Расчет балки на прочность онлайн калькулятор

Балка длиной L загружена равномерно распределенной нагрузкой q либо сосредоточенной силой P, которые необходимо будет задать (как собрать нагрузки на балку можно получить тут Сбор нагрузок (калькулятор).
Все геометрические размеры сечения можно задать самому, поэтому в калькуляторе реализован огромный выбор самых различных балок: труба, швеллер, профильная труба, двутавр, уголок, пластина и др.
Расчет проходит по нормальным и касательным напряжениям, которые возникают из-за поперечной силы.
Касательные напряжения получаем по формуле Журавского и производим проверку с использованием главных напряжений по 3-ей теории прочности.
В онлайн расчет входят такие материалы, как сталь нескольких классов (С235, С245, С255, С345) и дерево трех сортов.

Для расчета вам необходимо:
1. Выбрать форму поперечного сечения (труба, швеллер, профильная труба, двутавр, уголок, пластина и др.

)
2. Выбрать материал (сталь, дерево)
3. Выбрать необходимую расчетную схему
4. Выбрать вид нагрузки (распределенная по длине балки либо сосредоточенная)
5. Указать геометрические размеры, указанные на картинках
6. Задать нагрузку (нагрузку можно рассчитать онлайн здесь)

Также есть возможность выбора расчетной схемы: шарнир-шарнир, заделка-шарнир, заделка-заделка, свободный конец балки.
Коэффициенты поправки расчетного сопротивления дерева на изгиб приняты следующие:
Mдл = 0.66 — совместное действие постоянной и кратковременной снеговой нагрузок
Mв = 0.9 — нормальные условия эксплуатации дерева (влажность менее 12%)
Mт = 0.8 — эксплуатация дерева при температуре 50 градусов
Mсс = 0.9 — срок эксплуатации конструкции 75 лет

При расчете уже учитывается собственный вес конструкции.

Последние изменения
1. Добавлена возможность расчета балки при сосредоточенной нагрузке
— Добавлена проверка устойчивости стенки и полки двутавра, швеллера, уголка, профильной трубы
— Исправлено расчетное сопротивление дерева на изгиб согласно СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции»
— Исправлены расчетные сопротивления стали
— Исправлено допустимое эквивалентное напряжение при действии нормальных и касательных напряжений
— Добавлена возможность поворота швеллера

Если данный калькулятор оказался Вам полезен – не забывайте делиться им с друзьями и коллегами ссылкой в соц.сети, а также посмотреть другие строительные калькуляторы онлайн, они простые, но здорово облегчают жизнь строителям и тем, кто решил сам строить свой дом с нуля.

Расчёт балок на прочность при изгибе

Задача 1

В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М=28 кНм, Q=19 кН.

Требуется:

а) определить нормальное и касательное напряжения в заданной точке К, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 11 см,

б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.

Решение

а) Для определения σ_(К), τ_(К) и _maxσ,_maxτ потребуется знать величины осевого момента инерции всего сечения I_Н.О., осевого момента сопротивления W_Н.О., статического момента отсечённой части  и статического момента половины сечения

S_max:

Тогда:

б) Проверка прочности:

— по условию прочности нормальных напряжений:

— по условию прочности касательных напряжений:

Задача 2

В некотором сечении балки М=10кНм, Q=40кН. Поперечное сечение – треугольное. Найти нормальное и касательное напряжения в точке, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 15 см.

где 

Тогда

где:

Тогда

Задача 3

Подобрать сечение деревянной балки в двух вариантах: круглое и прямоугольное (при h/b=2), если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, и сравнить их по расходу материала.

Задаёмся направлениями опорных реакций

А и В и составляем уравнения статики:

(1)          ∑М(В) = F·8 – М – А·6 + (q·6)·3 =0,

откуда 

(2)          ∑М(А) = F·2 – М + В·6 — (q·6)·3 =0,

откуда 

Iучасток   

∑М(С) = М(z₁) +F·z₁=0,

ММ(z₁) = —F·z₁= — 30 ·z₁ —

– уравнение прямой.

При z₁ = 0:      М = 0,

z₁ = 2:      М =- 60 кНм.

∑у= — F — Q(z₁) = 0,

Q(z₁

) = — F = -30 кН – постоянная функция.

II участок     

откуда

— уравнение параболы.

При z₂=0:     М = 0,

z₂=3м:  М = 30 · 3 – 5 · 3² = 90 — 45 = 45кНм,

z₂=6м:  М = 30 · 6 – 5 · 6² = 180 — 180 = 0.

∑у= Q(z₂) — q·z₂ + B= 0,

Q(z₂) = q·z₂ — B= 10·z₂ – 30 – уравнение прямой,

при  z₂ = 0:     Q = -30,

        z₂ = 6м:     Q = 10·6 – 30 = 30.

Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:

из условиянаходим :

И тогда

Заметим, что скачок в эп.М расположен там, где приложен сосредоточенный момент М = 60кНм и равен этому моменту, а скачок в эп.Q – под сосредоточенной силой А = 60 кН.

Подбор сечения балок производится из условия прочности по нормальным напряжениям, куда следует подставлять наибольший по абсолютной величине изгибающий момент из эпюры М.

В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм

откуда: :

а) сечение круглой формы d=?

б) сечение прямоугольной формы при h/b = 2:

тогда

Размеры сечения, определенные из условия прочности по нормальным напряжениям, должны удовлетворять также условию прочности по касательным напряжениям:

Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения:

— для круглого сечения 

— для прямоугольного сечения 

Воспользуемся этими формулами. Тогда

— для балки круглого сечения при :

— для балки прямоугольного сечения

Чтобы выяснить, какое сечение требует меньшего расхода материала, достаточно сравнить величины площадей поперечных сечений:

А_{прямоугольного} = 865,3см² < А_{круглого} = 1218,6см², следовательно, балка прямоугольного сечения в этом смысле выгоднее, чем круглого.

 

Задача 4

Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа. 

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем два уравнения статики для их определения:

(1)              ∑М

(А) = – М₁– F  ·2 — (q·8)·4 + М₂ + В·6 =0,

откуда 

(2)      ∑М(В) = – М₁– А · 6 + F · 4 + (q·8)·2 + М₂ =0,

откуда 

Проверка:

∑у = А – F – q · 8 + В = 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0.

∑М(С) = М(z₁) — М₁=0,

М(z₁) = М₁= 40 кНм – постоянная функция.   

∑у= — Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = 0.

II участок 

— парабола.

Приz₂=0:       М = 40 кНм,

z₂=1м:    М

= 40 + 104 – 10=134кНм,

z₂=2м:    М = 40+ 104 · 2 – 10 · 2² = 208 кНм.

∑у=А — q·z₂ — Q(z₂) = 0,

Q(z₂) =А— q·z₂ = 104 –  20·z₂  – уравнение прямой,

при  z₂ = 0:       Q = 104кН,

        z₂ = 6м:    Q = 104 – 40 = 64кН.

III участок

— парабола.

Приz₃=0:       М = 24+40=-16 кНм,

z₃=2м:    М = 24 + 136·2 — 10 (2+2)² = 24 + 272 – 160 = 136кНм,

z₃=4м:    М = 24 + 136·4 – 10 (2+4)² = 24 + 544 – 360 = 208 кНм.

∑у=В — q(2+z₃ ) + Q(z₃) = 0,

Q(z₃) =- В + q(2+z₃ ) = -136 + 20 (2+z₃ )   – уравнение прямой,

при  z₃ = 0:        Q = -136 + 40 = — 94кН,

        z₃ = 4м:     Q = — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН.

IV участок

— парабола.

z₄=0:       М = 0кНм,

z₄=1м:    М = – 10кНм,

z₄=2м:    М = — 40кНм.

∑у=- q·z₄ + Q(z₄) = 0,

Q(z₄) =q·z₄ = 20·z₄  – уравнение прямой.

Приz₄ = 0:       Q = 0,

        z₄ = 2м:     Q = 40кН.

Проверяем скачки в эпюрах:

а) В эпюре М скачок на правой опоре величиной 24кНм (от 16 до 40) равен сосредоточенному моменту М₂=24, приложенному в этом месте.

б) В эпюре Q три скачка:

первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А=104кН,

второй – под силой F=80кН и равен ей (64+16=80кН),

третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН)

Наконец, проектируем двутавровое сечение.

Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям :

 

В сортаменте двутавровых профилей профиля с точно таким моментом сопротивления W_х нет. Есть № 40^а с W_х=1190 см³ и № 45^а с W_х=1430 см³

Попробуем  меньший из них. Если принять двутавр № 40^а, у которого W_х=1190 см³ , то наибольшее напряжение в опасном сечении будет:

и перенапряжение составитчто превышает рекомендуемую величину отклонения, равную 5%.

Поэтому приходится принимать ближайший больший размер двутавра, а именно №45^а, у которого W_х=1430 см³. В этом случае балка будет работать с недонапряжением:

что меньше [σ]=160МПа на  

Итак, принимается двутавр №45^а, у которого: W_х=1430 см³, I_х=32240см⁴, I_х: S_х=38,6см, d=11,5мм.

Далее необходима проверка прочности по касательным напряжениям с помощью условия прочности :

 

Это условие прочности выполняется, даже с избыточным запасом.

 

Задача 5

Подобрать сечение балки, рассмотрев шесть вариантов форм и три вида материалов (древесина, чугун, сталь).

Решение 

1.Определение опорных реакций 

∑М(А) = F · 2 + М₁ — М₂— q·6·7 + В · 8 =0,∑М(В) = F · 10 + М₁— М₂ – А · 8 + q·6·1 =0,Проверка:

∑у = – 20 – 40 ·6 +50+210 = — 260 + 260 ≡ 0.

2.Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

I участок

∑М(С) = М(z₁) + F·z₁=0,

М(z₁) = — F·z₁= -20·z₁.

При z₁=0:     М = 0,

        z₁=2м:  М = – 40кНм,

∑у= — F— Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = — 20кН.

II участок

        z₂=0:      М = — 20 – 40 = -60 кНм,

z₂=4м:   М = 200 — 20 – 120 = 200 — 140 = 60кНм.

∑у=- F + А — Q(z₂) = 0,

Q =- F + А= -20+50=30кН.

III участок

— парабола.

Приz₃=0:      М = — 20·4= — 80 кНм,

z₃=2м:   М = 210·2 — 20·(2+2)² = 420 – 320 = 100кНм,

z₃=4м:   М = 210·4 – 20 · (2+4)² = 840 – 720 = 120кНм.

∑у= Q(z₃) + В — q·(2+z₃) = 0,

Q(z₃) = — В + q·(2+z₃) = — 210 + 40·(2+z₃) – уравнение прямой.

Приz₃ = 0:       Q = -130кН,

        z₃ = 4м:     Q = 30кН.

Q(z₀) = — 210 + 40·(2+z₀) = 0,

— 210 + 80 + 40·z₀ = 0,

40·z₀ = 130,

z₀ =3,25м,

IV участок

парабола.

Приz₄=0:      М = 0 кНм,

z₄=1м:   М = – 20кНм,

z₄=2м:   М = — 80кНм.

∑у=- q·z₄ + Q(z₄) = 0,

Q(z₄) =q·z₄ = 40·z₄  – уравнение прямой,

        z₄ = 0:        Q = 0,

        z₄ = 2м:     Q = 80кН.

3. Подбор сечений (опасное сечение по σ: |_maxМ|=131,25кНм,

опасное сечение по τ: |_maxQ|=130кН).

Вариант 1. Деревянное прямоугольное ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)

Принимаем: В=0,24м,

                         Н=0,48м.

Проверяем по τ:

Вариант 2. Деревянное круглое

Принимаем d=0,45м,

Проверяем по τ:

Вариант 3. Чугун : ([σ_Р]=30МПа, [σ_с]=120МПа, [τ]=15МПа)

Принимаем b=0,19м, тогда h=0,38м, d=0,076м.

Проверка по τ:

b(у)= b — d= 0,19 — 0,076 = 0,114м

Вариант 4. Сталь, двутавр : ([σ]=160МПа, [τ]=80МПа).

по сортаменту W_х=953см³. Это №40: I_x=19062см⁴, S_х=545см³, d=0,83см.

Проверка по τ:

Вариант 5. Сталь, круглая труба

Принимаем D=0,22м   →  d = 0,6·D =0,132м.

Проверка по τ:

Вариант 6. Сталь, прямоугольная труба  

b₁= b — 2t = b — 2·0,1b = 0,8b,

h₁= h — 2t  = 0,8h,

Принимаем b=0,13м, h=0,26м.

Проверка по τ:

Кстати: какое из сечений стальной балки выгодней по расходу материала?

Двутавр —  А = 72,6см² = 72,6·10^-4 = 0,00726м²,

круглая труба –

прямоугольная труба — 

Самый лёгкий: двутавр → самый выгодный с точки зрения изгиба.

 

Расчет балки на прочность: онлайн-калькуляторы, пример, последовательность действий

Одной из важнейших задач для строителя считается расчет балки. Сегодня придумано немало средств, позволяющих решать данную задачу максимально быстро и точно. Наиболее удобными считаются онлайн-калькуляторы, которые за несколько секунд предоставляют необходимое решение. В данной статье мы разберем расчет балки на изгиб, прогиб, прочность с применением калькулятора.

Как рассчитывать балки на прочность

Расчет балки на прогиб, калькулятор для которого можно найти в интернете, можно произвести следующими методами:

• Рассчитать максимальную нагрузку, которую способна выдержать заданная схема;
• Подобрать сечение;
• Проверочный перерасчет по максимальным значениям напряжения.

Для наглядности следует рассмотреть общий принцип подбора сечения двутавра, расположенной на двух опорах. Загрузка происходит равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.

Последовательность действий

Для начала расчета балки на прогиб калькулятором необходимо определить точку, в которой будет максимальное значение момента. Все будет зависеть от того, какая схема представлена в задаче. Наиболее популярны следующие схемы:

1. Заделка — шарнир;
2. Заделка — заделка;
3. Шарнир — шарнир;
4. Заделка — свободный конец.

Остальные варианты являются в той или иной степени разновидностями вышеуказанных схем.

Как только вы нашли изгибающий момент, по таблице ищется момент сопротивления Wx указанного сечения по формулам, которые указываются в соответствующих таблицах. При делении максимального момента изгиба на момент сечения можно отыскать максимальное значение напряжения, которое необходимо сравнить с напряжением, которое максимально выдерживает определяемая конструкция.

Сравнение полученных напряжений с напряжением материалов

Онлайн-расчет балки на прочность сопровождается сравнением полученного значения напряжения в сечении с максимально возможным. Здесь необходимо смотреть на таблицу материалов, из которых производятся такие конструкции.

Если материал пластичен, то максимальное напряжение схемы будет равно пределу текучести материала. К таковым относят алюминий, сталь, иные металлы. Хрупкие же материалы по типу чугуна имеют максимальное значение напряжения, равное пределу прочности. Для каждого конкретного материала имеется свое максимальное значение, которое можно найти в таблицах в специальной литературе.

Пример расчета

Предположим, что нам надо проверить на прочность двутавр номер 10. Его длина 2 метра, он жестко заделан в стену, человек массой 90 килограммов решил повиснуть на двутавре. Порядок решения здесь следующий:

• Выбираем расчетную схему, в этом случае заделка — свободный конец;
• Максимальное значение находится в заделке, двутавр имеет на всей длине одинаковое сечение. Тогда P = m*g = 90*10=0,9 кН, M = P*I= 1,8 кН*м;
• Находим по таблице сортаментов для данного двутавра момент сопротивления;
• Затем находим максимальные напряжения в балке б = M/W = 1,8 / 0. 0000397 = 45,34 Мпа;
• Сравниваем с максимально допустимым напряжением, равным пределу текучести стали, из которой сделан двутавр. Так как 45,34 Мпа меньше 245 Мпа, то такой двутавр выдержит человека массой 90 килограммов.

