Рассчитать балку на прочность – Расчет статически определимой балки с решением онлайн.

Содержание

Полный расчет балки на прочность и жесткость

Задача

Произвести полный расчет на прочность и проверить жесткость статически определимой двутавровой двухопорной балки (рис. 1) при следующих данных: F=40кН, q=30 кН/м, a=0,8 м, l=4м, допустимые нормальные и касательные напряжения: [σ]=160 МПа и [τ]=100 МПа, допустимый прогиб балки [f]=l/400

Рис. 1

Решение

Подготовка расчетной схемы к решению задачи

Определение опорных реакций

Подробно, пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь

А также в нашем видеоуроке:

Из Σm_в=0

Из Σm_А=0

Построение эпюр Q и М

Примеры построения эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балки

Наше видео про расчет значений Q и M для построения эпюр

В пролете балки 0 ≤ z₂

≤ l

Q_II= — R_B+ qz₂= -52+30∙z₂
Q_II(z=0)= -52 кН
Q_II(z=l)= -52+30∙4=68 кН

M_II=R_B∙z₂-qz₂²/2=52z₂-30∙z₂²/2
M_{II (z=0)}= 0
M_{II (z=l)}= -32 кНм

На консоли l ≤ z₁≤ (l+a)

Q_I= — R_B+ ql — R_A=-52+30∙4-108=-40 кН

M_I=R_B z₁-ql(z₁-l/2)+R_A(z₁-l)=52z₁-30∙4(z₁-4/2)+108(z₁-4)
M_{I (z=l)}= -32 кНм
M_{I (z=l+a)}= 0

По этим данным построены эпюры Q и М.

Видео о том, как строить эпюры

Подбор сечения двутавровой балки

Так как М_mах = 45 кНм, то

W_x≥M_max / [σ] = 45∙10³ / 160∙10⁶= 0,281 м³= 281 см³.

Видео про подбор сечения балки

По сортаменту выбираем двутавр № 24, для которого W_x = 289 см³, I_x= 3460 см⁴, S_max = 163 см³, h = 24 см, b_п = 11,5 см, t = 0,95 см, d = b_c = 0,56 см, h₀ = h-2t = 22,1 см.

Этот двутавр будет работать при максимальном нормальном напряжении в крайнем волокне опасного сечения.

σ_max = M_max / W_x = 45∙10³ / 289∙10^-6= 156∙10⁶ Па = 156 МПа

Проверка сечения балки по касательным напряжениям

Так как Q_max = 68 кН, то

Построение эпюр нормальных σ и касательных τ напряжений в неблагоприятном сечении балки:

Видео про построение эпюры нормальных напряжений

Видео про построение эпюры касательных напряжений

В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение над левой опорой, в котором:

М = -32 кНм и Q = 68 кН.

Значение напряжений в различных точках по высоте двутавра сведены в таблицу 1

Таблица 1

Результаты расчета в примере

Проверка прочности балки по главным напряжениям

Наиболее опасной точкой в неблагоприятном сечении является точка 3. В этой точке σ₁=118 МПа и σ₃= -16 МПа. Проверяем прочность в этой точке по третьей гипотезе прочности согласно неравенству σ₁ — σ₃≤ [σ].

Так как 118 — ( -16) = 134 < 160, то выбранное сечение удовлетворяет условию прочности и по главным напряжениям.

Расчет перемещений сечений (прогибов балки)

Универсальные уравнения МНП для сечения z:

Опорные условия:

1) при z=0: y(z)=0, следовательно, y₀=0

2) при z=l: y(z)=0 находим θ₀

откуда θ₀= -8,48∙10^-3 радиан.

Прогиб в пролете при z=l/2=4/2=2 м.

Аналогично определяется прогиб на конце консоли при z = l + a =4+0,8 = 4,8 м

Проверка жесткости балки

— пролетной части:

y_c=0,98 см < 1/400 = 400/400 = 1 см

— консольной части:

y_D=0,33 см < 2a/400 = 2∙80/400 = 0,4 см.

Следовательно, принятая двутавровая балка удовлетворяет требуемому условию жесткости.

Другие примеры решения задач >

isopromat.ru

Расчёт балок на прочность при изгибе

Задача 1

В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М=28 кНм, Q=19 кН.

Требуется:

а) определить нормальное и касательное напряжения в заданной точке К, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 11 см,

б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.

Решение

а) Для определения σ_(К), τ_(К) и _maxσ,_maxτ потребуется знать величины осевого момента инерции всего сечения I_Н.О., осевого момента сопротивления W_Н.О., статического момента отсечённой части и статического момента половины сечения S_max:

Тогда:

б) Проверка прочности:

— по условию прочности нормальных напряжений:

— по условию прочности касательных напряжений:

Задача 2

В некотором сечении балки М=10кНм, Q=40кН. Поперечное сечение – треугольное. Найти нормальное и касательное напряжения в точке, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 15 см.

