθ = ∫Mdx/(EI) = q·(l/2)·(l/2)²/(2ЕI) -q·(l/2)³/(6ЕI) = ql³/(24EI) (11.6.3)

Тот же результат мы получим и при использовании графо-аналитического метода.

Когда мы определяли угол поворота, то для наглядности предположили, что балка деформировалась так, как показано на рисунке 5.2, потом так, как показано на рисунке 11.3.b, потом мы выяснили, что если бы второй опоры не было, то балка повернулась вокруг первой опоры, но в действительности вторая опора есть и потому так балка деформироваться (при нашей нагрузке на балку) не может. Так как на опоре нет никакого вращающего момента и соответственно никаких внутренних напряжений, способных изменить геометрическую форму балки, то геометрическая форма балки на опоре остается неизменной, а внутренние напряжения, увеличивающиеся по ходу балки, деформируют балку все сильнее и это приводит к тому, что балка поворачивается вокруг шарнирных опор и этот угол поворота равен углу наклона поперечного сечения θ (так как мы рассматриваем балку-параллелепипед):

Рисунок 11.4. Реальная деформация балки.

 

Если мы просто постоим эпюру углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой посредине по уравнениям для левой и для правой части балки, то эпюра будет выглядеть так:

Рисунок 11.5.

Данная эпюра была бы правильной только для балки, изображенной на рисунке 5.3.а. Очевидно, что в нашем случае эпюра так выглядеть не может и для построения правильной эпюры нужно учесть, что поперечные сечения балки имеют наклон на обоих опорах, причем наклон этот одинаковый по значению, но разный по направлению а наклон поперечного сечения балки посредине =0. Если мы опустим эпюру на Ql²/16EI, которое мы получаем при интегрировании уравнения моментов для левой части балки и которое показывает угол наклона поперечного сечения именно на опоре, то получим эпюру следующего вида:

Рисунок 11.6.

Данная эпюра абсолютно точно показывает, изменение угла поворота поперечных сечений, вдоль всей балки, а значение тангенса угла поворота на левой опоре балки не что иное, как некая постоянная С₁, которую мы получаем, если интегрирование выполнять корректно. И тогда уравнение угла поворота для балки при данной нагрузке на участке 0<x<0.5l будет выглядеть так:

tgθ_х = — tgθ_A + Ax²/(2EI) (11.6.5)

Эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой визуально ни чем не отличается от эпюры углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой, разница только в том, что эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой — это кубическая парабола. Уравнение угла поворота для балки с равномерно распределенной нагрузкой будет выглядеть так:

tgθ_х = — tgθ_A + Ax²/(2EI) — qx³/(6ЕI) (11.6.6)

По поводу знаков в данном уравнении. «-» означает, что рассматриваемый член уравнения как бы пытается повернуть балку против часовой стрелки относительно рассматриваемого поперечного сечения, а «+» — по часовой стрелке. Впрочем и по эпюре углов поворота видно, что значение tgθ_А должно быть отрицательным. Таким образом, если сечение имеет наклон по часовой стрелке относительно оси х, то оно будет отрицательным, а если против часовой стрелки — то положительным.

 

Ну и теперь самое главное, все эти разборки с углом поворота поперечного сечения нужны нам были для того, чтобы определить прогиб балки.

12. Определение прогиба.

(вернуться к основному содержанию)

Как мы видим из рисунка 11.4, треугольник с катетами h/2 и Δх является подобным треугольнику с катетом Х и вторым катетом, равным f+у, а это значит, что теперь мы можем определить значение прогиба:

tgθ = (f + y)/Х (12.1)

тогда

f + y = tgθ·X (12.2.1) или f + y = М·x·Х/(2ЕI) (12.2)

при малых значениях х значение у близко к 0, но в более дальних точках сечения значение у увеличивается. Значение у — это и есть влияние на величину прогиба наличия второй опоры. Отметим, что это значение у показывает разницу между реальным наклоном продольной оси балки и наклоном продольной оси балки, если бы балка просто поворачивалась вокруг опоры, и получается, что значение у зависит от изменения угла поворота. Кроме того, мы опять получили уравнение, в котором значение прогиба в некоторой точке зависит от тангенса угла поворота (12.2.1) и таким образом получается, что у угла поворота тоже есть «плечо действия». Например при у=f/2 (если присмотреться к левой части фотографии 1, то посредине балки это где-то так и будет) мы бы получили следующую формулу для определения прогиба:

f = М·x²/(3ЕI) (12.3.1)

Но мы не будем ничего предполагать, а воспользуемся интегрированием. Если мы проинтегрируем уравнение моментов для левой части балки, то получим значение у (эпюра для у показана бирюзовым цветом на фотографии 1):

у =∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2)³/6EI = Ql³/(96EI) (12.3.2)

или площадь фиолетовой эпюры для левой части балки(рисунок 5.5), но нам нужна площадь голубой эпюры на левом участке балки (рисунок 5.6), которая в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры. Таким образом:

f =2∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2)³/6EI = Ql³/(48EI) (12.3.3)

Почему площадь голубой эпюры в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры, объяснить очень легко. Площадь треугольника равна 1/2 от площади прямоугольника с теми же сторонами, площадь фигуры, описанной квадратной параболой, составляет 1/3 от площади прямоугольника с теми же сторонами. Если бы мы развернули фиолетовую эпюру, то получили бы прямоугольник, образованный голубой и фиолетовой эпюрами. Соответственно, если из площади прямоугольника вычесть 1/3, то мы получим 2/3. У этого логического ряда есть продолжение — площадь фигуры, описанной кубической параболой, составляет 1/4 от площади прямоугольника с теми же сторонами и так далее.