Можно также решить и вторую задачу, связанной с нахождением максимальной массы человека, которую может выдержать данная балка. Здесь приравнивают значения предела текучести и напряжения в сечении балки, найти максимальный момент и затем наибольшую массу. Для более точного результата следует учитывать различные коэффициенты и брать двойной запас прочности.

Онлайн-калькуляторы

Расчет прогиба балки онлайн-калькулятором достаточно быстрый и точный. Здесь выбирается одна из схем, затем набираются соответствующие числовые значения и происходит расчет по всем необходимым параметрам.

Необходимо указать значения моментов, изгибающих сил, длин участков. Итогом станут эпюры моментов и сил. Решение данными программами достаточно точное и позволяет оперативно посчитать силы и моменты для балок на прочность, изгибы и прогибы.

Преимуществом подобных средств является большой набор схем для расчета, быстрота, точность, простота применения. Однако для уточнения полученного результата надо произвести самостоятельное письменное решение.

В заключение можно сказать следующее: расчет балки на прочность можно произвести как вручную, так и с применением онлайн-калькуляторов. Их можно комбинировать, использовав один из них для проверки другого метода. Рассчитать балку может понадобиться в разных случаях, особенно актуально это становится при строительстве. Только правильно рассчитанная балка позволит построить или реконструировать сооружение с тем условием, что оно прослужит длительное время.

Также данный расчет полезен для всех тех, кто учится или имеет дело с техническими науками, ибо прикладная механика является неотъемлемой частью программы любого технического вуза. Удачных расчетов на прочность!

Расчет балки на изгиб | Блог Александра Воробьева

Опубликовано 28 Апр 2013
Рубрика: Механика | 94 комментария

Расчет балки на изгиб «вручную», по-дедовски, позволяет познать один из важнейших, красивейших, четко математически выверенных алгоритмов науки сопротивление материалов. Использование многочисленных программ типа «ввел исходные данные…

…– получи ответ» позволяет современному инженеру сегодня работать гораздо быстрее, чем его предшественникам сто, пятьдесят и даже двадцать лет назад. Однако при таком современном подходе инженер вынужден полностью доверять авторам программы и со временем перестает «ощущать физический смысл» расчетов. Но авторы программы – это люди, а людям свойственно ошибаться. Если бы это было не так, то не было бы многочисленных патчей, релизов, «заплаток» практически к любому программному обеспечению. Поэтому, мне кажется, любой инженер должен уметь иногда «вручную» проверить результаты расчетов.

Справка (шпаргалка, памятка) для расчётов балок на изгиб представлена ниже на рисунке.

Давайте на простом житейском примере попробуем ей воспользоваться. Допустим, я решил сделать в квартире турник. Определено место – коридор шириной один метр двадцать сантиметров. На противоположных стенах на необходимой высоте напротив друг друга надежно закрепляю кронштейны, к которым будет крепиться балка-перекладина – пруток из стали Ст3 с наружным диаметром тридцать два миллиметра. Выдержит  ли эта балка мой вес плюс дополнительные динамические нагрузки, которые возникнут при выполнении упражнений?

Чертим схему для расчета балки на изгиб. Очевидно, что наиболее опасной будет схема приложения внешней нагрузки, когда я начну подтягиваться, зацепившись одной рукой за середину перекладины.

Исходные данные:

F1 = 900 н – сила, действующая на балку (мой вес) без учета динамики

b1 = 0 м

b2 = 0,6 м

b3 = 1,2 м

d = 32 мм – наружный диаметр прутка, из которого сделана балка

E = 206000 н/мм^2 — модуль упругости материала балки стали Ст3

[σи] = 250 н/мм^2 — допустимые напряжения изгиба (предел текучести) для материала балки   стали Ст3

Граничные условия:

Мx (0) = 0 н*м – момент в точке z = 0 м (первая опора)

Мx (1,2) = 0 н*м– момент в точке z = 1,2 м (вторая опора)

V (0) = 0 мм – прогиб в точке z = 0 м (первая опора)

V (1,2) = 0 мм – прогиб в точке z = 1,2 м (вторая опора)

Расчет:

1. 2

По прочности на изгиб расчет показал трехкратный запас прочности – турник можно смело делать из имеющегося прутка диаметром тридцать два миллиметра и длиной тысяча двести миллиметров.

Таким образом, вы теперь легко можете произвести расчет балки на изгиб «вручную» и сравнить с результатами, полученными при расчете по любой из многочисленных программ, представленных в Сети.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора ПОДПИСАТЬСЯ на анонсы статей.

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Расчет балки онлайн с расчетом на прочность и построение эпюр онлайн с решением. —  

Расчет балки

Подробный ход решения — расчет балки, построение эпюр

Заменим распределенную нагрузку равнодействующей

Q₁ = 6·2 = 12кН

Составим
уравнения равновесия для определения реакций опор

Σ M_A = + P · 2 + M + Q1 · 3 — R_E · 6= + 12 · 2 + 8 + 12 · 3 — R_E · 6=0

Σ M_E = — P · 4 + M — Q1 · 3 + R_A · 6= — 12 · 4 + 8 — 12 · 3 + R_A · 6=0

Из этих уравнений находим реакции опор

R_A = 12. 67кН.

R_E = 11.33кН.

Записываем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на
участках балки
, используя метод сечений

На участке AB: (0 ≤ z₁ ≤ 2 м )

Q(z₁) = + R_A = + 12.67 = 12.667 кН

M(z₁) = + R_A · z = + 12.67 · z

M(0) = 0 кНм

M(2) = 25.333 кНм

На участке BC: (2 ≤ z₂ ≤ 4 м )

Q(z₂) = + R_A — P — q₁·(z — 2) = + 12. 67 — 12 — 6·(z — 2)

Q(2) = 0.667 кН

Q(4) = -11.333 кН

M(z₂) = + R_A · z — P·(z — 2) — q₁·(z — 2)²/2 = + 12.67 · z — 12·(z — 2) — 6·(z — 2)²/2

M(2) = 25.333 кНм

M(4) = 14.667 кНм

Поскольку поперечная сила на участке пересекает ноль при z = 2.11 м, в этой точке будет экстремум на эпюре M

M(2.11) = 25.4 кНм

На участке CD: (4 ≤ z₃ ≤ 5 м )

Q(z₃) = + R_A — P — Q₁ = + 12. 67 — 12 — 12 = -11.333 кН

M(z₃) = + R_A · z — P·(z — 2) — Q₁·(z — 3) = + 12.67 · z — 12·(z — 2) — 12·(z — 3)

M(4) = 14.667 кНм

M(5) = 3.333 кНм

На участке DE: (5 ≤ z₄ ≤ 6 м )

Q(z₄) = + R_A — P — Q₁ = + 12.67 — 12 — 12 = -11.333 кН

M(z₄) = + R_A · z — P·(z — 2) + M — Q₁·(z — 3) = + 12.67 · z — 12·(z — 2) + 8 — 12·(z — 3)

M(5) = 11. 333 кНм

M(6) = 0 кНм

Максимальный момент в балке составляет M_max = 25.4 кНм. По этому значению
подбираем сечение балки.

Условие прочности при изгибе σ = M_max / W ≤ [σ]

Отсюда, минимально необходимый момент сопротивления вычисляем по формуле W_min=M_max / [σ]

Расчет опорных реакций балки на двух опорах онлайн

Расчет выполняется по следующей методике:

1. Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей, которая является сосредоточенной силой. Для равномерно распределенной нагрузки равнодействующая равна произведению интенсивности нагрузки q на длину участка L, на котором она действует: Fq = q*L.

2. Обозначаем опоры. Общепринято их обозначать буквами А и В. Простая балка имеет одну шарнирно-неподвижную и одну шарнирно-подвижную опоры.

3. Освобождаемся от опор и заменяем их действие на балку реакциями.

Реакции опор при такой нагрузке будут только вертикальными.

4. Составляем уравнения равновесия вида:
M_A = 0; M_B = 0,

Моментом силы относительно точки называется произведение этой силы на плечо — кратчайшее расстояние от этой точки приложения силы (в общем случае — до линии действия силы).

5. Выполним проверку решения. Для этого составим уравнение равновесия:
Y = 0,

Если оно удовлетворено, то реакции найдены правильно, а если нет, но в решении допущена ошибка.

6. Строим эпюру поперечных сил Q_x. Для этого определяем значения поперечных сил в характерных точках. Напомним, что поперечная сила в сечении равна сумме проекций всех сил, расположенных только слева или только справа от рассматриваемого сечения, на ось, перпендикулярную оси элемента. Силу, расположенную слева от рассматриваемого сечения и направленную вверх, считают положительной (со знаком «плюс»), а направленную вниз — отрицательной (со знаком «минус»). Для правой части балки — наоборот.

В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных сил, в том числе в точках приложения опорных реакций, необходимо определить два значения поперечной силы: чуть левее рассматриваемой точки и чуть правее ее. Поперечные силы в этих сечениях обозначаются соответственно Q_лев и Q_прав.

Найденные значения поперечных сил в характерных точках откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Эти значения соединяются прямыми линиями по следующим правилам:

а) если к участку балки нет распределенной нагрузки, то под этим участком значения поперечных сил соединяются прямой линией, параллельной нулевой линии;

б) если на участке балки приложена распределенная нагрузка, то под этим участком значения поперечных сил соединяются прямой, наклонной к нулевой линии. Она может пересекать или не пересекать нулевую линию.

Соединив все значения поперечных сил по указанным правилам, получим график изменения поперечных сил по длине балки. Такой график называется эпюрой Q_x.

7. Строим эпюру изгибающих моментов М_x. Для этого определяем изгибающие моменты в характерных сечениях. Напомним, что изгибающий момент в рассматриваемом сечении равен сумме моментов всех сил (распределенных, сосредоточенных, в том числе и опорных реакций, а также внешних сосредоточенных моментов), расположенных только слева или только справа от этого сечения. Если любое из перечисленных силовых воздействий стремится повернуть левую часть балки по часовой стрелке, то оно считается положительным (со знаком «плюс»), если против — отрицательным (со знаком «минус»), а для правой части наоборот.

В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных моментов, необходимо определить два значения изгибающего момента: чуть левее рассматриваемой точки и чуть правее ее. Изгибающие моменты в этих точках обозначаются соответственно М_лев и М_прав. В точках приложения сил определяется одно значение изгибающего момента.

Полученные значения откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Эти значения соединяются в соответствии со следующими правилами:

а) если на участке балки нет распределенной нагрузки, то под этим участком балки два соседних значения изгибающих моментов соединяются прямой линией;

б) если к участку балки приложена распределенная нагрузка, то под этим участком значения изгибающих моментов для двух соседних точек соединяются по параболе.

Пример решения балки:

Построение эпюр усилий онлайн

Інструкція.

Программа позволяет определить опорные реакции и построить эпюры внутренних усилий для двухопорной и консольной балки.

Дальнейшие инструкции будут приведены на примере балки на двух опорах.

1. Выберите условия крепления концов балки. Возможны варианты — свободный, шарнир и жесткое. В нашем примере левый и правый конец стержня не имеют креплений, поэтому выбираем вариант «свободный».

Если по ошибке был выбран другой вариант, нажимаем на кнопку «Новая схема».

2. Указываем длину балки и координаты опор. Длина балки равна «13», а координаты опор от левого конца балки, в соответствии к опоры A — «2» и к опоре B — «11».

3. Указываем нагрузку.
Выбираем количество сосредоточенных моментов — «2». В таблице вводим значения моментов и их координаты от левого конца балки. M₁=40, a₁=6 и M₂=-20, a₂=13
(момент который вращается против часовой стрелки — положительный, по — отрицательный).
Выбираем количество сосредоточенных сил — «2». В таблице вводим значение сил и их координаты. F₁=9, b₁=0
и F₂=6. 93, b₂=9 (сила направленная вниз — положительная, вверх — отрицательная).
Выбираем количество равномерно распределенной нагрузки — «1». В таблице вводим значение РРН, координаты начала
и конца РРН. q₁=12, c₁=2 та d₁=8 (РРН направлена вниз — положительная, вверх — отрицательная).

4. Нажимаем на кнопку «Построить эпюры». После нажатия определяются опорные реакции и строятся эпюры усилий. Если нужно определить усилия в произвольном сечении, введите координату в форму. Если нужно, задайте точность
расчета и выберите правое или левое сечение.

Скриншот к примеру:

Скриншот к примеру (эпюра поперечных сил):

Скриншот к примеру (эпюра изгибающих моментов):

Онлайн расчет статически неопределенной балки

Расчет выполняется методом сил

Канонические уравнения метода сил:

Где коэффициенты системы определяются:

Принцип ввода данных, рассмотрим с помощью следующего примера:

1. Задание длины (12м) и условий закрепления стержня. Левый конец стержня свободен, а правый — жестко закрепленный. Задаем координаты опор (отсчет ведется от левого конца стержння). Первая опора имеет координату 2м, вторая — 7м.

2. Задаем нагрузки, использовав соответствующие правила знаков:

3. В случае, если жесткость балки переменная, задайте необходимые пропорции (нажмите на кнопку «Изменить жесткость»):

4. Для начала расчета нажмите на кнопку «Построить эпюры».

Для расчета балок используется следующая основная система (ОС). Выбрать ОС невозможно.

Решение системы уравнений:

Опорные реакции:

Расчет онлайн для разнотипных балочных конструкций.

Строительство зданий – сложная работа, требующая точных расчетов и качественного выполнения работы. Основным материалом в строительстве жилых домов является древесина. Несущие конструкции изготавливаются из этого материала. Рассмотрим способы расчета балки онлайн.

Разновидности перекрытий

Назначение:

1. Межэтажные.
   Прочное, надежное перекрытие. Между двумя материалами складываются звуко- и теплоизоляционные наполнители.
2. Чердачное.
   Является частью стропильной конструкции крыши. Чердак оборудован изоляцией от шума и пара.
3. Цокольное.
   Выносят высокие нагрузки. Делаются с теплоизоляцией.

Балки бывают двух видов:

1. цельные;
2. клееные.

Слабым звеном монолитных балок является ограниченная длина. Не могут быть больше 5 метров.

Преимуществами клееных балок над цельными являются:

• перекрытие больших пролетов;
• легкость установки;
• маленькая масса;
• длительная эксплуатация;
• пожароустойчивые;
• не деформируются.

Каким образом определяется длина балки?

Обычно размещаются параллельно самой маленькой стене. Размеры зависят от материалов, из которых изготавливаются блоки и от общего объема материала. Для крепления используют металлические крепежи (кронштейны, уголки, пластинки с перфорацией, плитки). Если применяете один из этих видов крепежа, то длина балки должна соответствовать пролету комнаты.

Также балки могут быть частью стропильных элементов. Конструкция опирается на мауэрлат. Данный способ увеличивает длину исходного материала на метр.

Советы для правильного расчета:

1. Учитывайте глубину введения материалов в стену. Глубина вхождения для стен из кирпича составляет от 150 мм для балок из бруса и 100 мм для досок. В домах из дерева – от 70 мм.
2. Длина балки составляет минимум 6 м.

Инструкция для подсчета:

1. замерьте пролет;
2. выберите закрепляющие элементы;
3. рассчитайте влияющую нагрузку;
4. подберите шаг и сечение.

При строительстве можно выпустить балки наружу на 31- 60 см. Таким образом, формируется свес крыши.

Определение действующей нагрузки

В жилом помещении имеется два дверных пролета. Обычно отличаются по размерам, но в квадратной комнате могут быть одинаковыми.

Перемычки укладывают в более коротком проеме ,длиной 3-4 метра. По стандарту, стороны должны соотноситься в пропорции семь к пяти. Так исключается деформация. Если не соблюдать этих пропорций, балки прогнутся. Возможный деформация – два см на четыре метра.

Для устранения провисания бруса, изготовьте снизу на несколько см, при этом придав форму арки.

Прогиб можно рассчитать по формуле f(нор)= L/200

L –длина пролета,

200 – расстояние на единицу погружения дерева.

Нагрузка на любую конструкцию определяется по нескольким формулам.