где

Тогда

где:

Тогда

Задача 3

Подобрать сечение деревянной балки в двух вариантах: круглое и прямоугольное (при h/b=2), если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, и сравнить их по расходу материала.

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем уравнения статики:

(1) ∑М(В) = F·8 – М – А·6 + (q·6)·3 =0,

откуда

(2) ∑М(А) = F·2 – М + В·6 — (q·6)·3 =0,

откуда

Iучасток

∑М(С) = М(z

1) +F·z₁=0,

ММ(z₁) = —F·z₁= — 30 ·z₁ —

– уравнение прямой.

При z₁ = 0: М = 0,

z₁ = 2: М =- 60 кНм.

∑у= — F — Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = — F = -30 кН – постоянная функция.

II участок

откуда

— уравнение параболы.

При z₂=0: М = 0,

z₂=3м: М = 30 · 3 – 5 · 3²= 90 — 45 = 45кНм,

z₂=6м: М = 30 · 6 – 5 · 6²= 180 — 180 = 0.

∑у= Q(z₂) — q·z₂ + B= 0,

Q(z₂) = q

·z₂ — B= 10·z₂ – 30 – уравнение прямой,

при z₂= 0: Q = -30,

z₂= 6м: Q = 10·6 – 30 = 30.

Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:

из условиянаходим :

И тогда

Заметим, что скачок в эп.М расположен там, где приложен сосредоточенный момент М = 60кНм и равен этому моменту, а скачок в эп.Q – под сосредоточенной силой А = 60 кН.

Подбор сечения балок производится из условия прочности по нормальным напряжениям, куда следует подставлять наибольший по абсолютной величине изгибающий момент из эпюры М.

В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм

откуда: :

а) сечение круглой формы d=?

б) сечение прямоугольной формы при

h/b = 2:

тогда

Размеры сечения, определенные из условия прочности по нормальным напряжениям, должны удовлетворять также условию прочности по касательным напряжениям:

Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения:

— для круглого сечения

— для прямоугольного сечения

Воспользуемся этими формулами. Тогда

— для балки круглого сечения при :

— для балки прямоугольного сечения

Чтобы выяснить, какое сечение требует меньшего расхода материала, достаточно сравнить величины площадей поперечных сечений:

А_{прямоугольного}= 865,3см² < А_{круглого}= 1218,6см², следовательно, балка прямоугольного сечения в этом смысле выгоднее, чем круглого.

Задача 4

Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа.

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем два уравнения статики для их определения:

(1) ∑М(А) = – М₁– F ·2 — (q·8)·4 + М₂ + В·6 =0,

откуда

(2) ∑М(В) = – М₁– А · 6 + F · 4 + (q·8)·2 + М₂ =0,

откуда

Проверка:

∑у = А – F – q · 8 + В = 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0.

∑М(С) = М(z₁) — М₁=0,

М(z₁) = М₁= 40 кНм – постоянная функция.

∑у= — Q(

z₁) = 0,

Q(z₁) = 0.

II участок

— парабола.

Приz₂=0: М = 40 кНм,

z₂=1м: М = 40 + 104 – 10=134кНм,

z₂=2м: М = 40+ 104 · 2 – 10 · 2²= 208 кНм.

∑у=А — q·z₂ — Q(z₂) = 0,

Q(z₂) =А— q·z₂ = 104 – 20·z₂ – уравнение прямой,

при z₂= 0: Q = 104кН,

z₂= 6м: Q = 104 – 40 = 64кН.

III участок

— парабола.

Приz₃=0: М = 24+40=-16 кНм,

z₃=2м: М = 24 + 136·2 — 10 (2+2)² = 24 + 272 – 160 = 136кНм,

z₃=4м: М = 24 + 136·4 – 10 (2+4)²= 24 + 544 – 360 = 208 кНм.

∑у=В — q(2+z₃ ) + Q(z₃) = 0,

Q(z₃) =- В + q(2+z₃ ) = -136 + 20 (2+z₃ ) – уравнение прямой,

при z₃= 0: Q = -136 + 40 = — 94кН,

z₃= 4м: Q = — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН.

IV участок

— парабола.

z₄=0: М = 0кНм,

z₄=1м: М = – 10кНм,

z₄=2м: М = — 40кНм.

∑у=- q·z₄ + Q(z₄) = 0,

Q(z₄) =q·z₄ = 20·z₄ – уравнение прямой.

Приz₄= 0: Q = 0,

z₄= 2м: Q = 40кН.