Мы можем найти значение прогиба и другим способом. Из рисунка 11.4 и формул (12.2) следует, что:

f_х = — tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)

f_l/2 = — (Ql²/16EI) l/2 + (Ql³/96EI) = -(Ql³/48EI) (12.3.5)

В данном случае знак «-» показывает, что центр поперечного сечения балки переместится вниз по оси у относительно оси х. А теперь вернемся к фотографии 1. Под продольной осью балки изображена эпюра у, именно это значение в точке l/2 мы и вычли, решая уравнение (12.3.3).  Кроме того получается, что соотношение между f и у зависит от коэффициента предыдущего интегрирования, т.е. у = kf или f = y/k. Когда мы интегрировали уравнение сил, то получили коэффициент 1/2. Впрочем, такое же значение мы получили и тогда, когда определяли плечо действия момента. Если продолжить этот логический ряд, то получается, что при определении прогиба от распределенной нагрузки мы должны использовать коэффициент 1/3, то есть прогиб в середине балки мы можем вычислить по следующей формуле:

f= 2∫∫∫(ql/2)dx — 3∫∫∫∫qdх = (2(qlx³/6) — 3(qx⁴/24))/EI = 5ql⁴/(384EI) (12.4.4)

или

f_х= — ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdх (12.4.5)

f_l/2 = (- ql³x/24 + (qlx³/6) — (qx⁴/24))/EI = — 5ql⁴/(384EI) (12.4.6)

В данном случае знак «-» означает, что центр тяжести поперечного сечения перемещается вниз по оси у.

Примечание: Предложенный метод определения прогиба несколько отличается от общепринятых, так как я старался сделать основной упор на наглядность.

Если определять прогиб графоаналитическим методом, то площадь фиктивной нагрузки — эпюры моментов, описываемой квадратной параболой, будет составлять (согласно таблице 378.1) (2ql²/(8·3))l/2 = ql³/24. А расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат составляет 5/8, Тогда фиктивный момент равен (ql3/24)(5l/(8·2)) = 5ql⁴/384.

Конечно же, сосредоточенная нагрузка к балке может быть приложена и не посредине, распределенная нагрузка может быть не только равномерно распределенной и действовать не по всей длине балки, да и варианты крепления балки на опорах бывают разные. Но для того и существуют готовые формулы, чтобы ими пользоваться.

-Позвольте! — Скажете вы, — Все это хорошо, но как быть с касательными напряжениями? Ведь они действуют вдоль оси у и потому должны как-то влиять на прогиб!

Все верно. Касательные напряжения действительно влияют на прогиб, однако для балок с соотношением l/h > 10 это влияние очень незначительно и потому допустимо для определения прогиба пользоваться изложенным в данной статье методом.

Но это еще не все, как мы уже говорили, определить значение прогиба опытным путем достаточно просто по методу, описанному в самом начале статьи. Так так ничего лучшего под рукой не было, то я взял деревянную линейку, прообраз которой я так долго описывал (см. фотографию 1). Деревянная линейка имела размеры около 91.5 см, ширину b=4.96 см и высоту h=0.32 cм (высоту и ширину определял штангенциркулем). Затем я положил линейку на опоры, при этом расстояние между опорами составило около 90 см и таким образом получил балку с пролетом l=90 см. Под воздействием собственного веса линейка конечно же немного прогнулась, но столь малый прогиб меня не интересовал. Я измерил рулеткой (точность до 1 мм) расстояние от пола до низа линейки (77.65 см), затем приложил посредине условно сосредоточенную нагрузку (поместил посредине мерный стакан весом около 52 грамм с 250 граммами воды) и измерил расстояние от пола до низа линейки при нагрузке (75.5 см). Разница этих двух измерений и составила искомый прогиб. Таким образом величина прогиба определенного опытным путем составила 77.65 — 75.5 = 2.15 см. Осталось только найти модуль упругости для древесины, определить момент инерции для данного сечения и точно посчитать нагрузку. Модуль упругости Е для древесины = 10⁵ кгс/см², момент инерции прямоугольного сечения I_z = bh³/12 = 4.98·0.32³/12 = 0.01359872 см⁴, полная нагрузка — 0.302 кг.