Первая – геометрическая характеристика сечения стержнями:

W≥M/R . M – время относительно нейтральной оси сечения балки или другого твердого тела,

R – рассчитываемое сопротивление, которое нужно взять из справочника исходя из основы.

Для стержней прямоугольной формы формула выглядит так:

W_Z =b∙ h 2/6,

b – ширина балки,

h – высота.

Перекрытие во многих случаях является кровлей и полом следующего и предшествующего этажей. Объединяйте, учитывая нагрузку мебели на поверхности. Если неправильно распределить, появляется риск разрушения конструкций. Не следует применять уж очень широкий шаг промеж балками и отказываться от лагов. Учитывайте, что пространство между основами зависит от толщины досок. Если имеются лаги, то расстояние посередине должно составлять метр.

Совет! Предусмотрите массу утеплителя. Цокольное перекрытие, длиной 1 м2, весит 100 килограммов. Увеличивает вдвое одну и ту же массу опилкобетон. Керамзит еще тяжелее.

Выяснение сечения и шага балки

1. Параметры балок строго регламентированы. Так, соразмерность – 1:1:4. Широта – с 5 до 21 сантиметра, высота – от 10 до 31 сантиметра. Учитывайте утеплитель! Бревна перекрытия должны иметь диаметр от 11 до 31 сантиметра.
2. Установочный шаг – примерно 30–120 сантиметров. При каркасном строении шаг соответствует дистанции промеж твердыми основами.

Требования, предъявляемые к конструкциям:

• влагосодержание материала – максимум 15%;
• нельзя использовать испорченную древесину, то есть синюшную, поражённую грибком, насекомыми, грызунами;
• обработка антисептическим составом;
• размерное отношение – 7:5 для брусьев;
• чем больше высота лаг, тем больше нагрузка, выдерживаемая балкой;
• для ровного перекрытия сделайте подъем ярусов;
• брусья и бревна замените досками, уложенными на ребро, если укладка интенсивная.

Онлайн калькулятор для расчета деревянных балок

Высота балки (мм)
Ширина балки (мм)
Материал древесины
Пролет (м)
Шаг балок (м)

Произвести расчет балки возможно самостоятельно: рассчитать нагрузки, воздействующие на перекрытие по формулам и параметрам или воспользоваться онлайн калькулятором. Также можно выбрать подходящую конструкцию, исходя из имеющихся условий.

Бесплатный Калькулятор Луча | Изгибающий момент, Калькулятор поперечной силы и прогиба

Добро пожаловать в наш бесплатный онлайн калькулятор изгибающего момента и диаграммы силы сдвига, который может генерировать реакции, Диаграммы силы сдвига (SFD) и диаграммы изгибающих моментов (BMD) консольной балки или опертой балки. Используйте этот калькулятор балок, чтобы определить реакции на опорах, нарисуйте диаграмму сдвига и момента для балки и рассчитайте прогиб стали или дерево луч. Бесплатный онлайн лучевой калькулятор для генерации реакций, расчет прогиба стальной или деревянной балки, составление диаграмм сдвига и момента для балки. Это бесплатная версия нашей полной SkyCiv. Beam Software. Доступ к нему можно получить в любом из наших Платные аккаунты, который также включает программное обеспечение для полного структурного анализа.

Используйте интерактивную рамку выше для просмотра и удаления длины луча, поддерживает и добавляет нагрузки. Любые сделанные изменения автоматически перерисовывают диаграмму свободного тела любым простым или консольным лучом.. Калькулятор реакции луча и расчеты изгибающего момента будут запущены, как только «Решить» нажата кнопка и автоматически сгенерирует диаграммы моментов сдвига и изгиба. Вы также можете нажать отдельные элементы этого калькулятора луча LVL, чтобы редактировать модель.

Калькулятор пролета луча легко рассчитает реакции на опорах. Умеет рассчитывать реакции на опорах для консольных или простых балок.. Это включает в себя расчет реакций для балки кантилевера, который имеет реакцию изгибающего момента, а также х,у сил реакции.

Вышеуказанный калькулятор балок со стальной балкой — это универсальный инструмент для расчета конструкций, используемый для расчета изгибающего момента в алюминии., деревянная или стальная балка. Его также можно использовать в качестве калькулятора грузоподъемности балки, используя его в качестве калькулятора напряжения изгиба или напряжения сдвига. Может вместить до 2 различные сосредоточенные точечные нагрузки, 2 распределенные нагрузки и 2 моменты. Распределенные нагрузки могут быть расположены так, чтобы они были равномерно распределенными нагрузками. (UDL), треугольные распределенные нагрузки или трапециевидные распределенные нагрузки. Все нагрузки и моменты могут иметь как восходящее, так и нисходящее направление по величине., которые должны быть в состоянии учитывать наиболее распространенные ситуации анализа пучка. Расчет изгибающего момента и силы сдвига может занять до 10 секунд, чтобы появиться и, пожалуйста, обратите внимание, что вы будете перенаправлены на новую страницу с реакциями, Диаграмма силы сдвига и диаграмма изгибающего момента балки.

Одна из самых мощных функций использует его в качестве калькулятора отклонения луча (или калькулятор смещения луча). Это может быть использовано для наблюдения расчетного отклонения балки с простой опорой или балки кантилевера. Возможность добавлять формы и материалы раздела, это делает его полезным в качестве калькулятора для деревянных балок или в качестве калькулятора для стальных балок для LVL-лучей или I-лучевой конструкции. На данный момент, эта функциональность доступна в SkyCiv Beam который имеет гораздо больше функциональных возможностей для древесины, конструкция из бетона и стальных балок.

SkyCiv предлагает широкий спектр программного обеспечения для анализа и проектирования облачных вычислений для инженеров. Как постоянно развивающаяся технологическая компания, мы стремимся к инновациям и стимулированию существующих рабочих процессов, чтобы сэкономить время инженеров в их рабочих процессах и проектах.

Расчет балки на прогиб — онлайн калькулятор

Онлайн калькулятор по определению прогиба балки.

Для расчета вам необходимо:


1. Выбрать форму поперечного сечения

2. Выбрать материал (при использовании металлических балок — можно использовать сортамент)

3. Выбрать необходимую расчетную схему

4. Выбрать вид нагрузки (распределенная по длине балки либо сосредоточенная)

5. Указать геометрические размеры, указанные на картинках

6. Задать нагрузку (нагрузку можно рассчитать онлайн здесь)

Из возможных поперечных сечений в данном онлайн калькуляторе выбраны само часто встречающиеся сечения: круг, труба, двутавр, швеллер, уголок, прямоугольник, квадрат и профильная труба.

В расчет входят такие материалы как дерево, сталь, железобетон, алюминий, медь и стекло.

Также есть возможность выбора расчетной схемы: шарнир-шарнир, заделка-шарнир, заделка-заделка и заделка-свободный конец.

После того, как прогиб балки рассчитается – появится кнопка Подробнее, нажав на которую, можно узнать площадь сечения рассчитываемого элемента, его массу, распределенную нагрузку от собственного веса и момент инерции заданного сечения).

Зная значение длины пролета балки по СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия» для таких конструкций как балка, ферма, ригель, прогон, плита, настил покрытий и перекрытий, рассчитывается предельный прогиб, который можно сравнить с получившимся прогибом и принять решение о сечении вашей конструкции (для уменьшения прогиба в 1-ую очередь надо увеличивать высоту сечения).

При расчете балки программа уже учитывает собственный вес.

Помимо того, что Вы рассчитаете балку на прогиб, нужно ее проверить и на прочность здесь .

Если данный калькулятор оказался Вам полезен – не забывайте делиться им с друзьями и коллегами ссылкой в соц.сети, а также посмотреть другие
строительные калькуляторы онлайн, они простые, но здорово облегчают жизнь строителям и тем, кто решил сам строить свой дом с нуля.

Последние изменения:

— Добавлен расчет предельного прогиба балки

— Добавлена возможность загружения балки сосредоточенной силой

— Исправлены графические замечания с расположением швеллера

— Добавлен расчет таврого сечения

— Исправлено положение прямоугольного сечения

— Добавлена возможность поворота швеллера

— Добавлена возможность ввода своих значений модуля упругости и плотности материала

— Исправлено отображение толщины стенки и полки швеллера

Калькулятор отклонения балки

КАЛЬКУЛЯТОРЫ КОМПРЕССИОННЫХ УЧАСТНИКОВ
Калькулятор	Определение
	Расчет элементов сжатия (продольного изгиба)
ПРОСТО ОПОРНАЯ БАЛКА КАЛЬКУЛЯТОРЫ ПРОГНОЗА
	Балка с простой опорой и множественными точечными / распределенными нагрузками и моментами
	Балка с простой опорой и сосредоточенной нагрузкой в ​​любой точке
	Просто поддерживаемая балка с двумя Точечные нагрузки
	Балка с простой опорой и частично распределенной промежуточной нагрузкой
	Балка с простой опорой и двумя частично распределенными промежуточными нагрузками
	Балка с простой опорой и моментом
	Балка с простой опорой и двумя моментами
КАНТИЛЬВЕРНАЯ БАЛКА КАЛЬКУЛЯТОРЫ ПРОГНОЗА
	Консольная балка с множественными точечными / распределенными нагрузками и моментами
	Консольная балка с одинарной нагрузкой
	Распределенная нагрузка консольной балки
	Консольная балка с одним моментом
КАЛЬКУЛЯТОРЫ ПРОБЕГА ФИКСИРОВАННОЙ ЛУЧИ
	Фиксированный -Фиксированная балка с множественными точечными / распределенными нагрузками и моментами
	Фиксированная — фиксированная балка с одинарной нагрузкой
	Фиксированный — Неподвижная балка с распределенной нагрузкой
	Фиксированная — фиксированная балка с одним моментом

Калькулятор отклонения балки

Этот калькулятор отклонения балки поможет вам определить максимальное отклонение балки для балок с простой опорой и консольных балок, несущих простых конфигураций нагрузки . Вы можете выбрать один из нескольких типов нагрузки, которые могут воздействовать на балку любой длины по вашему желанию. Величина и расположение этих нагрузок влияют на то, насколько балка изгибается. В этом калькуляторе отклонения балки вы узнаете о различных формулах отклонения балки , используемых для расчета отклонений балок с жесткой опорой и балок консольных балок. Вы также узнаете, как модуль упругости балки и момент инерции ее поперечного сечения влияют на расчетный максимальный прогиб балки.

Что такое прогиб балки и изгиб балки

В строительстве мы обычно используем каркасные конструкции , которые удерживаются на месте фундаментом в земле. Эти каркасные конструкции подобны каркасам зданий, домов и даже мостов. В кадре мы называем вертикальное обрамление колонн , а горизонтальные балки . Балки — это длинные элементы конструкции, которые несут нагрузки, создаваемые горизонтальными плитами конструкций, включая перекрытия и крыши.

Когда балки несут слишком тяжелые для них нагрузки, они начинают гнуться. Мы называем величину изгиба балки , прогиб балки . Отклонение балки — это вертикальное смещение точки вдоль центра тяжести балки. Мы также можем рассматривать поверхность балки как опорную точку, если нет изменений в высоте или глубине балки во время изгиба.

Как рассчитать максимальный прогиб балки

Мы снабдили наш калькулятор прогиба балки формулами, которые инженеры и студенты-инженеры используют для быстрого определения максимального прогиба, который будет испытывать конкретная балка из-за нагрузки, которую она несет.Однако эти формулы могут решать только простые нагрузки и их комбинацию. Мы составили для вас таблицы этих формул, как показано ниже:

Формулы прогиба балок без опоры

Формулы отклонения консольной балки

Метод наложения

Для расчета максимального прогиба балки с комбинацией нагрузок мы можем использовать метод наложения . Метод наложения утверждает, что мы можем приблизительно оценить полное отклонение балки, сложив вместе все отклонения, вызванные каждой конфигурацией нагрузки.Однако этот метод дает нам лишь приблизительное значение фактического максимального прогиба. Расчет сложных нагрузок потребует от нас использования так называемого метода двойного интегрирования .

Жесткость балки

Для расчета прогиба балки необходимо знать жесткость балки и величину силы или нагрузки, которые могут повлиять на изгиб балки. Мы можем определить жесткость балки, умножив модуль упругости балки , E , на ее момент инерции , I .Модуль упругости зависит от материала балки. Чем выше модуль упругости материала, тем больше прогиб может выдержать огромные нагрузки, прежде чем достигнет предела разрушения. Модуль упругости бетона составляет 15-50 ГПа (гигапаскалей), а у стали — около 200 ГПа и выше. Эта разница в значениях модуля упругости показывает, что бетон может выдерживать лишь небольшой прогиб и трескается быстрее, чем сталь.

Вы можете узнать больше о модуле упругости, воспользовавшись нашим калькулятором напряжений.С другой стороны, чтобы определить момент инерции для определенного поперечного сечения балки, вы можете воспользоваться нашим калькулятором момента инерции. Момент инерции представляет собой величину сопротивления материала вращательному движению. Момент инерции зависит от размеров поперечного сечения материала.

Момент инерции также зависит от оси вращения материала. Чтобы лучше понять эту концепцию, давайте рассмотрим поперечное сечение прямоугольной балки шириной 20 см и высотой 30 см.Используя формулы, которые вы также можете увидеть в нашем калькуляторе момента инерции, мы можем вычислить значения момента инерции этого поперечного сечения следующим образом:

Iₓ = ширина * высота³ / 12
= 20 * (30³) / 12
= 45000 см⁴

Iᵧ = высота * ширина³ / 12
= 30 * (20³) / 12
= 20,000 см⁴

Обратите внимание на два значения момента инерции. Это потому, что мы можем рассматривать изгиб балки по вертикали (по оси x, то есть Iₓ) или по горизонтали (по оси y, то есть Iᵧ).Поскольку мы учитываем отклонение балки при вертикальном изгибе, для расчетов всегда нужно использовать Iₓ . Полученные нами значения говорят нам о том, что балку труднее изгибать при вертикальной нагрузке и легче изгибать при горизонтальной нагрузке. Эта разница в значениях момента инерции является причиной того, что мы видим балки в этой конфигурации, в которой ее высота больше, чем ее ширина.

Понимание формул прогиба балки

Теперь, когда мы знаем концепции модуля упругости и момента инерции, мы можем теперь понять, почему эти переменные являются знаменателями в наших формулах отклонения балки.Формулы показывают, что чем жестче балка, тем меньше будет ее прогиб. Однако, изучив наши формулы, мы также можем сказать, что длина балки также напрямую влияет на прогиб балки. Чем длиннее балка, тем больше она может изгибаться и тем больше может быть прогиб.

С другой стороны, нагрузки

влияют на отклонение балки двумя способами: направление отклонения и величина отклонения . Нисходящие нагрузки склонны отклонять балку вниз.Нагрузки могут быть в виде точечной нагрузки, линейного давления или моментной нагрузки. Формулы в этом калькуляторе ориентированы только на нисходящие или восходящие направления для точечной нагрузки и распределенных нагрузок. Распределенные нагрузки аналогичны давлению, но учитывают только длину балки, а не ширину балки. Формулы в этом калькуляторе также учитывают момент или крутящий момент нагрузки как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Просто проконсультируйтесь по направлениям стрелок на соответствующем изображении формулы, чтобы выяснить, в каком направлении имеется положительное значение нагрузки.