Проверяем скачки в эпюрах:

а) В эпюре М скачок на правой опоре величиной 24кНм (от 16 до 40) равен сосредоточенному моменту М₂=24, приложенному в этом месте.

б) В эпюре Q три скачка:

первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А=104кН,

второй – под силой F=80кН и равен ей (64+16=80кН),

третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН)

Наконец, проектируем двутавровое сечение.

Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям :

В сортаменте двутавровых профилей профиля с точно таким моментом сопротивления W_х нет. Есть № 40^а с W_х=1190 см³ и № 45^а с W_х=1430 см³

Попробуем меньший из них. Если принять двутавр № 40^а, у которого W_х=1190 см³ , то наибольшее напряжение в опасном сечении будет:

и перенапряжение составитчто превышает рекомендуемую величину отклонения, равную 5%.

Поэтому приходится принимать ближайший больший размер двутавра, а именно №45^а, у которого W_х=1430 см³. В этом случае балка будет работать с недонапряжением:

что меньше [σ]=160МПа на

Итак, принимается двутавр №45^а, у которого: W_х=1430 см³, I_х=32240см⁴, I_х: S_х=38,6см, d=11,5мм.

Далее необходима проверка прочности по касательным напряжениям с помощью условия прочности :

Это условие прочности выполняется, даже с избыточным запасом.

Задача 5

Подобрать сечение балки, рассмотрев шесть вариантов форм и три вида материалов (древесина, чугун, сталь).

Решение

1.Определение опорных реакций

∑М(А) = F · 2 + М₁— М₂— q·6·7 + В · 8 =0,∑М(В) = F · 10 + М₁— М₂ – А · 8 + q·6·1 =0,Проверка:

∑у = – 20 – 40 ·6 +50+210 = — 260 + 260 ≡ 0.

2.Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

I участок

∑М(С) = М(z₁) + F·z₁=0,

М(z₁) = — F·z₁= -20·z₁.

При z₁=0: М = 0,

z₁=2м: М = – 40кНм,

∑у= — F— Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = — 20кН.

II участок

z₂=0: М = — 20 – 40 = -60 кНм,

z₂=4м: М = 200 — 20 – 120 = 200 — 140 = 60кНм.

∑у=- F + А — Q(z₂) = 0,

Q =- F + А= -20+50=30кН.

III участок

— парабола.

Приz₃=0: М = — 20·4= — 80 кНм,

z₃=2м: М = 210·2 — 20·(2+2)² = 420 – 320 = 100кНм,

z₃=4м: М = 210·4 – 20 · (2+4)²= 840 – 720 = 120кНм.

∑у= Q(z₃) + В — q·(2+z₃) = 0,

Q(z₃) = — В + q·(2+z₃) = — 210 + 40·(2+z₃) – уравнение прямой.

Приz₃= 0: Q = -130кН,

z₃= 4м: Q = 30кН.

Q(z₀) = — 210 + 40·(2+z₀) = 0,

— 210 + 80 + 40·z₀ = 0,

40·z₀ = 130,

z₀ =3,25м,

IV участок

парабола.

Приz₄=0: М = 0 кНм,

z₄=1м: М = – 20кНм,

z₄=2м: М = — 80кНм.

∑у=- q·z₄ + Q(z₄) = 0,

Q(z₄) =q·z₄ = 40·z₄ – уравнение прямой,

z₄= 0: Q = 0,

z₄= 2м: Q = 80кН.

3. Подбор сечений (опасное сечение по σ: |_maxМ|=131,25кНм,

опасное сечение по τ: |_maxQ|=130кН).

Вариант 1. Деревянное прямоугольное ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)

Принимаем: В=0,24м,

Н=0,48м.

Проверяем по τ:

Вариант 2. Деревянное круглое

Принимаем d=0,45м,

Проверяем по τ:

Вариант 3. Чугун : ([σ_Р]=30МПа, [σ_с]=120МПа, [τ]=15МПа)

Принимаем b=0,19м, тогда h=0,38м, d=0,076м.

Проверка по τ:

b(у)= b — d= 0,19 — 0,076 = 0,114м

Вариант 4. Сталь, двутавр : ([σ]=160МПа, [τ]=80МПа).

по сортаменту W_х=953см³. Это №40: I_x=19062см⁴, S_х=545см³, d=0,83см.

Проверка по τ:

Вариант 5. Сталь, круглая труба

Принимаем D=0,22м → d = 0,6·D =0,132м.

Проверка по τ:

Вариант 6. Сталь, прямоугольная труба

b₁= b — 2t = b — 2·0,1b = 0,8b,

h₁= h — 2t = 0,8h,

Принимаем b=0,13м, h=0,26м.