Расчет прогиба по формуле дал: f = Ql³/(48EI) = 0.302·90³/(48·10⁵·0.0136) = 3.37 см. Напомню, что прогиб, определенный опытным путем, составил: f = 2.15 см. Возможно следовало учесть влияние на прогиб первой производной функции — тангенса угла поворота? Ведь угол наклона, судя по фотографии, достаточно большой.

Проверяем: tgθ = Ql²/(16EI) = 0.302·90²/(16·10⁵·0.0136) = 0.11233. Тогда согласно формулы (542.12) f = 3.37/((1 + 0.112²)^3/2) = 3.307 см. Т.е. влияние конечно есть, но оно не превышает 2% или 0.63 мм. 

Результат меня сначала удивил, но потом объяснений для такого расхождения нашлось несколько, в частности в середине поперечное сечение линейки было не прямоугольным, так как линейка была деформирована от времени и воздействия воды, соответственно момент инерции для такого сечения больше чем, для прямоугольного, кроме того, линейка изготовлена не из сосны, а из более твердой породы древесины, для которой и модуль упругости следует принимать больше. Да и с научной точки зрения одного результата совершенно недостаточно, чтобы говорить о каких-либо закономерностях. После этого я проверил величину прогиба для деревянного бруска с моментом инерции I=2.02 см⁴, длиной более 2 м при пролете 2 м под нагрузкой 2 кг, приложенной посредине бруска и тогда значение прогиба, определенного теоретическим путем и опытным путем, совпало до десятых долей миллиметра. Конечно, можно было бы и дальше продолжать эксперименты, но так уж получилось, что до меня это уже сделали сотни других людей и получили на практике результаты, очень близкие к теоретическим. А если еще учесть, что идеально изотропные материалы бывают только в теории, то это очень хорошие результаты.

13. Определение угла поворота через прогиб.

(вернуться к основному содержанию)

Определить значение угла поворота для шарнирно опертой балки, на которую действует только изгибающий момент M на одной из опор, например на опоре А, казалось бы, проще простого:

tgθ_х = — tgθ_A + Мx/(EI) — Аx²/(2ЕI) (13.1.1)

где А = М/l, (B = — M/l), но для этого нужно знать угол поворота на опоре А, а мы его не знаем, однако вычислить его помогает понимание того, что прогиб на опорах будет равен нулю и тогда:

f_A = tgθ_Bl — Bl³/(6EI) = 0; tgθ_B = — Ml³/(6l²EI) = — Ml/(6EI) (13.1.2)

f_B = tgθ_Al + Ml²/(2EI)- Al³/(6EI) = 0; tgθ_A = — Ml/(3EI) (13.1.3)

Как видим, угол поворота на опоре к которой приложен изгибающий момент, в два раза больше угла поворота на противоположной опоре, это очень важная закономерность, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

Когда сосредоточенная нагрузка к балке приложена не по центру тяжести или распределенная нагрузка является неравномерной, то углы поворота на опорах определяются через прогиб, как в вышеприведенном примере. Другими словами — значения начальных параметров определяются в ходе решения дифференциальных уравнений.

doctorlom.com

Расчет балки онлайн

Для расчета балок первым делом необходимо определить усилия, возникающие в конструкциях. В данном разделе показано, как находить усилия, опорные реакции, прогибы и углы поворота в различных изгибаемых конструкциях. Для самых распространенных из них вы можете воспользоваться онлайн расчетом. Для редких — приведены все формулы определения необходимых значений.

Онлайн расчет балки на двух опорах (калькулятор).

Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.

Синие ячейки — ввод данных. (Белые ячейки — ввод координаты для определения промежуточного итога).

Зеленые ячейки — расчетные, промежуточный итог.

Оранжевые ячейки —  максимальные значения.

>>> Перейти к расчету балки на двух опорах <<<

Онлайн расчет консольной балки (калькулятор).

Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.

Синие ячейки — ввод данных. (Белые ячейки — ввод координаты для определения промежуточного итога).

Зеленые ячейки — расчетные, промежуточный итог.

Оранжевые ячейки —  максимальные значения.

>>> Перейти к расчету консольной балки <<<

Расчет однопролетной балки на двух шарнирных опорах.

 

Рис.1 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке

 

Рис.2 Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух сосредоточенных нагрузках

 

Рис.3 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке

 

Рис4. Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке

 

 

Рис5. Расчет балки на двух шарнирных опорах при действии изгибающего момента

Расчет балок с жестким защемлением на двух опорах

Рис6. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной сосредоточенной нагрузке

 

Рис7. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при двух сосредоточенных нагрузках

Рис8. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис9. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке

Рис10.Расчет балки с жестким защемлением на опорах при действии изгибающего момента

Расчет консольных балок

Рис11. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной сосредоточенной нагрузке

Рис12. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис13. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной неравномерно-распределенной нагрузке

Рис14. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при действии изгибающего момента

Расчет двухпролетных балок

Рис15. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной сосредоточенной нагрузке

Рис16. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис17. Расчет двухпролетной  балки с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке

 

 

stroit-prosto.ru