Пример расчета прогиба балки

Для примера расчета прогиба балки рассмотрим простую деревянную скамью с ножками на расстоянии 1,5 метра друг от друга в их центрах. Допустим, у нас есть доска из восточной белой сосны толщиной 4 см и шириной 30 см, которая служит сиденьем для этой скамейки. Мы можем рассматривать это сиденье как балку, которая отклоняется, когда кто-то садится на скамейку. Зная размеры этого сиденья, мы можем вычислить его момент инерции, как в нашем примере выше.Поскольку нам нужно рассчитать Iₓ, его момент инерции будет:

Iₓ = ширина * высота³ / 12
= 30 * (4³) / 12
= 160,0 см⁴ или 1,6x10⁻⁶ м⁴

Сосна восточная белая имеет модуль упругости 6800 МПа (6,8x10⁹ Па) , что является значением, которое мы получили из Справочника по древесине. Вы также можете легко получить значение модуля упругости для других материалов, таких как сталь и бетон, в Интернете или в местной библиотеке.Теперь, когда мы знаем эти значения, давайте рассмотрим нагрузку, которую будет нести этот стенд. Предположим, что ребенок 400 N сидит в центре скамейки. Теперь мы можем рассчитать прогиб сиденья скамейки из-за точечной нагрузки в его центре:

δₘₐₓ = P * L³ / (48 * E * I)
δₘₐₓ = (400 Н) * (1,5 м) ³ / (48 * 6,8x10⁹ Па * 1,6x10⁻⁶ м⁴)
δₘₐₓ = 0,002585 m = 2,5850 мм

Это означает, что многоместное сиденье прогнется примерно на 2.6 миллиметров на от исходного положения, когда ребенок сидит посередине скамейки.

Если вы нашли эту тему интересной и хотели бы узнать больше о прочности материалов, вам также может понравиться наш калькулятор запаса прочности. Вы также можете воспользоваться нашим конвертером силы, если хотите изучить различные единицы измерения точечных нагрузок и расчета сил.

Калькулятор балок: реакции опор, изгибающий момент, напряжения

Этот онлайн-калькулятор балки рассчитывает силы и моменты , , , в двух подшипниках (= опорные реакции), а также углы наклона статически определенных или
статически неопределимые балки.Кроме того, поперечная сила , изгибающий момент , , напряжение изгиба и
отклонение может быть определено в желаемом месте. Изгибающий момент, поперечная сила и прогиб как функция длины x показаны.
графически в виде двух диаграмм . Расчет максимального изгибающего момента , максимального напряжения изгиба ,
максимальное отклонение и соответствующее положение также возможно.

Подшипники могут быть выполнены в виде неподвижного подшипника, подвижного подшипника, фиксированного зажима или свободного конца. В качестве нагрузки, равной нагрузки или точечной нагрузки, или их комбинации, или треугольной нагрузки.
(влево или вправо) можно выбрать.

* Чтобы ввести эти значения, выберите в разделе «Поперечное сечение A» -> «Другие профили» -> «Собственный профиль».

** Модуль упругости вводится автоматически при выборе материала и может быть изменен в любой момент; подходящих значений вы можете найти, например, в википедии.

Осторожно:

Для профилей с отверстием только I, W и максимальное напряжение изгиба правильно рассчитываются с помощью дополнительных функций. Для других значений выберите профиль без отверстия!

С помощью этого калькулятора можно рассчитать опорные силы как статически определенных, так и статически неопределенных систем. Возможны следующие комбинации:

Страница создана в августе 2019 года. Последнее изменение: 24 октября 2020 года.

Калькулятор для инженеров — изгибающий момент и поперечное усилие для балки с простой опорой

Избранные ссылки

Калькулятор преобразования напряжения
Расчет главного напряжения, максимального напряжения сдвига и их плоскостей

Калькулятор для анализа подвижной нагрузки
Для определения абсолютного макс. Б.М. из-за движущихся грузов.

Калькулятор преобразования напряжения
Расчет главного напряжения, максимального напряжения сдвига и их плоскостей

Калькулятор момента инерции
Расчет момента инерции плоских сечений e.грамм. швеллер, уголок, тройник и др.

Калькулятор железобетона
Расчет прочности железобетонной балки

Калькулятор распределения моментов
Решение неопределенных балок

Калькулятор прогиба и уклона
Расчет прогиба и уклона свободно опертой балки для многих случаев нагружения

Калькулятор фиксированной балки
Инструмент для расчета изгибающего момента и поперечной силы для фиксированной балки для многих случаев нагружения

Калькулятор BM и SF для консоли
Расчет SF и BM для консоли

Калькулятор прогиба и наклона консоли
Для многих случаев нагружения консоли

Вычислитель выступающей балки
Для SF и BM многих случаев нагружения выступающей балки

Дополнительные ссылки

Викторина по гражданскому строительству
Проверьте свои знания по различным темам гражданского строительства

Научные статьи
Исследования, диссертации и диссертации

Небоскребы мира
Высокие здания мира

Предстоящие конференции
Список конференций, семинаров и практикумов по гражданскому строительству

Профиль инженеров-строителей
Познакомьтесь с выдающимися инженерами-строителями

Профессиональные общества
Всемирные профессиональные общества инженеров-строителей

Продолжайте посещать, чтобы получать обновления или присоединяйтесь к нашему списку рассылки, чтобы получать обновления

Поищите на нашем сайте больше…

Расскажите о нас своим друзьям

Другие полезные ссылки

Калькулятор изгибающего момента и поперечной силы

Bendingmomentdiagram.com — это бесплатный онлайн-калькулятор, который генерирует диаграммы изгибающего момента (BMD) и диаграммы поперечного усилия (SFD) для большинства простых балок. Калькулятор полностью настраивается для работы с большинством балок; эта функция недоступна в большинстве других калькуляторов. Программное обеспечение работает на базе SkyCiv, предлагая мощное программное обеспечение для структурного анализа и проектирования в облаке.

Инструмент полностью функциональный, поэтому посетите наше Бесплатное программное обеспечение Beam, чтобы начать работу! Он будет работать со всеми опорными, определяющими балками и способен воспринимать точечные нагрузки, сосредоточенные моменты и распределенные нагрузки. Кроме того, его можно легко настраивать и настраивать, чтобы вы могли создавать свои собственные лучи. Это чрезвычайно точный инструмент и, в отличие от современных калькуляторов, очень удобный. Это чрезвычайно полезный инструмент для студентов университетов, колледжей и старшеклассников, которым утомительно приходится перерисовывать BMD и SFD для заданий и практических / учебных вопросов.

У нас также есть Учебная страница, которая поможет студентам университетов с расчетами, ожидаемыми в их инженерной степени, а также школьникам. Эти студенты могут научиться рассчитывать и создавать диаграммы поперечной силы и изгибающего момента, и мы понимаем, что процесс анализа балки иногда может быть трудным, поэтому мы предоставили простое пошаговое руководство по расчету диаграмм изгибающего момента и поперечной силы. Включены простые уравнения и формулы изгибающего момента, которые хорошо помогают в ваших расчетах.Существуют также примеры и генераторы случайных балок, которые позволят вам поэкспериментировать с тем, как различные нагрузки влияют на расчет балки, а также на поперечную силу и изгибающий момент балки.

Схема

Bending Moment Diagram разработана командой SkyCiv Engineering, которая предлагает пакеты для студентов и профессионалов, которые предоставляют пользователям доступ к разнообразному программному обеспечению для проектирования конструкций для выполнения работы. Все учетные записи основаны на подписке, поэтому вы можете ежемесячно оплачивать программное обеспечение по мере необходимости! Больше никаких проблем с установкой, загрузкой или лицензированием!

Калькулятор деревянных балок | Какой размер мне нужен?

Рассчитайте размер, необходимый для балки, фермы или заголовка, изготовленных из No.2 сосны или LVL. Охватывает любой пролет и любую нагрузку с высокой точностью. Дважды проверьте себя с помощью этих диаграмм. Работает только с равномерно распределенными нагрузками.

Есть два разных типа нагрузок. Это либо внешняя, либо внутренняя нагрузка. Другими словами, он будет либо на внешней стене, либо где-то внутри. Нагрузка на внешнюю стену с чистыми пролетными фермами составляет ровно половину нагрузки на каждую стену. Например, если размер здания составляет 24 x 24 дюйма, и в нем есть фермы, а нагрузка на крышу будет составлять 30 фунтов снеговой нагрузки, а потолок без хранилища будет таким.Это будет вдвое больше нагрузки на внешние стены по сравнению со зданием с центральной стеной. Калькулятор учитывает все это. Вам нужно только выбрать все применяемые нагрузки.

Большинство внутренних балок должны учитывать нагрузку на крышу. Если есть какие-либо вопросы по другому поводу, вам следует обратиться к поставщику или инженеру. Этот калькулятор соответствует 90% приложений в Международной книге кодов жилищного строительства 2012 года.

Здравый смысл

По моему опыту никогда не использовать балку меньше двухслойной 2 x 8.Независимо от того, что говорят спецификации. Эти небольшие области обычно представляют собой дверные проемы внутри, и людей учат, что эти области являются самым надежным местом в доме в случае возникновения чрезвычайной ситуации.

Подшипник

Согласно кодам IRC 2012 года любая балка, балка или коллектор никогда не должны иметь наклон менее 1 1/2 дюйма. Что-нибудь 5 ‘и выше мы всегда как минимум вдвое калечим. На более длинных пролетах балке может потребоваться гораздо больше места для опоры, как указано в этой таблице.

Крепление

Балки, состоящие из более чем одного слоя, необходимо скреплять вместе гвоздями или болтами.Код IRC 2012 года требует минимум 32 ″ O.C. в шахматном порядке с использованием гвоздя размером не менее 3 ″ на 120 ″. На собственном опыте мы научились использовать гвоздь с пазом размером не менее 3 1/4 дюйма x 131 дюйм в столбике из четырех на каждую ногу вниз по ламинату.

Единственный случай, когда вам когда-либо понадобится использовать болты, будет, если материал будет иметь такие серьезные деформации, как плохая «чашка», которую невозможно преодолеть гвоздями.

Онлайн калькулятор луча

| Калькулятор изгибающего момента и силы сдвига выступающей балки

NEWS | ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ | ЛИСТ

Бесплатный онлайн-калькулятор предназначен для расчета величины поперечной силы и изгибающего момента в точке свисающей балки, несущей равномерно распределенную нагрузку (UDL), или точечной нагрузки в любой точке по длине.

Он даже обеспечивает количество наивысшего изгибающего момента, в котором его местоположение появляется. Калькуляторы соответствуют установленным формулам для поперечной силы и изгибающего момента нависающей балки и предложены преподавателями колледжа.

В случае объединения нагрузок можно применить закон суперпозиции для вычисления результирующих величин.

Примеры нагрузки для выступающей балки: калькулятор предлагает результаты для поперечной силы и изгибающего момента на части выступающей балки, вероятно, по отношению к точечной нагрузке на пролете.Вычисленные величины можно использовать для набросков изгибающего момента и поперечной силы.

Калькулятор также можно использовать для определения ординат диаграммы линий влияния для зданий.

Равномерная нагрузка на балку: калькулятор предлагает результаты для поперечной силы и изгибающего момента на части выступающей балки, вероятно, в отношении равномерно распределенной нагрузки на участке пролета. Пожалуйста, сделайте ссылку на представление и введите количество нагрузки и пролеты в форму, представленную ниже, а затем нажмите «Рассчитать».

Предполагается, что все восходящие рабочие нагрузки положительны, а нисходящие — отрицательны.

Онлайн-калькуляторы изгибающего момента и поперечной силы выступающей балки.

Прочтите следующий видеоурок, чтобы получить дополнительную информацию.

Лектор: Параг Пал

.

Расчет балок на прочность.

Расчет по допускаемым напряжениям на прочность при изгибе.

– при симметричном сечении

Проверка прочности по предельным состояниям.

– максимальный изгибающий момент от расчетных нагрузок.

Р_р=Р_н×n

n – коэффициент перегрузки.

– нормативная нагрузка.

Р_р – расчетная нагрузка.

– коэффициент условия работы.

Если материал работает неодинаково на растяжение и сжатие, то прочность проверяется по формулам:

где R_p и R_сж – расчетное сопротивление на растяжение и сжатие

Расчет по несущей способности и учетом пластической деформации.

В предыдущих методах расчета прочность проверяется по максимальны напряжениям в верхних и нижних волокнах балки. При этом средние волокна оказываются недогруженными.

Оказывается, если нагрузку увеличивать дальше, то в крайних волокнах напряжение дойдет до предела текучести σ_т( в пластичных материалах), и до предела прочности σ_nч( в хрупких материалах). При дальнейшем увеличении нагрузки хрупкие материалы разрушатся, а в пластичных материалах напряжения в крайних волокнах далее не возрастают, а растут во внутренних волокнах. (см. рис.)

Несущая способность балки исчерпывается, когда по всему сечению напряжения достигнут σ_т.

		W пл= S1+S2 W пл – пластический момент сопротивления — статический момент растянутой и сжатой зон относительно нейтральной оси. Мпред = σт × W пл где – коэффициент надежности по материалу. где R — расчетное сопротивление.
	— проверка прочности.

Для прямоугольного сечения:

W пл=S1+S2=bh2 /4 W пл=bh2 /4 — для прямоугольного сечения. W =bh2 /6 – обычный момент сопротивления. W пл=1,5W

Примечание: для прокатных профилей (швеллер и двутавр) пластический момент Wnл=(1.1÷1,17)×W

Касательные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения. Формула Журавcкого.

Так как момент в сечении 2 больше момента в сечении 1, то напряжение σ₂>σ₁=>N₂>N_1.

В этом случае элемент abcd должен переместиться влево. Этому перемещению препятствуют касательные напряжения τ на площадке cd.

— уравнение равновесия, после преобразования которого получается формула для определения τ: — Формула Журавского

где Q — поперечная сила, Sотс — статический момент отсеченной части относительно нейтральной оси, J-момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси, b — ширина балки на уровне y.

Распределение касательных напряжений в балках прямоугольного, круглого и двутаврового сечений.

1. Прямоугольное сечение:

— формула для сечения на расстоянии у0 от нейтральной оси.

2.Круглое сечение.

— формула для сечения на расстоянииу0 от нейтральной оси. — формула для сечения под углом α.

3. Двутавровое сечение.

				Для стенки двутавра касательные напряжения вычисляют по формуле:
	Для полки: условно вертикальные касательные напряжения определяют по формуле:
			В полках двутавров возникают касательные напряжения, направленные горизонтально:
		На рисунке показан общий характер распределения τ в сечении двутавра.

Главные напряжения при изгибе. Проверка прочности балок.

Выделим из балки участок, на который действует максимально поперечная сила Qmaxи изгибающий момент Mmax. Наиболее опасными точками являются сечение A и точка Б. Прочность проверяется по напряжениям в этих точках. На практике обычно ограничиваются проверкой сечения A:

[σ_сж]

Примечание: при расчете по предельным состояниям вместо [σ_сж] и [σ_р] в формулы ставятся R_cж и R_p – расчетные сопротивления материала при сжатии и растяжении.

Если же балка короткая, то проверяют точку Б:

где R_срез – расчетное сопротивление материала на срез.

В точке D на элемент действует нормальные и касательные напряжения, поэтому в некоторых случаях их совместное действие вызывает опасность для прочности. В этом случае элемент D проверяют на прочность используя главные напряжения.

В нашем случае: , следовательно:

Используя σ ₁и σ₂ по теории прочности проверяют элемент D.

По теории наибольших касательных напряжений имеем: σ ₁ — σ₂≤R

Примечание: точку D следует брать по длине балки там, где одновременно действуют большие M и Q.

По высоте балки выбираем такое место, где одновременно действуют значения σ и τ.

Из эпюр видно:

1. В балках прямоугольного и круглого сечения отсутствуют точки, в которых одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому в таких балках проверка точки D не делается.

2. В балках двутаврового сечения на границе пересечения полки со стенкой (т. А) одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому они проверяются на прочность в этой точке.

Примечание:

1. В прокатных двутаврах и швеллерах в зоне пересечения полки со стенкой сделаны плавные переходы (закругления). Стенка и полка подобраны так, что точка A оказывается в благоприятных условиях работы и проверка прочности не требуется.

2. В составных (сварных) двутавровых балках проверка точки А необходима.

Расчет прогиба балки на двух опорах

Процесс проектирования современных строений и построек регулируется огромным количеством различных строительных норм и правил. В большинстве случаев нормы требуют обеспечения определенных характеристик, например, деформации или прогиба балок плит перекрытия под статической или динамической нагрузкой. Например, СНиП № 2.09.03-85 определяет для опор и эстакад прогиб балки не более чем в 1/150 длины пролета. Для чердачных перекрытий этот показатель составляет уже 1/200, а для межэтажных балок и того меньше – 1/250. Поэтому одним из обязательных этапов проектирования является выполнение расчета балки на прогиб.