Проверка по τ:

Кстати: какое из сечений стальной балки выгодней по расходу материала?

Двутавр — А = 72,6см²= 72,6·10^-4= 0,00726м²,

круглая труба –

прямоугольная труба —

Самый лёгкий: двутавр → самый выгодный с точки зрения изгиба.

prosopromat.ru

Расчет на прочность | ПроСопромат.ру

Задача 1

В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М=28 кНм, Q=19 кН.

Требуется:

б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.

Решение

Тогда:

б) Проверка прочности:

— по условию прочности нормальных напряжений:

— по условию прочности касательных напряжений:

Задача 2

где

Тогда

где:

Тогда

Задача 3

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем уравнения статики:

(1) ∑М(В) = F·8 – М – А·6 + (q·6)·3 =0,

откуда

(2) ∑М(А) = F·2 – М + В·6 — (q·6)·3 =0,

откуда

Iучасток

∑М(С) = М(z₁) +F·z₁=0,

ММ(z₁) = —F·z₁= — 30 ·z₁ —

– уравнение прямой.

При z₁ = 0: М = 0,

z₁ = 2: М =- 60 кНм.

∑у= — F — Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = — F = -30 кН – постоянная функция.

II участок

откуда

— уравнение параболы.

При z₂=0: М = 0,

z₂=3м: М = 30 · 3 – 5 · 3²= 90 — 45 = 45кНм,

z₂=6м: М = 30 · 6 – 5 · 6²= 180 — 180 = 0.

∑у= Q(z₂) — q·z₂ + B= 0,

Q(z₂) = q·z₂ — B= 10·z₂ – 30 – уравнение прямой,

при z₂= 0: Q = -30,

z₂= 6м: Q = 10·6 – 30 = 30.

Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:

из условиянаходим :

И тогда

В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм

откуда: :

а) сечение круглой формы d=?

б) сечение прямоугольной формы при h/b = 2:

тогда

Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения:

— для круглого сечения

— для прямоугольного сечения

Воспользуемся этими формулами. Тогда

— для балки круглого сечения при :

— для балки прямоугольного сечения

Задача 4

Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа.

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем два уравнения статики для их определения:

(1) ∑М(А) = – М₁– F ·2 — (q·8)·4 + М₂ + В·6 =0,

откуда

(2) ∑М(В) = – М₁– А · 6 + F · 4 + (q·8)·2 + М₂ =0,

откуда

Проверка:

∑у = А – F – q · 8 + В = 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0.

∑М(С) = М(z₁) — М₁=0,

М(z₁) = М₁= 40 кНм – постоянная функция.

∑у= — Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = 0.

II участок

— парабола.

Приz₂=0: М = 40 кНм,

z₂=1м: М = 40 + 104 – 10=134кНм,

z₂=2м: М = 40+ 104 · 2 – 10 · 2²= 208 кНм.

∑у=А — q·z₂ — Q(z₂) = 0,

Q(z₂) =А— q·z₂ = 104 – 20·z₂ – уравнение прямой,

при z₂= 0: Q = 104кН,

z₂= 6м: Q = 104 – 40 = 64кН.

III участок

— парабола.

Приz₃=0: М = 24+40=-16 кНм,

z₃=2м: М = 24 + 136·2 — 10 (2+2)² = 24 + 272 – 160 = 136кНм,

z₃=4м: М = 24 + 136·4 – 10 (2+4)²= 24 + 544 – 360 = 208 кНм.

∑у=В — q(2+z₃ ) + Q(z₃) = 0,

Q(z₃) =- В + q(2+z₃ ) = -136 + 20 (2+z₃ ) – уравнение прямой,

при z₃= 0: Q = -136 + 40 = — 94кН,

z₃= 4м: Q = — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН.

IV участок

— парабола.

z₄=0: М = 0кНм,

z₄=1м: М = – 10кНм,

z₄=2м: М = — 40кНм.

∑у=- q·z₄ + Q(z₄) = 0,

Q(z₄) =q·z₄ = 20·z₄ – уравнение прямой.

Приz₄= 0: Q = 0,

z₄= 2м: Q = 40кН.

Проверяем скачки в эпюрах:

б) В эпюре Q три скачка:

первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А=104кН,

второй – под силой F=80кН и равен ей (64+16=80кН),

третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН)

Наконец, проектируем двутавровое сечение.

Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям :

и перенапряжение составитчто превышает рекомендуемую величину отклонения, равную 5%.

что меньше [σ]=160МПа на

Итак, принимается двутавр №45^а, у которого: W_х=1430 см³, I_х=32240см⁴, I_х: S_х=38,6см, d=11,5мм.

Далее необходима проверка прочности по касательным напряжениям с помощью условия прочности :

Это условие прочности выполняется, даже с избыточным запасом.

Задача 5

Подобрать сечение балки, рассмотрев шесть вариантов форм и три вида материалов (древесина, чугун, сталь).

Решение

1.Определение опорных реакций

∑М(А) = F · 2 + М₁— М₂— q·6·7 + В · 8 =0,∑М(В) = F · 10 + М₁— М₂ – А · 8 + q·6·1 =0,Проверка:

∑у = – 20 – 40 ·6 +50+210 = — 260 + 260 ≡ 0.

2.Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

I участок

∑М(С) = М(z₁) + F·z₁=0,

М(z₁) = — F·z₁= -20·z₁.

При z₁=0: М = 0,

z₁=2м: М = – 40кНм,

∑у= — F— Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = — 20кН.

II участок

z₂=0: М = — 20 – 40 = -60 кНм,

z₂=4м: М = 200 — 20 – 120 = 200 — 140 = 60кНм.

∑у=- F + А — Q(z₂) = 0,

Q =- F + А= -20+50=30кН.

III участок

— парабола.

Приz₃=0: М = — 20·4= — 80 кНм,

z₃=2м: М = 210·2 — 20·(2+2)² = 420 – 320 = 100кНм,

z₃=4м: М = 210·4 – 20 · (2+4)²= 840 – 720 = 120кНм.

∑у= Q(z₃) + В — q·(2+z₃) = 0,

Q(z₃) = — В + q·(2+z₃) = — 210 + 40·(2+z₃) – уравнение прямой.

Приz₃= 0: Q = -130кН,

z₃= 4м: Q = 30кН.

Q(z₀) = — 210 + 40·(2+z₀) = 0,

— 210 + 80 + 40·z₀ = 0,

40·z₀ = 130,

z₀ =3,25м,

IV участок

парабола.

Приz₄=0: М = 0 кНм,

z₄=1м: М = – 20кНм,

z₄=2м: М = — 80кНм.

∑у=- q·z₄ + Q(z₄) = 0,

Q(z₄) =q·z₄ = 40·z₄ – уравнение прямой,

z₄= 0: Q = 0,

z₄= 2м: Q = 80кН.

3. Подбор сечений (опасное сечение по σ: |_maxМ|=131,25кНм,

опасное сечение по τ: |_maxQ|=130кН).

Вариант 1. Деревянное прямоугольное ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)

Принимаем: В=0,24м,

Н=0,48м.

Проверяем по τ:

Вариант 2. Деревянное круглое

Принимаем d=0,45м,

Проверяем по τ:

Вариант 3. Чугун : ([σ_Р]=30МПа, [σ_с]=120МПа, [τ]=15МПа)

Принимаем b=0,19м, тогда h=0,38м, d=0,076м.

Проверка по τ:

b(у)= b — d= 0,19 — 0,076 = 0,114м

Вариант 4. Сталь, двутавр : ([σ]=160МПа, [τ]=80МПа).

по сортаменту W_х=953см³. Это №40: I_x=19062см⁴, S_х=545см³, d=0,83см.

Проверка по τ:

Вариант 5. Сталь, круглая труба

Принимаем D=0,22м → d = 0,6·D =0,132м.

Проверка по τ:

Вариант 6. Сталь, прямоугольная труба

b₁= b — 2t = b — 2·0,1b = 0,8b,

h₁= h — 2t = 0,8h,

Принимаем b=0,13м, h=0,26м.

Проверка по τ:

Кстати: какое из сечений стальной балки выгодней по расходу материала?

Двутавр — А = 72,6см²= 72,6·10^-4= 0,00726м²,

круглая труба –

прямоугольная труба —

Самый лёгкий: двутавр → самый выгодный с точки зрения изгиба.

prosopromat.ru

Расчет балок на прочность.

Расчет по допускаемым напряжениям на прочность при изгибе.

– при симметричном сечении

Проверка прочности по предельным состояниям.

– максимальный изгибающий момент от расчетных нагрузок.

Р_р=Р_н×n

n – коэффициент перегрузки.

– нормативная нагрузка.

Р_р – расчетная нагрузка.

– коэффициент условия работы.

Если материал работает неодинаково на растяжение и сжатие, то прочность проверяется по формулам:

где R_p и R_сж – расчетное сопротивление на растяжение и сжатие

Расчет по несущей способности и учетом пластической деформации.

В предыдущих методах расчета прочность проверяется по максимальны напряжениям в верхних и нижних волокнах балки. При этом средние волокна оказываются недогруженными.

Оказывается, если нагрузку увеличивать дальше, то в крайних волокнах напряжение дойдет до предела текучести σ_т( в пластичных материалах), и до предела прочности σ_n_ч( в хрупких материалах). При дальнейшем увеличении нагрузки хрупкие материалы разрушатся, а в пластичных материалах напряжения в крайних волокнах далее не возрастают, а растут во внутренних волокнах. (см. рис.)