Способы выполнить расчет и проверку на прогиб

Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность.

Просчитать прогиб конструкции можно несколькими способами:

• Воспользоваться программным онлайн-калькулятором, в котором «зашиты» стандартные условия, и не более того;
• Использовать готовые справочные данные для различных типов и видов балок, для различных опор схем нагрузок. Нужно только правильно идентифицировать тип и размер балки и определить искомый прогиб;
• Посчитать допустимый прогиб руками и своей головой, большинство проектировщиков так и делают, в то время как контролирующие архитектурные и строительные инспекции предпочитают второй способ расчета.

Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет.

Методика выполнения расчета на прогиб

Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета.

Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото.

В нашем случае балка:

1. Имеет прямоугольное сечение S=b*h, длина опирающейся части составляет L;
2. Линейка нагружена силой Q, проходящей через центр тяжести изгибаемой плоскости, в результате чего концы поворачиваются на небольшой угол θ, с прогибом относительно начального горизонтального положения, равным f;
3. Концы балки опираются шарнирно и свободно на неподвижных опорах, соответственно, не возникает горизонтальной составляющей реакции, и концы линейки могут перемещаться в произвольном направлении.

Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ, где Е – справочная величина, R— усилие, Δ— величина деформации тела.

Вычисляем моменты инерции и сил

Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е). Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е).

Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже.

Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е).

Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил M_max = q*L*2/8, соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е). Величину b·h²/6 называют моментом инерции и обозначают W. В итоге получается Δх = M·х/(W·Е) основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E через момент инерции и изгибающий момент.

Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L²/8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления.

Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h³/12, где b и h – размеры сечения балки.

Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150.

Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя.

Формулы для практического использования

На практике чаще всего стоит обратная задача – определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии.

Совет! В вопросе расчета предельного состояния балки по величине прогиба неоценимую услугу оказывают требования СНиПа. Устанавливая предел прогиба в относительной величине, например, 1/250, строительные нормы существенно облегчают определение аварийного состояния балки или плиты.

Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения.

Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем:

• Первоначально измеряется геометрия плиты или балки, фиксируется величина прогиба;
• По измеренным параметрам определяется сортамент балки, далее по справочнику выбирается формула момента инерции;
• По прогибу и моменту инерции определяют момент силы, после чего, зная материал, можно выполнить расчет реальных напряжений в металлической, бетонной или деревянной балке.

Вопрос – почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L²/(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия.

Ответ  прост — необходимо непросто рассчитать, но и сохранить на бумаге ход выполнения проверочного расчета, чтобы сделанные выводы о состоянии перекрытия можно было проверить и перепроверить по всем этапам проверки.

Совет! Используйте в своих расчетах существующие ведомственные сборники различных проектных организаций, в которых в сжатом виде сведены все необходимые формулы для определения и расчета предельного нагруженного состояния.

Заключение

Аналогичным образом поступает большинство разработчиков и проектантов серьезных построек. Программа – это хорошо, она помогает очень быстро выполнить расчет прогиба и основных параметров нагружения перекрытия, но важно также предоставить заказчику документальное подтверждение полученных результатов в виде конкретных последовательных расчетов на бумаге.

Что еще почитать по теме?

Автор статьи:

Сергей Новожилов — эксперт по кровельным материалам с 9-летним опытом практической работы в области инженерных решений в строительстве.

Понравилась статья? Поделись с друзьями в социальных сетях:

Facebook

Twitter

Вконтакте

Одноклассники

Google+

Расчет прочности двутавровой балки на прочность

Расчет расчетной прочности двутавровой балки для расчета нормальное напряжение, напряжение сдвига и напряжение фон Мизеса в критических точках данного сечение двутавра.

Поперечная нагрузка на двутавровую балку может привести к нормальным напряжениям и напряжениям сдвига. одновременно на любом поперечном сечении двутавра. Нормальное напряжение на данном поперечном сечении изменяется относительно расстояние y от нейтральной оси, и оно наибольшее в самой дальней точке от нервная ось.Нормальное напряжение также зависит от изгибающего момента в сечение и максимальное значение нормального напряжения в двутавровой балке возникает там, где изгибающий момент наибольший. Максимальное напряжение сдвига возникает на нейтральной оси двутавровой балки, где сила сдвига максимальна.

Примечание. Для получения дополнительной информации о см. разделы «Напряжения сдвига в тонкостенных элементах» и «Расчет балок и валов на прочность »главы механики материалов .

Примечание: V и M — поперечная сила и изгибающий момент в сечении, как показано на фигура. Посетить » «Калькуляторы прогиба и напряжения несущей балки». Для расчета поперечной силы и изгибающего момента. 4 Расчет напряжений на участке А МПапсикси Нормальное напряжение [σ _{x_A} ] — Напряжение сдвига [τ _{xy_A} ] — Напряжение фон Мизеса при A [σ _{v_A} ] — Расчет напряжений на участке B Нормальное напряжение при B [σ _{x_B} ] — Напряжение сдвига при B [τ _{xy_B} ] — Напряжение фон Мизеса при B [σ _{v_B} ] — Расчет напряжений на участке D Нормальное напряжение при D [σ _{x_D} ] — Напряжение сдвига при D [τ _{xy_D} ] — Напряжение по Мизесу при D [σ _{v_D} ] —

Примечание: используйте точку «.»как десятичный разделитель.

Примечание. Напряжения являются положительными числами, и это величины напряжений в луч. Он не делает различий между растяжением и сжатием конструкции. луч.

Примечание. Эффекты концентраций напряжений не учитываются в расчетах.

Двутавровая балка: Двутавровая балка — разновидность балки. часто используется в фермах в зданиях.Двутавровая балка обычно изготавливается из конструкционные стали, подвергнутые горячей и холодной прокатке или сварке. Верхняя и нижняя пластины двутавровой балки называются полками, а вертикальная пластина, соединяющая полки, называется стенкой.

Нормальное напряжение: Напряжение действует перпендикулярно поверхности (поперечному сечению).

Второй момент области: способность поперечного сечения противостоять изгибу.

Напряжение сдвига: Напряжение, действующее параллельно поверхности (поперечному сечению), имеет режущий характер.

Напряжение: Среднее усилие на единицу площади, которое приводит к деформации материала.

Напряжение и прогиб балки | MechaniCalc

ПРИМЕЧАНИЕ. Эта страница использует JavaScript для форматирования уравнений для правильного отображения. Пожалуйста, включите JavaScript.

---

Многие конструкции можно представить как прямую балку или как набор прямых балок. По этой причине анализ напряжений и прогибов в балке является важной и полезной темой.

В этом разделе рассматриваются поперечная сила и изгибающий момент в балках, диаграммы сдвига и момента, напряжения в балках и таблица общих формул прогиба балок.

Состав

Ограничения и граничные условия

Чтобы балка оставалась в статическом равновесии при приложении к ней внешних нагрузок, балка должна быть закреплена. Ограничения определяются в отдельных точках вдоль балки, а граничное условие в этой точке определяет характер ограничения.Граничное условие указывает, является ли балка фиксированной (удерживаемой от движения) или свободной для движения в каждом направлении. Для двумерного луча интересующими направлениями являются направление x (осевое направление), направление y (поперечное направление) и вращение. Чтобы ограничение существовало в точке, граничное условие должно указывать, что в этой точке зафиксировано хотя бы одно направление.

Общие граничные условия показаны в таблице ниже. Для каждого граничного условия в таблице указано, является ли балка фиксированной или свободной в каждом направлении в точке, где определено граничное условие.

Граничное условие	Направление
	Осевой (X)	Поперечный (Y)	Вращение
Свободно	Свободно	Свободно	Свободно
Фиксированное	Фиксированное	Фиксированное	Фиксированное
Штифтовое	Фиксированный	Фиксированный	Свободный
Направляемый по X	Свободный	Фиксированный	Фиксированный
Направляемый по Y	Фиксированный	Свободно	Фиксированный
Ролик по X	Свободный	Фиксированный	Свободный
Ролик по оси Y	Фиксированный	Свободный	Свободный

Если граничное условие указывает, что балка зафиксирована в определенном направлении, тогда в месте граничного условия может существовать внешняя реакция в этом направлении.Например, если балка закреплена в направлении y в определенной точке, тогда в этой точке может развиться внешняя поперечная сила реакции (y). Аналогичным образом, если балка зафиксирована от вращения в определенной точке, то в этой точке может возникнуть внешний реакционный момент.

Основываясь на приведенном выше обсуждении, мы можем видеть, что фиксированное граничное условие может создавать осевые и поперечные силы реакции, а также момент. Точно так же мы видим, что закрепленное граничное условие может развивать осевые и поперечные силы реакции, но не может развивать момент реакции.

Обратите внимание на граничное условие Free в таблице выше. Это граничное условие указывает, что луч может свободно перемещаться во всех направлениях в этой точке (т. Е. Он не фиксирован и не ограничен в каком-либо направлении). Следовательно, на данный момент ограничения не существует. Это подчеркивает тонкую разницу между ограничением и граничным условием. Граничное условие указывает фиксированное / свободное состояние в каждом направлении в определенной точке, а ограничение — это граничное условие, в котором фиксируется по крайней мере одно направление.

Сила сдвига и изгибающий момент

Чтобы найти поперечную силу и изгибающий момент по длине балки, сначала решите внешние реакции при каждом ограничении. Например, консольная балка ниже имеет приложенную силу, показанную красной стрелкой, а реакции показаны синими стрелками при фиксированном граничном условии.

Внешние реакции должны уравновешивать приложенные нагрузки таким образом, чтобы балка находилась в статическом равновесии.После того, как внешние реакции решены, сделайте разрезы по длине балки и решите внутренние реакции на каждом разрезе. (Силы реакции и моменты в разрезах секции называются внутренними реакциями, поскольку они являются внутренними по отношению к балке.) Пример разреза разреза показан на рисунке ниже:

Когда балка разрезается по сечению, при решении внутренних реакций можно учитывать любую сторону балки. Выбранная сторона не влияет на результаты, поэтому выберите наиболее легкую.На рисунке выше выбрана сторона балки справа от разреза. Выбранная сторона отображается как синяя секция балки, а секция, показанная серым, игнорируется. Внутренние реакции на разрезе показаны синими стрелками. Реакции рассчитываются таким образом, чтобы рассматриваемое сечение балки находилось в статическом равновесии.

Конвенция о знаках

Знаки сдвига и момента важны. Знак определяется после того, как сделан разрез и решены реакции для части балки на одной стороне разреза.Сила сдвига в разрезе секции считается положительной, если она вызывает вращение выбранной секции балки по часовой стрелке, и считается отрицательной, если она вызывает вращение против часовой стрелки. Изгибающий момент в разрезе секции считается положительным, если он сжимает верхнюю часть балки и удлиняет ее нижнюю часть (т. Е. Если он заставляет балку «улыбаться»).

Исходя из этого соглашения о знаках, поперечная сила в разрезе секции для примера консольной балки на рисунке выше является положительной, поскольку она вызывает вращение выбранной секции по часовой стрелке.Момент отрицательный, поскольку он сжимает нижнюю часть балки и удлиняет верхнюю часть (т. Е. Заставляет балку «хмуриться»).

На рисунке ниже показаны стандартные условные обозначения для силы сдвига и изгибающего момента. Силы и моменты слева положительны, а справа — отрицательны.

---

Ознакомьтесь с нашим калькулятором балок, основанным на методике, описанной здесь.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Строит диаграммы сдвига и момента
• Может указывать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

---

Диаграммы сдвига и момента

Сила сдвига и изгибающий момент в балке обычно выражаются диаграммами.Диаграмма сдвига показывает поперечную силу по длине балки, а диаграмма моментов показывает изгибающий момент по длине балки. Эти диаграммы обычно показаны сложенными друг на друга, и комбинация этих двух диаграмм представляет собой диаграмму момента сдвига. Диаграммы момента сдвига для некоторых общих конечных условий и конфигураций нагрузки показаны в таблицах прогиба балок в конце этой страницы. Пример диаграммы момента сдвига показан на следующем рисунке:

Общие правила построения диаграмм момента сдвига приведены в таблице ниже.Все правила в этой таблице показаны на рисунке выше.

Диаграмма сдвига

Моментная диаграмма

Точечные нагрузки вызывают вертикальный скачок на диаграмме сдвига. Направление прыжка совпадает со знаком точечной нагрузки. Равномерно распределенные нагрузки дают прямую наклонную линию на диаграмме сдвига. Наклон линии равен величине распределенной нагрузки. Диаграмма сдвига горизонтальна для расстояний вдоль балки без приложенной нагрузки. Сдвиг в любой точке балки равен наклону момента в этой же точке:

Диаграмма моментов представляет собой прямую наклонную линию для расстояний вдоль балки без приложенной нагрузки. Наклон линии равен величине сдвига. Равномерно распределенные нагрузки приводят к параболической кривой на диаграмме моментов. Максимальные / минимальные значения момента возникают там, где линия сдвига пересекает ноль. Момент в любой точке балки равен площади под диаграммой сдвига до этой точки: M = ∫ V dx

Напряжения изгиба в балках

Изгибающий момент M по длине балки можно определить по диаграмме моментов.Изгибающий момент в любом месте балки затем можно использовать для расчета изгибающего напряжения по поперечному сечению балки в этом месте. Изгибающий момент изменяется по высоте поперечного сечения в соответствии с приведенной ниже формулой для изгиба :

где M — изгибающий момент в интересующем месте по длине балки, I _c — центроидный момент инерции поперечного сечения балки, а y — расстояние от нейтральной оси балки до интересующей точки по высоте. поперечного сечения.Отрицательный знак указывает, что положительный момент приведет к сжимающему напряжению выше нейтральной оси.

Напряжение изгиба равно нулю на нейтральной оси балки, которая совпадает с центром тяжести поперечного сечения балки. Напряжение изгиба линейно увеличивается от нейтральной оси до максимальных значений на крайних волокнах вверху и внизу балки.

Максимальное напряжение изгиба возникает в крайнем волокне балки и рассчитывается как:

где c — центроидное расстояние поперечного сечения (расстояние от центроида до крайнего волокна).

Если балка асимметрична относительно нейтральной оси, так что расстояния от нейтральной оси до верха и низа балки не равны, максимальное напряжение будет возникать в самом дальнем от нейтральной оси месте. На рисунке ниже растягивающее напряжение в верхней части балки больше, чем сжимающее напряжение в нижней части.

Модуль упругости поперечного сечения объединяет центроидный момент инерции I _c и центральное расстояние c:

Преимущество модуля сечения состоит в том, что он характеризует сопротивление сечения изгибу одним членом.Модуль сечения можно подставить в формулу изгиба для расчета максимального напряжения изгиба в поперечном сечении:

---

Ознакомьтесь с нашим калькулятором балок, основанным на методике, описанной здесь.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Строит диаграммы сдвига и момента
• Может указывать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

---

Напряжения сдвига в балках

Сила сдвига V по длине балки может быть определена из диаграммы сдвига.Сила сдвига в любом месте вдоль балки затем может использоваться для расчета напряжения сдвига по поперечному сечению балки в этом месте. Среднее напряжение сдвига по поперечному сечению определяется как:

Напряжение сдвига меняется по высоте поперечного сечения, как показано на рисунке ниже:

Напряжение сдвига равно нулю на свободных поверхностях (вверху и внизу балки) и максимально в центре тяжести. Уравнение для касательного напряжения в любой точке, расположенной на расстоянии y ₁ от центра тяжести поперечного сечения, определяется следующим образом:

где V — поперечная сила, действующая в месте поперечного сечения, I _c — центроидный момент инерции поперечного сечения, а b — ширина поперечного сечения.Все эти термины являются константами. Член Q — это первый момент области, ограниченной интересующей точкой и крайним волокном поперечного сечения:

Напряжения сдвига для нескольких общих поперечных сечений обсуждаются в следующих разделах.

Напряжения сдвига в прямоугольном сечении

Распределение касательного напряжения по высоте прямоугольного поперечного сечения показано на рисунке ниже:

Первый момент площади в любой заданной точке y ₁ по высоте поперечного сечения рассчитывается по формуле:

Максимальное значение Q приходится на нейтральную ось луча (где y ₁ = 0):

Напряжение сдвига в любой заданной точке y ₁ по высоте поперечного сечения рассчитывается по формуле:

где I _c = b · h ³ /12 — центроидный момент инерции поперечного сечения.Максимальное напряжение сдвига возникает на нейтральной оси балки и рассчитывается по формуле:

где A = b · h — площадь поперечного сечения.

Из предыдущего уравнения видно, что максимальное напряжение сдвига в поперечном сечении на 50% превышает среднее напряжение V / A.

Напряжения сдвига в круглых сечениях

Круглое поперечное сечение показано на рисунке ниже:

Уравнения для касательного напряжения в балке были получены с использованием предположения, что касательное напряжение по ширине балки является постоянным.Это предположение справедливо в центре тяжести кругового поперечного сечения, хотя нигде больше не действует. Следовательно, хотя распределение напряжения сдвига по высоте поперечного сечения не может быть легко определено, максимальное напряжение сдвига в сечении (возникающее в центре тяжести) все же может быть вычислено. Максимальное значение первого момента Q, возникающего в центроиде, определяется как:

Затем максимальное напряжение сдвига рассчитывается по формуле:

где b = 2r — диаметр (ширина) поперечного сечения, I _c = πr ⁴ /4 — центроидный момент инерции, а A = πr ² — площадь поперечного сечения.

Напряжения сдвига в круглых сечениях трубы

Круглое поперечное сечение трубы показано на рисунке ниже:

Максимальное значение первого момента Q, возникающего в центроиде, определяется как:

Затем максимальное напряжение сдвига рассчитывается по формуле:

где b = 2 (r _o — r _i ) — эффективная ширина поперечного сечения, I _c = π (r _o ⁴ — r _i ⁴ ) / 4 — центроидный момент инерции, а A = π (r _o ² — r _i ² ) — площадь поперечного сечения.

Напряжения сдвига в двутавровых балках

Распределение напряжения сдвига вдоль стенки двутавровой балки показано на рисунке ниже:

Уравнения для касательного напряжения в балке были получены с использованием предположения, что касательное напряжение по ширине балки является постоянным. Это предположение справедливо для стенки двутавровой балки, но неверно для полок (особенно там, где стенка пересекает полки). Однако стенка двутавровой балки принимает на себя подавляющую часть усилия сдвига (примерно 90% — 98%, согласно Гиру), и поэтому можно консервативно предположить, что стенка несет всю силу сдвига.

Первый момент площади перемычки двутавровой балки определяется как:

Напряжение сдвига вдоль стенки двутавровой балки определяется по формуле:

где t _w — толщина стенки, а I _c — центроидный момент инерции двутавровой балки:

Максимальное значение напряжения сдвига возникает на нейтральной оси (y ₁ & равно; 0), а минимальное значение напряжения сдвига в полотне возникает на внешних волокнах полотна, где оно пересекает фланцы y ₁ & equals; & pm; h _w /2):

---

Ознакомьтесь с нашим калькулятором балок, основанным на методике, описанной здесь.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Строит диаграммы сдвига и момента
• Может указывать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

---

Таблицы прогиба балки

В таблицах ниже приведены уравнения прогиба, наклона, сдвига и момента вдоль прямых балок для различных конечных условий и нагрузок. Вы можете найти исчерпывающие таблицы в таких источниках, как Гир, Линдебург и Шигли.Однако приведенные ниже таблицы охватывают большинство распространенных случаев.

Консольные балки

Балки с простой опорой

Фиксированные фиксированные балки

---

Подпишитесь, чтобы получать обновления о последних улучшениях:

---

Список литературы

1. Будинас-Нисбетт, «Машиностроительный проект Шигли», 8-е изд.
2. Гир, Джеймс М., «Механика материалов», 6-е изд.
3. Линдебург, Майкл Р., «Справочное руководство по машиностроению для экзамена на физическую форму», 13-е изд.
4. «Руководство по анализу напряжений», Лаборатория динамики полета ВВС, октябрь 1986 г.

Краткий справочник по анализу пучка (формула)

ПРИМЕЧАНИЕ. Эта страница использует JavaScript для форматирования уравнений для правильного отображения. Пожалуйста, включите JavaScript.

---

На этой странице представлена ​​краткая справочная таблица формул для расчета напряжений и прогибов в балках.

Сила сдвига и изгибающий момент

Чтобы найти поперечную силу и изгибающий момент по длине балки, сначала решите внешние реакции при граничных условиях. Затем сделайте разрезы по длине балки и решите реакции на каждом разрезе, как показано ниже. Выбранная сторона разреза не повлияет на результаты.

Конвенция о знаках

Ножницы	Изгибающий момент
Положительный сдвиг вызывает вращение выбранной секции балки по часовой стрелке, отрицательный сдвиг вызывает вращение против часовой стрелки.	Положительный момент сжимает верхнюю часть балки и удлиняет ее нижнюю часть (т.е. заставляет балку «улыбаться»). Отрицательный момент заставляет луч «хмуриться».

Диаграммы сдвига и момента

Сдвиговый и изгибающий моменты балки обычно выражаются с помощью диаграмм сдвига и момента. Здесь показан пример диаграммы момента сдвига.

Общие правила построения диаграмм момента сдвига приведены в таблице ниже.

Диаграмма сдвига

Моментная диаграмма

Точечные нагрузки вызывают вертикальный скачок на диаграмме сдвига в том же направлении, что и знак точечной нагрузки. Равномерно распределенные нагрузки образуют прямую наклонную линию, наклон которой равен значению распределенной нагрузки. Диаграмма сдвига горизонтальна для расстояний вдоль балки без приложенной нагрузки. Сдвиг в любой точке балки равен наклону момента в этой же точке:

Для расстояний вдоль балки без приложенной нагрузки диаграмма моментов представляет собой прямую наклонную линию с наклоном, равным значению сдвига. Равномерно распределенные нагрузки приводят к параболической кривой на диаграмме моментов. Максимальные / минимальные значения момента возникают там, где линия сдвига пересекает ноль. Момент в любой точке балки равен площади под диаграммой сдвига до этой точки: M = ∫ V dx

Напряжения изгиба в балках

Напряжение изгиба в балке равно нулю на нейтральной оси и линейно увеличивается с расстоянием от нейтральной оси в соответствии с формулой изгиба :

Формула изгиба (напряжение изгиба в зависимости отрасстояние от нейтральной оси):
Максимальное напряжение изгиба возникает в крайнем волокне:

где M — момент в точке по длине балки, взятый из диаграммы моментов.

Напряжение изгиба в несимметричной балке:

Модуль сечения , S, характеризует сопротивление изгибу поперечного сечения одним термином:

Максимальное напряжение изгиба в балке:

Напряжения сдвига в балках

Максимальное напряжение сдвига для общих поперечных сечений:

Таблицы отклонения балки

Таблицы уравнений прогиба, наклона, сдвига и момента вдоль прямых балок для различных конечных условий и нагрузок можно найти на этой странице.

---

Ознакомьтесь с нашим калькулятором балок, основанным на методике, описанной здесь.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Строит диаграммы сдвига и момента
• Может указывать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

---

Список литературы

1. Будинас-Нисбетт, «Машиностроительный проект Шигли», 8-е изд.
2. Гир, Джеймс М., «Механика материалов», 6-е изд.
3. Линдебург, Майкл Р., «Справочное руководство по машиностроению для экзамена на физическую форму», 13-е изд.
4. «Руководство по анализу напряжений», Лаборатория динамики полета ВВС, октябрь 1986 г.

---

Расчет луча

| MechaniCalc

Калькулятор балки позволяет анализировать напряжения и прогибы в прямых балках.

Опции

Пример загрузки

Очистить все данные

---

Входы

Введите данные балки, затем нажмите кнопку «Рассчитать результаты»:

—

Добавить ограничение

Удалить ограничение

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

Рассчитать результаты

Предупреждение — Перед решением необходимо исправить следующее:

---

Дисплейные блоки

---

Результаты

Результаты анализа пучка подробно описаны ниже. Задача решалась в виде конечно-элементной модели с использованием балочных элементов. Для получения дополнительной информации о том, как были получены эти результаты, обратитесь к справочнику по конечно-элементному анализу и справочнику по напряжению и прогибу балки.

Обзор результатов

Максимальный прогиб и наклон приведены ниже:

	Значение	Расположение
Максимальный прогиб:
Максимальный наклон:

Схема свободного тела (FBD) и деформированная сетка показаны ниже.

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

---

См. Полную информацию о результате на других вкладках (выше).

Обзор модели

Модель с приложенными силами и ограничениями показана ниже:

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

---

Свойства материала

Материал:

Имущество	Значение
Предел текучести
Максимальная прочность
Модуль упругости
Коэффициент Пуассона

Свойства поперечного сечения

Поперечное сечение:

Имущество	Значение
Высота (Y)
Ширина (X)
Толщина стенки
Толщина фланца
Площадь
Центроидное расстояние (в направлении первичного изгиба)
Момент инерции, центроидный угол (относительно оси первичного изгиба)

Диаграмма момента сдвига

Диаграммы сдвига и момента показаны ниже.Соблюдаются стандартные условные обозначения для диаграмм момента сдвига:

• Сдвиг: положительный сдвиг вызывает вращение балки по часовой стрелке, отрицательный сдвиг вызывает вращение против часовой стрелки.
• Момент: Положительный момент сжимает верхнюю часть балки и удлиняет нижнюю часть балки (т.е. заставляет балку «улыбаться»).

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

Графики напряжений

Графики напряжений показаны ниже.

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

Напряжения рассчитываются на основе следующих уравнений:

Осевое напряжение	Напряжение сдвига	Напряжение изгиба	Напряжение фон Мизеса

Графики прогиба

Графики прогиба показаны ниже.Условные обозначения прогибов:

.

• X: положительный направо, отрицательный налево
• Y: положительный вверх, отрицательный вниз
• Наклон: линейка правой руки (положительное значение против часовой стрелки, отрицательное значение по часовой стрелке)

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

Эта проблема была решена в виде конечно-элементной модели. На этой вкладке представлены результаты для отдельных узлов и элементов модели.

На приведенном ниже графике показана сетка с номерами элементов , помеченными:

Невозможно отобразить сюжет — браузер устарел.

---

Узловые результаты

Ниже приведены результаты для каждого узла. Следует отметить несколько моментов:

• Определенные узлы связаны с точками, и для этих узлов указывается номер связанной точки.
• Сначала перечислены все узлы, связанные с точками, за ними следуют узлы, созданные как часть процесса построения сетки.
• Внешние реакции могут существовать для ограниченных степеней свободы. Любые узлы, не имеющие ограничений, не будут иметь внешних реакций.

---

Elemental Results

Ниже приведены результаты для каждого элемента. Следует отметить несколько моментов:

• Каждый элемент состоит из 2 узлов. В таблице эти узлы обозначаются как «Узел 1» и «Узел 2».
• Внутренние реакции даны в терминах глобальной системы координат (т.е. X и Y), а также в локальной системе координат (т.е. «осевой» вдоль оси элемента, «сдвиг» перпендикулярно элементу).

---

Загрузить результаты в Excel

Загрузите файл Excel на свой компьютер, содержащий узловые и элементарные результаты.

Скачать отчет

Сохраните отформатированный документ Word на свой компьютер с подробным описанием входных данных и результатов анализа.

Скачать входной файл

Сохранить все входные данные в файл. Позже вы можете загрузить этот файл, чтобы продолжить с того места, где вы остановились.

---

Требуется больше функциональности?

Зарегистрируйте учетную запись, чтобы получить полный доступ ко всем калькуляторам и другому контенту. Типы подписки описаны ниже вместе с преимуществами каждого из них.

• Цена
• Доступ к калькуляторам
• Войти
• Создание материалов
• Создание сечений
• Сохранить файлы
• Отчетность

• Бесплатно

• Ограничено

  Ограниченный доступ Доступ к калькуляторам

• Предварительно определенные Поперечные сечения

• Учить больше »

• 39 долларов США.99 / месяц

  249,99 долларов США в год

• Полный

  Полный Доступ к калькуляторам

• Плавающие лицензии

  Плавающие лицензии

• Учить больше »
• Зарегистрироваться сейчас

Прочность материалов | Механика материалов

ПРИМЕЧАНИЕ. Эта страница использует JavaScript для форматирования уравнений для правильного отображения.Пожалуйста, включите JavaScript.

---

Сопротивление материалов , также известное как Механика материалов , сосредоточено на анализе напряжений и прогибов в материалах под нагрузкой. Знание напряжений и прогибов позволяет безопасно проектировать конструкции, способные выдерживать предполагаемые нагрузки.

Напряжение и деформация

Когда к конструктивному элементу прикладывается сила, в этом элементе в результате силы возникают как напряжение, так и деформация.Напряжение — это сила, переносимая элементом на единицу площади, и типичными единицами измерения являются фунт-сила / дюйм ² (фунт / кв. Дюйм) для обычных единиц США и Н / м ² (Па) для единиц СИ:

где F — приложенная сила, а A — площадь поперечного сечения, на которую действует сила. Приложенная сила вызовет деформацию конструктивного элемента на некоторую длину, пропорциональную его жесткости. Деформация — это отношение деформации к исходной длине детали:

где L — деформированная длина, L ₀ — исходная недеформированная длина, а δ — деформация (разница между ними).

Существуют различные типы нагрузки, которые приводят к различным типам напряжений, как показано в таблице ниже:

Тип нагрузки	Тип напряжения	Иллюстрация
Осевая сила	Осевое напряжение (общий случай) Растягивающее напряжение (если сила растягивающая) Напряжение сжатия (если сила сжимающая)
Сила сдвига	Поперечное напряжение сдвига
Изгибающий момент	Напряжение изгиба
Торсион	Торсионное напряжение

Осевое напряжение и изгибающее напряжение являются формами нормального напряжения , σ, поскольку направление силы перпендикулярно области, противодействующей силе.Поперечное напряжение сдвига и напряжение скручивания являются формами напряжения сдвига , τ, поскольку направление силы параллельно области, противодействующей силе.

Нормальное напряжение
Осевое напряжение:
Напряжение изгиба:

Напряжение сдвига
Поперечное напряжение:
Торсионное напряжение:

В уравнениях для осевого напряжения и поперечного напряжения сдвига F — это сила, а A — площадь поперечного сечения элемента.В уравнении для изгибающего напряжения M — изгибающий момент, y — расстояние между центральной осью и внешней поверхностью, а I _c — центроидный момент инерции поперечного сечения относительно соответствующей оси. В уравнении для напряжения кручения T — это кручение, r — радиус, а J — полярный момент инерции поперечного сечения.

В случае осевого напряжения на прямом участке напряжение распределяется равномерно по всей площади.В случае напряжения сдвига распределение максимально в центре поперечного сечения; однако среднее напряжение определяется как τ = F / A, и это среднее напряжение сдвига обычно используется при расчетах напряжений. Более подробное обсуждение можно найти в разделе о касательных напряжениях в балках. В случае напряжения изгиба и скручивания максимальное напряжение возникает на внешней поверхности. Более подробное обсуждение можно найти в разделе о напряжениях изгиба в балках.

---

---

Так же, как основными типами напряжения являются нормальное напряжение и напряжение сдвига, основными типами деформации являются нормальная деформация и деформация сдвига .В случае нормальной деформации деформация перпендикулярна области, на которую действует сила:

В случае деформации поперечного сдвига деформация параллельна области, на которую действует сила:

где γ — деформация сдвига (безразмерная) и & phiv; — деформированный угол в радианах.

В случае деформации кручения элемент поворачивается на угол & phiv; вокруг своей оси.Максимальная деформация сдвига возникает на внешней поверхности. В случае круглого стержня максимальная деформация сдвига определяется как:

где & phiv; — угол закручивания, r — радиус стержня, а L — длина.