Несущая способность балки исчерпывается, когда по всему сечению напряжения достигнут σ_т.

W _пл= S₁+S₂

W _пл – пластический момент сопротивления

— статический момент растянутой и сжатой зон относительно нейтральной оси.

М_пред= σ_т× W _пл

где – коэффициент надежности по материалу.

где R — расчетное сопротивление.

— проверка прочности.

Для прямоугольного сечения:

W _пл=S₁+S₂=bh²/4

W _пл=bh²/4 — для прямоугольного сечения.

W =bh²/6 – обычный момент сопротивления.

W _пл=1,5W

Примечание: для прокатных профилей (швеллер и двутавр) пластический момент Wnл=(1.1÷1,17)×W

Касательные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения. Формула Журавcкого.

Так как момент в сечении 2 больше момента в сечении 1, то напряжение σ₂>σ₁=>N₂>N_1.

В этом случае элемент abcd должен переместиться влево. Этому перемещению препятствуют касательные напряжения τ на площадке cd.

— уравнение равновесия, после преобразования которого получается формула для определения τ: — Формула Журавского

где Q — поперечная сила,

S_отс— статический момент отсеченной части относительно нейтральной оси,

J-момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси, b — ширина балки на уровне y.

Распределение касательных напряжений в балках прямоугольного, круглого и двутаврового сечений.

1. Прямоугольное сечение:

— формула для сечения на расстоянии у₀от нейтральной оси.

2.Круглое сечение.

— формула для сечения на расстоянииу₀от нейтральной оси.

— формула для сечения под углом α.

3. Двутавровое сечение.

			Для стенки двутавра касательные напряжения вычисляют по формуле:

Для полки: условно вертикальные касательные напряжения определяют по формуле:
		В полках двутавров возникают касательные напряжения, направленные горизонтально:
	На рисунке показан общий характер распределения τ в сечении двутавра.

Главные напряжения при изгибе. Проверка прочности балок.

Выделим из балки участок, на который действует максимально поперечная сила Q_maxи изгибающий момент M_max_.

Наиболее опасными точками являются сечение A и точка Б.

Прочность проверяется по напряжениям в этих точках.

На практике обычно ограничиваются проверкой сечения A:

[σ_сж]

Примечание: при расчете по предельным состояниям вместо [σ_сж] и [σ_р] в формулы ставятся R_c_ж и R_p – расчетные сопротивления материала при сжатии и растяжении.

Если же балка короткая, то проверяют точку Б:

где R_срез– расчетное сопротивление материала на срез.

В точке D на элемент действует нормальные и касательные напряжения, поэтому в некоторых случаях их совместное действие вызывает опасность для прочности. В этом случае элемент D проверяют на прочность используя главные напряжения.

В нашем случае: , следовательно:

Используя σ₁и σ₂ по теории прочности проверяют элемент D.

По теории наибольших касательных напряжений имеем: σ₁— σ₂≤R

Примечание: точку D следует брать по длине балки там, где одновременно действуют большие M и Q.

По высоте балки выбираем такое место, где одновременно действуют значения σ и τ.

Из эпюр видно:

1. В балках прямоугольного и круглого сечения отсутствуют точки, в которых одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому в таких балках проверка точки D не делается.

2. В балках двутаврового сечения на границе пересечения полки со стенкой (т. А) одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому они проверяются на прочность в этой точке.

Примечание:

В прокатных двутаврах и швеллерах в зоне пересечения полки со стенкой сделаны плавные переходы (закругления). Стенка и полка подобраны так, что точка A оказывается в благоприятных условиях работы и проверка прочности не требуется.
В составных (сварных) двутавровых балках проверка точки А необходима.

studfile.net

Расчет балки онлайн

Для расчета балок первым делом необходимо определить усилия, возникающие в конструкциях. В данном разделе показано, как находить усилия, опорные реакции, прогибы и углы поворота в различных изгибаемых конструкциях. Для самых распространенных из них вы можете воспользоваться онлайн расчетом. Для редких — приведены все формулы определения необходимых значений.

Онлайн расчет балки на двух опорах (калькулятор).

Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.

Синие ячейки — ввод данных. (Белые ячейки — ввод координаты для определения промежуточного итога).

Зеленые ячейки — расчетные, промежуточный итог.

Оранжевые ячейки — максимальные значения.

>>> Перейти к расчету балки на двух опорах <<<

Онлайн расчет консольной балки (калькулятор).

Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.

Синие ячейки — ввод данных. (Белые ячейки — ввод координаты для определения промежуточного итога).