Деформации сдвига пропорциональны внутренней части стержня и связаны с максимальной деформацией сдвига на поверхности следующим образом:

где ρ — радиальное расстояние от оси стержня.

Закон Гука

Напряжение пропорционально деформации в упругой области кривой напряжения-деформации материала (ниже предела пропорциональности, когда кривая является линейной).

Нормальное напряжение и деформация связаны между собой:

σ = E & varepsilon;

где E — модуль упругости материала, σ — нормальное напряжение, а & varepsilon; это нормальный штамм.

Напряжение сдвига и деформация связаны между собой:

τ = G γ

где G — модуль сдвига материала, τ — напряжение сдвига, а γ — деформация сдвига.Модуль упругости и модуль сдвига связаны соотношением:

где ν — коэффициент Пуассона.

Закон Гука аналогичен уравнению силы пружины F = k δ. По сути, все можно рассматривать как пружину. Закон Гука можно перестроить, чтобы получить деформацию (удлинение) в материале:

Осевое удлинение (от нормального напряжения)
Угол скручивания (от напряжения сдвига / скручивания)

Энергия деформации

Когда к конструктивному элементу прикладывается сила, этот элемент деформируется и накапливает потенциальную энергию, как пружина.Энергия деформации (то есть количество потенциальной энергии, накопленной из-за деформации) равна работе, затраченной на деформацию элемента. Полная энергия деформации соответствует площади под кривой отклонения нагрузки и имеет единицы дюйм-фунт-сила в обычных единицах США и Н-м в единицах СИ. Энергия упругой деформации может быть восстановлена, поэтому, если деформация остается в пределах упругого предела, то вся энергия деформации может быть восстановлена.

Энергия деформации рассчитывается как:

Общая форма:	U = Работа = ∫ F dL	(площадь под кривой нагрузки-прогиб)
В пределах предела упругости:		(площадь под кривой нагрузки-прогиб)
		(потенциальная энергия пружины)

Обратите внимание, что есть два уравнения для энергии деформации в пределах упругого предела.Первое уравнение основано на площади под кривой прогиба нагрузки. Второе уравнение основано на уравнении для потенциальной энергии, запасенной в пружине. Оба уравнения дают один и тот же результат, просто они выводятся несколько по-разному.

Более подробную информацию об энергии деформации можно найти здесь.

---

---

Жесткость

Жесткость, обычно называемая жесткостью пружины, — это сила, необходимая для деформации элемента конструкции на единицу длины.Все конструкции можно рассматривать как совокупность пружин, а силы и деформации в конструкции связаны уравнением пружины:

F = k δ _макс

где k — жесткость, F — приложенная сила, а δ _max — максимальное отклонение при прогибе в элементе.

Если прогиб известен, то жесткость элемента можно определить, решив k = F / δ _max . Однако максимальный прогиб обычно неизвестен, поэтому жесткость необходимо рассчитывать другими способами.Таблицы прогиба балки можно использовать в общих случаях. Два наиболее полезных уравнения жесткости, которые необходимо знать, — это уравнения для балки с приложенной осевой нагрузкой и для консольной балки с концевой нагрузкой. Обратите внимание, что жесткость зависит от модуля упругости материала E, геометрии детали и конфигурации нагрузки.

Торсионный эквивалент уравнения пружины:

Т = к & phiv;

Особый интерес представляет жесткость вала при скручивающей нагрузке:

	Жесткость [дюйм * фунт-сила / рад]	Максимальный прогиб [рад]	Иллюстрация
Вал с крутильной нагрузкой:

Конструкция с несколькими путями нагружения

Если в конструкции есть несколько путей загрузки (т.е. в конструкции есть несколько элементов, которые разделяют нагрузку), нагрузка будет выше в более жестких элементах. Чтобы определить нагрузку, которую несет любой отдельный элемент, сначала вычислите эквивалентную жесткость элементов на пути нагружения, рассматривая их как пружины. В зависимости от их конфигурации они будут рассматриваться как некоторая комбинация пружин, включенных последовательно, и пружин, включенных параллельно.

Если элементы на пути нагружения нельзя рассматривать исключительно как пружины, включенные последовательно или как пружины, включенные параллельно, а скорее представляют собой комбинацию пружин, включенных последовательно и параллельно, тогда проблему необходимо будет решать итеративно.Найдите подгруппу элементов, которые находятся либо последовательно, либо параллельно, и используйте приведенные уравнения для расчета эквивалентной жесткости, силы и прогиба в этой подгруппе. Затем подгруппу можно рассматривать как одиночную пружину с рассчитанными жесткостью, силой и прогибом, а затем эту пружину можно рассматривать как часть другой подгруппы пружин. Продолжайте группировать участников и решать, пока не будет достигнут желаемый результат.

Концентрации напряжений

Можно подумать, что силы и напряжения протекают через материал, как показано на рисунке ниже.Когда геометрия материала изменяется, линии потока перемещаются ближе друг к другу или дальше друг от друга, чтобы приспособиться. Если в материале есть разрыв, такой как отверстие или выемка, напряжение должно течь вокруг неоднородности, и линии потока будут уплотняться вместе вблизи этого разрыва. Это внезапное уплотнение потоковых линий вызывает скачок напряжения — это пиковое напряжение называется концентрацией напряжений . Элемент, вызывающий концентрацию напряжений, называется подъемником напряжения .

Концентрации напряжений учитываются с помощью коэффициентов концентрации напряжений . Чтобы найти фактическое напряжение в вязкости несплошности, вычислите номинальное напряжение в этой области и затем увеличьте его с помощью соответствующего коэффициента концентрации напряжений:

σ _макс = K σ _ном

где σ _max — фактическое (масштабированное) напряжение, σ _nom — номинальное напряжение, а K — коэффициент концентрации напряжений.При расчете номинального напряжения используйте максимальное значение напряжения в этой области. Например, на рисунке выше должна использоваться наименьшая площадь у основания галтеля.

Многие справочные руководства содержат таблицы и кривые коэффициентов концентрации напряжений для различных геометрических форм. Двумя наиболее полными наборами факторов концентрации напряжения являются факторы концентрации напряжения Петерсона и формулы Рорка для напряжения и деформации. MechaniCalc также предоставляет набор интерактивных графиков для общих факторов концентрации стресса.

По мере того, как мы удаляемся от источника стресса, концентрация стресса рассеивается. Принцип Сен-Венана — это общее практическое правило, гласящее, что расстояние, на котором рассеивается концентрация напряжений, равно наибольшему размеру поперечного сечения, несущего нагрузку.

Расчет концентрации напряжений особенно важен, когда материалы очень хрупкие или когда существует только один путь нагрузки. В пластичных материалах местная деформация позволит перераспределить напряжения и снизит напряжение вокруг стояка.По этой причине коэффициенты концентрации напряжений обычно не применяются к элементам конструкции из пластичных материалов. Коэффициенты концентрации напряжений также обычно не применяются при наличии избыточного пути нагружения, и в этом случае податливость одного элемента позволит перераспределить силы на элементы на других путях нагружения. Примером этого является набор болтов. Если один болт начинает прогибаться, другие болты в шаблоне принимают на себя большую нагрузку.

Комбинированные напряжения

В любой точке нагруженного материала общее состояние напряжения можно описать тремя нормальными напряжениями (по одному в каждом направлении) и шестью напряжениями сдвига (по два в каждом направлении):

Индексы нормальных напряжений σ указывают направление нормальных напряжений.Индексы касательных напряжений τ состоят из двух компонент. Первый указывает направление нормали к поверхности, а второй указывает направление самого напряжения сдвига.

Обычно напряжения в одном направлении равны нулю, так что полное напряжение возникает в одной плоскости, как показано на рисунке ниже. Это называется напряжением в плоскости . Плоское напряжение возникает в тонких пластинах, но оно также возникает на поверхности любой нагруженной конструкции. Напряжения на поверхности обычно являются наиболее критическими напряжениями, поскольку напряжение изгиба и скручивания максимизируется на поверхности.

На рисунке выше σ _x и σ _y — нормальные напряжения, а τ — напряжение сдвига. Напряжения уравновешиваются, так что точка находится в статическом равновесии. Поскольку напряжения сдвига все одинаковы по величине, для простоты индексы опущены. (Обратите внимание, однако, что знак напряжений на грани x будет противоположен знаку напряжений на грани x .)

Правильные условные обозначения показаны на рисунке.Для нормального напряжения растягивающее напряжение положительное, а сжимающее — отрицательное. Для напряжения сдвига значение по часовой стрелке положительное, а против часовой стрелки — отрицательное.

Если напряжения из рисунка выше известны, можно найти нормальное напряжение и напряжение сдвига в плоскости, повернутой на некоторый угол θ по отношению к горизонтали, как показано на рисунке ниже. Уравнения преобразования ниже дают значения нормального напряжения и напряжения сдвига на этой повернутой плоскости.

Нормальное напряжение:
Напряжение сдвига:

Обратите внимание, что на рисунке выше θ отсчитывается от оси x, а положительное значение θ — против часовой стрелки.

В любой точке материала можно найти углы плоскости, при которых нормальные напряжения и напряжения сдвига максимизируются и минимизируются.Максимальное и минимальное нормальные напряжения называются главными напряжениями . Максимальные и минимальные касательные напряжения называются крайними касательными напряжениями . Углы главных напряжений и крайних касательных напряжений находятся путем взятия производной каждого уравнения преобразования по θ и нахождения значения θ, при котором производная равна нулю.

Углы главного напряжения:
Углы предельного напряжения сдвига:

Указанные выше углы можно подставить обратно в уравнения преобразования, чтобы найти значения главных напряжений и экстремальных касательных напряжений:

Основные напряжения:
Экстремальные напряжения сдвига:

Углы, при которых возникают основные напряжения, составляют 90 ^° друг от друга.Главные напряжения всегда сопровождаются нулевым напряжением сдвига. Углы возникновения экстремальных касательных напряжений составляют 45 ^° от углов главных напряжений. Экстремальные напряжения сдвига сопровождаются двумя равными нормальными напряжениями (σ _x & plus; σ _y ) / 2.

Вот пара полезных отношений:

σ 1 и плюс; σ 2 = σ x и плюс; σ y	Сумма нормальных напряжений постоянна.
	Максимальное напряжение сдвига составляет половину разницы главных напряжений.

Круг Мора

Круг Мора — это способ визуализировать состояние напряжения в точке нагруженного материала. Это дает интуитивное представление о уравнениях преобразования напряжений и показывает, как напряжения на элементе изменяются в зависимости от угла поворота θ. Из круга Мора также становится ясно, каковы основные напряжения, экстремальные напряжения сдвига и углы, под которыми возникают эти напряжения.Пример круга Мора показан на рисунке ниже:

Чтобы построить круг Мора, сначала найдите центр круга, взяв среднее значение нормальных напряжений:

Поместите точки на окружности, представляющие напряжения на гранях x и y элемента напряжения. Напряжения на грани x будут иметь координаты (σ _x , −τ), а напряжения на грани y будут иметь координаты (σ _y , τ).Поместите точки на окружности для главных напряжений. Максимальное главное напряжение будет иметь координаты (σ ₁ , 0), а минимальное главное напряжение будет иметь координаты (σ ₂ , 0). Поместите точки на окружности для экстремальных касательных напряжений. Максимальное экстремальное напряжение сдвига будет иметь координаты (σ _c , τ ₁ ), а минимальное экстремальное напряжение сдвига будет иметь координаты (σ _c , τ ₂ ).

Все точки будут лежать по периметру круга.Круг имеет радиус, равный величине предельных касательных напряжений:

Напряженное состояние на гранях x и y элемента напряжения представлено черной линией в круге Мора, соединяющим точки (σ _x , −τ) и (σ _y , τ). Эта линия в круге Мора соответствует невращающемуся элементу на рисунке ниже. Если эту линию повернуть на некоторый угол, то значения точек на конце повернутой линии дадут значения напряжения на гранях x и y повернутого элемента.Важно отметить, что 360 градусов круга Мора эквивалентны 180 градусам на элементе напряжения. Например, точки для грани x и грани y расположены на 180 градусов друг от друга на круге Мора, но они всего на 90 градусов на элементе напряжения.

Чтобы получить более интуитивное представление о том, как круг Мора связывает напряжения на элементе напряжения и как состояние напряжения изменяется в зависимости от угла поворота, см. Прилагаемый калькулятор круга Мора.

Приложения

Есть много структурных компонентов, которые обычно подвергаются анализу напряжений. Подробности анализа этих компонентов приведены в других разделах:

---

---

Расчет допустимого напряжения

Знание напряжений и прогибов позволяет безопасно проектировать конструкции, способные выдерживать предполагаемые нагрузки. Всегда желательно, чтобы напряжения в конструкции оставались в пределах прочности конструкции.Предел текучести материала обычно выбирается как предел прочности, с которым сравниваются расчетные напряжения.

Коэффициент запаса прочности , FS, рассчитывается как:

где σ _{фактическое} — расчетное напряжение в конструкции, а предел _σ — предел максимального напряжения, обычно прочность материала, например предел текучести (S _ty ). Коэффициент запаса прочности показывает, насколько фактическое напряжение ниже предельного напряжения.Значение FS должно быть больше или равно 1, чтобы конструкция не вышла из строя, но инженеры почти всегда будут проектировать с некоторым требуемым коэффициентом безопасности, превышающим 1. Требуемый коэффициент безопасности будет варьироваться в зависимости от критичности конструкции (т. Е. последствия разрушения конструкции), а также условия нагружения (т. е. какие типы нагрузок применяются, насколько они предсказуемы и т. д.). Высокое значение FS приведет к очень безопасной конструкции, но если значение FS слишком велико, конструкция может стать настолько большой и тяжелой, что больше не сможет успешно выполнять свою функцию.Поэтому при выборе подходящего запаса прочности приходится идти на компромиссы. Типичные значения FS варьируются от 1,15 до 10.

Запас прочности рассчитывается как:

В приведенном выше уравнении любое значение выше нуля указывает, что фактическое напряжение ниже предельного напряжения. Хотя запасы прочности обычно указываются в виде десятичных значений, гораздо более интуитивно понятно думать о запасах в процентах. Например, если предельное напряжение конструкции равно 1.В 5 раз превышающее фактическое напряжение, запас прочности составляет 50% (MS = 0,5).

Когда сообщается о факторах безопасности и запасах прочности, иногда требуемый коэффициент безопасности будет «вплетен» в отчетные факторы. Например, инженеры могут потребовать, чтобы конструкция поддерживала коэффициент безопасности не менее 2, так что FS _req = 2. Чтобы обеспечить требуемый коэффициент безопасности, сообщаемые FS и MS рассчитываются как:

Обратите внимание, что при включении необходимого коэффициента безопасности, FS _req , указанные FS и MS фактически являются запасами по отношению к FS _req , а не по напряжению.

---

Список литературы

1. Будинас-Нисбетт, «Машиностроительный проект Шигли», 8-е издание
2. Доулинг, Норман Э., «Механическое поведение материалов: инженерные методы для деформации, разрушения и усталости», 3-е издание
3. Гир, Джеймс М., «Механика материалов», 6-е издание
4. Линдебург, Майкл Р., «Справочное руководство по машиностроению для экзамена на физическую форму», 13-е издание
5. Пилки, Уолтер Д.и Пилки, Дебора Ф., «Факторы концентрации стресса Петерсона», 3-е издание.
6. «Формулы Рорка для стресса и деформации», 8-е издание

Калькулятор прочности и прогиба балки

Балка или стержень — это любой элемент конструкции, длина которого значительно превышает ширину или глубину. Однако термин «существенно» означает разные вещи для разных людей. Для некоторых людей вдвое большей длины достаточно, другие сочтут пятикратную длину слишком короткой и поэтому сочтут такой элемент пластиной, каркасом или конструкцией.Процедуры расчета балок не накладывают таких ограничений или различий.

Балки обычно используются для несения нагрузки, в то время как пролетные опоры находятся на достаточном расстоянии друг от друга, например, пол (см. Калькулятор этажей CalQlata). При выборе балки вы должны определить ее максимальную грузоподъемность (т. Е. Ее прочность) и ее максимально допустимый прогиб.

Прочность и жесткость балки

Прочность балки зависит от предела текучести материала, из которого изготовлена ​​балка, тем самым определяя максимальную нагрузку, которая может быть приложена до того, как она необратимо деформируется (или сломается, если она сделана из хрупкого материала), и

его жесткость зависит от второго момента площади поперечного сечения балки (например,грамм. Канал, двутавровая балка, двутавровая балка, угол и т. Д.) Вместе с модулем Юнга материала, тем самым определяя ожидаемый прогиб балки для любой заданной нагрузки

Обе вышеуказанные характеристики определяют поведение балки под нагрузкой.

Проектирование балки

Предположим, у вас есть равномерно распределенная нагрузка в 4000 Н на длине балки 4 м (1 Н / мм) и максимально допустимый прогиб, скажем, 1/200 длины балки (20 мм).

Используя Beams, вы вводите информацию, которую знаете, и изменяете второй момент площади (I), пока не получите желаемое отклонение (20 мм в середине балки, где ее отклонение будет наибольшим), что в этом случае дает вам значение для I около 800000 мм².

Предполагая, что вы планируете использовать секцию канала, путем сортировки каналов в базе данных CalQlata Steel Sections вы обнаружите, что размер вашей балки должен быть сечением «3×6», которое является наименьшим сечением балки со значением I выше 800000 мм², и найдите значение для « y ‘(расстояние от нейтральной оси балки до внешней части ее сечения), которое в данном случае составляет 38,1 мм.

Вы возвращаетесь в раздел «Балки», вводите правильное значение для I (863 264 мм²), а также вводите значение 38,1 мм для «d», чтобы установить максимальное напряжение в материале балки, которое в данном случае составляет 88 Н / мм².

Если это значение находится в пределах требований вашего запаса прочности, то ваш луч приемлем. Если нет, но вы должны работать с данным материалом, вам следует изменить (увеличить) сечение балки, тем самым уменьшив допустимый прогиб до тех пор, пока напряжение не станет приемлемым.

Калькулятор прогиба балки — Техническая помощь

Рис. 1. Диаграмма нагрузки на балку

Предполагается, что любая нагрузка в калькуляторе прочности балок одинаково распространяется через плоскость или сечение балки во всех направлениях, перпендикулярных (другими словами, под углом 90 ° к) к ее продольной оси.

Если нагрузка локализована в поперечном сечении балки (т. Е. Неравномерно распределена по ней), могут потребоваться дополнительные расчеты для определения локальных (сосредоточенных) реакций и напряжений (см. Калькуляторы CalQlata Plates and Sheets).

Напряжение изгиба

Изгибающие напряжения в балках применяются к балке на заданном расстоянии (d) от ее нейтральной оси. Эта входная переменная (‘d’) используется только в расчетах для напряжения (σx) и деформации (ex). Если вы оставите поле пустым или установите его на ноль, балки не будут вычислять напряжение или деформацию в указанном вами месте вдоль балки (рис. 1 ‘x’).Никакие другие результаты не будут затронуты.

Условия одновременной / множественной нагрузки

Если у вас есть балка с более чем одной приложенной нагрузкой, вы просто складываете результаты вместе в указанном месте.

Пример расчета прочности балки (рис. 2):

Детали балки:
L = 2000 мм
I = 1,2E + 08 мм⁴
E = 2,07E + 05 Н / мм²
y = 200 мм
Условия нагрузки 1:
wA & wB = 450 Н / мм
l = 0
Условия нагрузки 2:
F = 150000 Н
l = 700 мм
Расстояние по балке до выхода:
x = 1000

Шаг 1:
Введите данные для балки и условия нагрузки 1 (простая фиксированная / распределенная нагрузка), установив wA (/ L) и wB (/ L) на 450 ‘скопируйте список данных и вставьте в электронную таблицу.

Шаг 2:
Введите условие нагрузки 2 (простая фиксированная / точечная нагрузка), установив F на 150000, скопируйте список данных и вставьте в ту же электронную таблицу.

Шаг 3:
Добавьте результаты обоих калькуляторов, и вы получите условия в нужном месте.

Рис. 2. Процедура расчета нагрузки смеси

Ограничения

Эти расчеты действительны только в том случае, если материал по всей длине и толщине сечения подчиняется закону Гука.
Результаты остаются действительными для этого калькулятора, если прогиб таков, что на длину балки существенно не влияют условия нагрузки.
Калькулятор больших отклоняющих балок CalQlata (гибкие балки) следует использовать, если длина балки изменяется более чем на 5% в результате приложенной нагрузки.

Дополнительная литература

Дополнительную информацию по этому вопросу можно найти в справочных публикациях ^{(2, 3 и 4)}

Beam Strength — обзор

6.3 Изгиб многослойных балок

Рассмотрим проблему изгиба, описываемую уравнением. (6.34). Интегрирование этих уравнений относительно x из x = 0 дает

(6.38) V = V0 − Vp − VRM = M0 + V0x − Mp − MRθ = θ0 + M0Dx + V02Dx2 − θp − θRw = w0 + 1S ( V0x − Mp − MR) −θ0x − M02Dx2 − V06Dx3 + wp + wR

где V0, M0, θ0 и w0 — начальные значения V, M, θ и w, соответствующие сечению x = 0. Эти значения можно найти из граничных условий на концах балки x = 0 и x = l (см. Рис.6.1). Члены нагрузки с индексом « p » соответствуют распределенным нагрузкам и имеют следующий вид:

(6.39) Vp = ∫0xp¯dx, Mp = ∫0xVpdx, θp = 1D∫0xMpdx, wp = ∫0xθpdx

Для равномерного давления p¯ = p¯0,

(6.40) Vp = p¯0x, Mp = 12p¯0x2, θp = 16Dp¯0x3, wp = 124Dp¯0x4

Члены нагрузки с индексом « R » в формуле. (6.38) соответствуют сосредоточенным силам Rm и Fm, показанным на рис. 6.1. Эти члены могут быть записаны с помощью уравнения. (6.39) если представить их в виде p¯ = R¯mδ (x − xm), где R¯m = Rm − Fm, а δ — дельта-функция.Используя правила интегрирования этой функции, мы получаем из уравнения. (6.39)

(6.41) VR = ∑m = 1nVR (m), MR = ∑m = 1nMR (m), θR = ∑m = 1nθR (m), wR = ∑m = 1nwR (m)

где n — количество поперечных сечений балки, в которых действуют силы, и для xm

(6.42) VR (m) = 0, MR (m) = 0, θR (m) = 0, wR (m ) = 0

и для x≥xm

(6.43) VR (m) = R¯m, MR (m) = R¯m (x − xm), θR (m) = R¯m2D (x − xm ) 2, wR (m) = R¯m6D (x − xm) 3

Решение, данное уравнением. Уравнение (6.38) универсально и позволяет исследовать как статически детерминированные, так и избыточные пучки с использованием одной и той же процедуры.Это решение может быть применено также к многопозиционным балкам. Вводя силы Fm в качестве опорных реакций в поперечных сечениях опоры x = xm, мы можем найти Fm, используя условия w (x = xm) = 0.

Второй член с S в уравнении. (6.38) для w учитывает деформацию поперечного сдвига. Как видно, учет этой деформации практически не мешает анализу балки. Если деформацией сдвига пренебречь, мы должны взять S → ∞ в уравнении.(6.38) для w . В результате мы приходим к решению, соответствующему классической теории пучков.

Чтобы продемонстрировать применение общего решения, предоставленного уравнением. (6.38) рассмотрим балку, аналогичную балке, поддерживающей пассажирский пол фюзеляжа самолета, показанной на рис. 6.8. Поскольку поперечное сечение x = 0 зажато, мы должны взять w0 = 0 и θ0 = 0 в уравнении. (6.38). Балка состоит из двух частей, соответствующих 0≤x

Рисунок 6.8. Распределение нормированной поперечной силы V¯ = V / Ql (B), изгибающего момента M¯ = M / Ql2 (C) и прогиба w¯ = Dw / Ql4 (D) вдоль оси x зажимаемого балка (А).

Vp (1) = — Qx, Mp (1) = — 12Qx2, θp (1) = — Q6Dx3, wp (1) = — Q24Dx4

VR = 0, MR = 0, θR = 0, wR = 0

и решение в уравнении. (6.38) можно записать как

(6.44) V1 = V0 + QxM1 = M0 + V0x + 12Qx2θ1 = M0Dx + V02Dx2 + Q6Dx3w1 = 1S (V0x + 12Qx2) −M02Dx2 − V06Dx3 − Q24Dx4, для которого

рассматривается вторая часть p¯ = 0.Затем условия нагрузки в формуле. (6.39) становятся

Vp (2) = ∫0xp¯dx = −∫0cQdx = −Qc

Mp (2) = ∫0xVpdx = ∫0cVp (1) dx + ∫cxVp (2) dx = −12Qc (2x− в)

θp (2) = 1D∫0xMpdx = 1D (∫0cMp (1) dx + ∫0xMp (2) dx) = — Qc6D (c2 + 3×2−3cx)

wp (2) = ∫0xθpdx = ∫0cθp (1) dx + ∫cxθp (2) dx = −Qc24D (4×3 − c3 + 4xc2−6x2c)

Реакция опоры R (см. Рис. 6.8) рассматривается как неизвестная сосредоточенная сила. Тогда уравнение. (6.43) дают

VR = R, MR = R (x − c), θR = R2D (x − c) 2, wR = R6D (x − c) 3

Наконец, для второй части балка

(6.45) V2 = V0 + Qc − RM2 = M0 + V0x + 12Qc (2x − c) −R (x − c) θ2 = M0Dx + V02Dx2 + Qc6D (c2 + 3×2−3cx) −R2D (x − c) 2w2 = 1S [V0x + 12Qc (2x − c) −R (x − c)] — M02Dx2 − V06Dx3 − Qc24D (4×3 − c3 + 4xc2−6x2c) + R6D (x − c) 3

Полученное решение, уравнения. (6.44) и (6.45) включает три неизвестных параметра: V0, M0 и R , которые можно найти из двух условий симметрии, то есть V2 (x = l) = 0, θ2 (x = l) = 0, а условие силы реакции w1 (x = c) = w2 (x = c) = 0. Результат выглядит следующим образом:

(6.46) V0 = R − Qc, M0 = 14Qc2 (1−4ks) −13Rc (1−6ks) R = 12Qc3l (1 + 4ks) −2c4l (1 + 3ks − 3c

, где ks = D / Sc2.

Для численного анализа пренебречь деформацией сдвига, приняв ks = 0. Затем решение в уравнении. (6.46) сводится к

V0 = −Qc (5l − 4c) 2 (4l − 3c), M0 = Qc2 (6l − 5c) 12 (4l − 3c), R = Qc (3l − 2c) 2 (4l− 3c)

Зависимости нормированной поперечной силы, изгибающего момента и прогиба балки от осевой координаты представлены на рис. 6.8.

Отклонения луча часто используются в качестве функций аппроксимации при решении задач изгиба пластин (см. Главу 7: Ламинированные композитные пластины).Решения типовых задач пучка представлены в таблице 6.1.

Таблица 6.1. Решения для балок, нагруженных равномерным давлением для типичных граничных условий

Вариант	Тип балки	Решение
1		V = −qbk (l − x)
		M = 12qbk (l − x) 2
		θ = qbk6D (3l2−3lx + x2) x
		w = −qbk24D [x3−4lx2 + 6l2x
		+ 12DS (2l − x)] x
2		V = 12qbk (2x − l)
		M = −12qbk (l − x) x
		θ = qbk24D (l3−6lx2 + 4×3)
		w = −qbk24D [l3−2lx2 + x3
		+ 12DS (l − x)] x
3		V = qbk (x − l2)
		M = 112qbk (6×3−6lx + l2) x
		θ = qbk12D (2×2−3lx + l2) x
		w = −qbk24D [x (l − x) + 12DS] (l − x) x

Как Например, рассмотрим балку I с простой опорой. нагруженный равномерным давлением q (см. рис.6.9). Балка изготовлена ​​из алюминиевого сплава, у которого E = 70ГПа и G = 26,9ГПа. Внизу, где действует максимальное растягивающее напряжение, балка усилена однонаправленным углеродно-эпоксидным слоем с модулем упругости Ec = 140 ГПа и модулем сдвига Gc = 3,5 ГПа. Размеры балки

Рисунок 6.9. Простая опорная балка I .

(6,47) l = 1250 мм, δ = 2,5 мм, h0 = 100 мм, b = 50 мм

Координаты слоев показаны на рис. 6.10. Луч состоит из четырех слоев со следующими параметрами:

Рисунок 6.10. Координаты слоев.

(6,48) b1 = 50 мм, t0 = 0, t1 = 2,5 мм, h2 = 2,5 мм, E1 = 140 ГПа, G1 = 3,5 ГПа (слой1) b2 = 50 мм, t2 = 5 мм, h3 = 2,5 мм, E2 = 70 ГПа , G2 = 26,9 ГПа (слой2) b3 = 2,5 мм, t3 = 105 мм, h4 = 100 мм, E3 = 70 ГПа, G3 = 26,9 ГПа (слой 3) b4 = 50 мм, t4 = h = 107,5 мм, h5 = 2,5 мм, E4 = 70 ГПа, G4 = 26,9 ГПа (слой 4)

Сила луча анализируется в соответствии со следующей процедурой.

1.

Определите максимальное усилие сдвига, изгибающий момент и прогиб. Исследуемая балка соответствует случаю 2 в таблице 6.1 из которого следует

(6.49) Vm = V (x = 0) = — 12qblMm = M (x = l2) = — 18qbl2Wm = w (x = l2) = — 5qbl4384D (1 + α), α = 48D5Sl2

2.

Определите коэффициенты жесткости. Сначала вычислите коэффициенты I , определенные уравнением. (6.35), то есть

I0 = ∑i = 14Eibihi = 5,25 · 104ГПа · мм2

I1 = 12∑i = 14Eibihi (ti − 1 + ti) = 1,95 · 106ГПа · мм3

I2 = 13∑i = 14Eibihi (ti − 12 + ti − 1ti + ti2) = 1,66 · 108 ГПа · мм4

Координата нейтральной оси может быть найдена из уравнения.(6.11), что дает

e = I1I0 = 37,14 мм

Жесткость балки на изгиб рассчитывается согласно формуле. (6,13) как

D = I2 − I12I0 = 0,936 · 108 ГПа · мм4

Для балки без композитного слоя D = 0,573 · 108 ГПа · мм4, то есть композитный слой увеличивает жесткость балки на изгиб на 63%. .

Поперечная жесткость на сдвиг балки определяется формулой. (6.35), что дает

S = h3∑i = 14hiGibi = 7,68 · 103 ГПа · мм2

3.

Рассчитайте осевое напряжение, используя уравнения. (6.36) и (6.49), согласно которым

σx (i) = EiMmD (t − e) = — Eiqbl2h8D (t¯ − e¯)

, где t¯ = t / h, e¯ = eh, и ti − 1≤t≤ti. Для балки с размерами согласно Ур. Согласно (6.47) и (6.48) максимальное растягивающее напряжение в композитном слое соответствует t = 0 и равно σx (1) = 542q. Максимальное растягивающее напряжение в металлической части составляет σx (2) (t = t1) = 253q. Максимальное сжимающее напряжение в металлической части составляет σx (4) (t = h) = — 514q.

4.

Рассчитайте напряжение сдвига. Наиболее опасным является напряжение сдвига, которое действует между композитным слоем 1 и металлическим слоем 2 и может вызвать расслоение. Это напряжение определяется формулой. (6.37) что дает

τxz (1,2) = — Vm2DbE1b1h2 (t1−2e) = ql4DE1bh2 (h2−2e)

Для исследуемой балки τxz (1,2) = — 4.

No related posts.