Зеленые ячейки — расчетные, промежуточный итог.

Оранжевые ячейки — максимальные значения.

>>> Перейти к расчету консольной балки <<<

Расчет однопролетной балки на двух шарнирных опорах.

Рис.1 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке

Рис.2 Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух сосредоточенных нагрузках

Рис.3 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис4. Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке

Рис5. Расчет балки на двух шарнирных опорах при действии изгибающего момента

Расчет балок с жестким защемлением на двух опорах

Рис6. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной сосредоточенной нагрузке

Рис7. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при двух сосредоточенных нагрузках

Рис8. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис9. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке

Рис10.Расчет балки с жестким защемлением на опорах при действии изгибающего момента

Расчет консольных балок

Рис11. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной сосредоточенной нагрузке

Рис12. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис13. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной неравномерно-распределенной нагрузке

Рис14. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при действии изгибающего момента

Расчет двухпролетных балок

Рис15. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной сосредоточенной нагрузке

Рис16. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис17. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке

stroit-prosto.ru

Расчет балки на прочность: онлайн-калькуляторы, пример, последовательность действий

Одной из важнейших задач для строителя считается расчет балки. Сегодня придумано немало средств, позволяющих решать данную задачу максимально быстро и точно. Наиболее удобными считаются онлайн-калькуляторы, которые за несколько секунд предоставляют необходимое решение. В данной статье мы разберем расчет балки на изгиб, прогиб, прочность с применением калькулятора.

Как рассчитывать балки на прочность

Расчет балки на прогиб, калькулятор для которого можно найти в интернете, можно произвести следующими методами:

Рассчитать максимальную нагрузку, которую способна выдержать заданная схема;
Подобрать сечение;
Проверочный перерасчет по максимальным значениям напряжения.

Для наглядности следует рассмотреть общий принцип подбора сечения двутавра, расположенной на двух опорах. Загрузка происходит равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.

Последовательность действий

Для начала расчета балки на прогиб калькулятором необходимо определить точку, в которой будет максимальное значение момента. Все будет зависеть от того, какая схема представлена в задаче. Наиболее популярны следующие схемы:

Заделка — шарнир;
Заделка — заделка;
Шарнир — шарнир;
Заделка — свободный конец.

Остальные варианты являются в той или иной степени разновидностями вышеуказанных схем.

Как только вы нашли изгибающий момент, по таблице ищется момент сопротивления Wx указанного сечения по формулам, которые указываются в соответствующих таблицах. При делении максимального момента изгиба на момент сечения можно отыскать максимальное значение напряжения, которое необходимо сравнить с напряжением, которое максимально выдерживает определяемая конструкция.

Сравнение полученных напряжений с напряжением материалов

Онлайн-расчет балки на прочность сопровождается сравнением полученного значения напряжения в сечении с максимально возможным. Здесь необходимо смотреть на таблицу материалов, из которых производятся такие конструкции.

Если материал пластичен, то максимальное напряжение схемы будет равно пределу текучести материала. К таковым относят алюминий, сталь, иные металлы. Хрупкие же материалы по типу чугуна имеют максимальное значение напряжения, равное пределу прочности. Для каждого конкретного материала имеется свое максимальное значение, которое можно найти в таблицах в специальной литературе.

Пример расчета

Предположим, что нам надо проверить на прочность двутавр номер 10. Его длина 2 метра, он жестко заделан в стену, человек массой 90 килограммов решил повиснуть на двутавре. Порядок решения здесь следующий:

Выбираем расчетную схему, в этом случае заделка — свободный конец;
Максимальное значение находится в заделке, двутавр имеет на всей длине одинаковое сечение. Тогда P = m*g = 90*10=0,9 кН, M = P*I= 1,8 кН*м;
Находим по таблице сортаментов для данного двутавра момент сопротивления;
Затем находим максимальные напряжения в балке б = M/W = 1,8 / 0. 0000397 = 45,34 Мпа;
Сравниваем с максимально допустимым напряжением, равным пределу текучести стали, из которой сделан двутавр. Так как 45,34 Мпа меньше 245 Мпа, то такой двутавр выдержит человека массой 90 килограммов.

Можно также решить и вторую задачу, связанной с нахождением максимальной массы человека, которую может выдержать данная балка. Здесь приравнивают значения предела текучести и напряжения в сечении балки, найти максимальный момент и затем наибольшую массу. Для более точного результата следует учитывать различные коэффициенты и брать двойной запас прочности.

Онлайн-калькуляторы

Расчет прогиба балки онлайн-калькулятором достаточно быстрый и точный. Здесь выбирается одна из схем, затем набираются соответствующие числовые значения и происходит расчет по всем необходимым параметрам.

Необходимо указать значения моментов, изгибающих сил, длин участков. Итогом станут эпюры моментов и сил. Решение данными программами достаточно точное и позволяет оперативно посчитать силы и моменты для балок на прочность, изгибы и прогибы.

Преимуществом подобных средств является большой набор схем для расчета, быстрота, точность, простота применения. Однако для уточнения полученного результата надо произвести самостоятельное письменное решение.

В заключение можно сказать следующее: расчет балки на прочность можно произвести как вручную, так и с применением онлайн-калькуляторов. Их можно комбинировать, использовав один из них для проверки другого метода. Рассчитать балку может понадобиться в разных случаях, особенно актуально это становится при строительстве. Только правильно рассчитанная балка позволит построить или реконструировать сооружение с тем условием, что оно прослужит длительное время.

Также данный расчет полезен для всех тех, кто учится или имеет дело с техническими науками, ибо прикладная механика является неотъемлемой частью программы любого технического вуза. Удачных расчетов на прочность!

tokar.guru

Расчет металлической балки на прогиб: учимся составлять формулы

Приветствую тебя, читатель экспресс-курса — «сопромат для чайников» на сайте – SoproMats.ru. Меня зовут Константин Вавилов, я являюсь автором статей по сопромату и других материалов данного ресурса. В этой статье, будем рассматривать универсальную методику расчета прогибов балки — метод начальных параметров. Как и любая другая статья для чайников, на нашем проекте, этот материал будет изложен максимально просто, лаконично и без лишних заумных терминов.

В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

Что такое прогиб балки?

Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).

Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.

ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.

Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)

Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

в опорах прогибы равны нулю;
в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.

Учитывая эти хитрости, их называют еще граничными условиями, определяются перемещения в других частях балки.

Расчет прогибов балки

Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

Реакции опор

Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.

Если ты не знаешь, как определять реакции, то рекомендую изучить данный материал, где я как раз рассказываю, как они определяются на примере этой балки:

Система координат

Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

Распределенная нагрузка

Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.

Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.

Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:

Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

\[ { V }_{ A }=0\quad при\quad x=0 \]

\[ { V }_{ B }=0\quad при\quad x=8м \]

Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=… \]

Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+ … \]

Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 4+… \]

Учет внешней нагрузки

И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:

Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, которые направленны вверх, то есть совпадают с направлением оси y, в уравнении записываются со знаком «плюс». Если они направленны наоборот, соответственно, со знаком «минус»:

Моменты, направленные по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:

Все сосредоточенные моменты нужно умножать дробь:

\[ M\cdot \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \]

Все сосредоточенные силы нужно умножать дробь:

\[ F\cdot \frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } \]

Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:

\[ q\cdot \frac { { x }^{ 4 } }{ 24 } \]

Откуда такие цифры и степени взялись? Все эти вещи вытекают при интегрировании дифференциального уравнения упругой линии балки, в методе начальных параметров все эти выводы опускаются, то есть он является как бы упрощенным и универсальным методом.

Формулы прогибов

С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 4+\frac { { R }_{ A }\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot { 2 }^{ 4 } }{ 24 } \]

В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.

Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ B }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 8+\frac { { R }_{ A }\cdot { 8 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 8 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot 6^{ 4 } }{ 24 } +\frac { q\cdot 2^{ 4 } }{ 24 } =0 \]

Упрощаем уравнение:

\[ E{ I }_{ z }{ \theta }_{ A }\cdot 8+874.67=0 \]

Выражаем угол поворота:

\[ { \theta }_{ A }=-\frac { 874.67 }{ 8E{ I }_{ z } } =-\frac { 109.33кН{ м }^{ 2 } }{ E{ I }_{ z } } \]

Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=\frac { -109.33\cdot 4E{ I }_{ z } }{ E{ I }_{ z } } +\frac { { R }_{ A }\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { F\cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -\frac { q\cdot { 2 }^{ 4 } }{ 24 } =-\frac { 280кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ z } } \]

Вычисление прогиба

Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:

\[ { V }_{ C }=-\frac { 280кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ z } } =-\frac { 280\cdot { 10 }^{ 9 }Н\cdot { см }^{ 3 } }{ 2\cdot { 10 }^{ 7 }\frac { Н }{ { см }^{ 2 } } \cdot 7080{ см }^{ 4 } } =-2см \]

Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.

На этом, пожалуй, закончу данный урок. Если у вас возникли какие-либо вопросы по представленным материалам, задавайте вопросы в комментариях к этой статье. А также рекомендую вам посмотреть другие примеры определение прогибов этим методом. Там вы найдете более сложные задачи, определение углов поворотов, примеры расчета консольных балок (с жесткой заделкой).

sopromats.ru