В предыдущих методах расчета прочность проверяется по максимальны напряжениям в верхних и нижних волокнах балки. При этом средние волокна оказываются недогруженными.

Оказывается, если нагрузку увеличивать дальше, то в крайних волокнах напряжение дойдет до предела текучести σ_т( в пластичных материалах), и до предела прочности σ_nч( в хрупких материалах). При дальнейшем увеличении нагрузки хрупкие материалы разрушатся, а в пластичных материалах напряжения в крайних волокнах далее не возрастают, а растут во внутренних волокнах. (см. рис.)

Несущая способность балки исчерпывается, когда по всему сечению напряжения достигнут σ_т.

Для прямоугольного сечения:

Примечание: для прокатных профилей (швеллер и двутавр) пластический момент Wnл=(1. 1÷1,17)×W

Касательные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения. Формула Журавcкого.

Так как момент в сечении 2 больше момента в сечении 1, то напряжение σ₂>σ₁=>N₂>N_1.

В этом случае элемент abcd должен переместиться влево. Этому перемещению препятствуют касательные напряжения τ на площадке cd.

— уравнение равновесия, после преобразования которого получается формула для определения τ: — Формула Журавского

Распределение касательных напряжений в балках прямоугольного, круглого и двутаврового сечений.

1. Прямоугольное сечение:

2.Круглое сечение.

3. Двутавровое сечение.

Главные напряжения при изгибе. Проверка прочности балок.

[σ_сж]

Примечание: при расчете по предельным состояниям вместо [σ_сж] и [σ_р] в формулы ставятся R_cж и R_p – расчетные сопротивления материала при сжатии и растяжении.

Если же балка короткая, то проверяют точку Б:

где R_срез – расчетное сопротивление материала на срез.

В точке D на элемент действует нормальные и касательные напряжения, поэтому в некоторых случаях их совместное действие вызывает опасность для прочности. В этом случае элемент D проверяют на прочность используя главные напряжения.

В нашем случае: , следовательно:

Используя σ ₁и σ₂ по теории прочности проверяют элемент D.

По теории наибольших касательных напряжений имеем: σ ₁ — σ₂≤R

Примечание: точку D следует брать по длине балки там, где одновременно действуют большие M и Q.

По высоте балки выбираем такое место, где одновременно действуют значения σ и τ.

Из эпюр видно:

1. В балках прямоугольного и круглого сечения отсутствуют точки, в которых одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому в таких балках проверка точки D не делается.

2. В балках двутаврового сечения на границе пересечения полки со стенкой (т. А) одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому они проверяются на прочность в этой точке.

Примечание:

1. В прокатных двутаврах и швеллерах в зоне пересечения полки со стенкой сделаны плавные переходы (закругления). Стенка и полка подобраны так, что точка A оказывается в благоприятных условиях работы и проверка прочности не требуется.

2. В составных (сварных) двутавровых балках проверка точки А необходима.

Расчет прочности балки прямоугольного сечения (СНиП)

Цель: Проверка режима экспертизы железобетона в постпроцессоре «Железобетон» вычислительного комплекса SCAD

Задача: Проверить прочность сечения консольной балки при заданном армировании

Ссылки: Пособие по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяжелого бетона без предварительного напряжения арматуры (к СНиП 2.03.01-84), 1989, с. 26.

Файл с исходными данными:

SCAD 3 SNiP.spr
отчет – SCAD 3 SNiP.doc

Соответствие нормативным документам: СНиП 2.03.01-84. 

Исходные данные:

Результаты расчета SCAD:

Конструктивная группа Балка

Расстояние между арматурными стержнями в первом ряду S1  меньше допускаемого (см. п. 5.12 СНиП 2.03.01-84*).
Элементы: 1

Коэффициент надежности по ответственности  γ_n = 1
Коэффициент надежности по ответственности (2-е предельное состояние)  = 1
Тип элемента — Изгибаемый
Напряженное состояние — Одноосный изгиб

Бетон

Вид бетона: Тяжелый
Класс бетона: B25
Условия твердения: Естественное
Коэффициент условий твердения 1

Влажность воздуха окружающей среды — 40-75%

Трещиностойкость

Категория трещиностойкости — 3
Условия эксплуатации конструкции: В помещении
Режим влажности бетона — Естественная влажность
Допустимая ширина раскрытия трещин:
  Непродолжительное раскрытие  0,4 мм
  Продолжительное раскрытие  0,3 мм
 

Конструктивная группа Балка. Элемент № 1
Длина элемента 5,0 м

Заданное армирование

Сравнение решений

Краткий справочник по анализу пучка (формула)

ПРИМЕЧАНИЕ. Эта страница использует JavaScript для форматирования уравнений для правильного отображения. Пожалуйста, включите JavaScript.

На этой странице представлена ​​краткая справочная таблица формул для расчета напряжений и прогибов в балках.

Сила сдвига и изгибающий момент

Чтобы найти поперечную силу и изгибающий момент по длине балки, сначала решите внешние реакции при граничных условиях.Затем сделайте разрезы по длине балки и решите реакции на каждом разрезе, как показано ниже. Выбранная сторона разреза не повлияет на результаты.

Подписать Конвенцию

Диаграммы сдвига и момента

Сдвиговый и изгибающий моменты балки обычно выражаются с помощью диаграмм сдвига и момента. Здесь показан пример диаграммы момента сдвига.

Общие правила построения диаграмм момента сдвига приведены в таблице ниже.

Напряжения изгиба в балках

Напряжение изгиба в балке равно нулю на нейтральной оси и линейно увеличивается с расстоянием от нейтральной оси в соответствии с формулой изгиба :

где M — момент в точке по длине балки, взятый из диаграммы моментов.

Напряжение изгиба в несимметричной балке:

Модуль сечения , S, характеризует сопротивление изгибу поперечного сечения одним термином:

Максимальное напряжение изгиба в балке:

Напряжения сдвига в балках

Максимальное напряжение сдвига для общих поперечных сечений:

Таблицы отклонения балки

Таблицы уравнений прогиба, наклона, сдвига и момента вдоль прямых балок для различных конечных условий и нагрузок можно найти на этой странице.

Ознакомьтесь с нашим калькулятором балок, основанным на методике, описанной здесь.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Строит диаграммы сдвига и момента
• Может указывать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

Список литературы

1. Будинас-Нисбетт, «Машиностроительный проект Шигли», 8-е изд.
2. Гир, Джеймс М., «Механика материалов», 6-е изд.
3. Линдебург, Майкл Р., «Справочное руководство по машиностроению для экзамена на физическую форму», 13-е изд.
4. «Руководство по анализу напряжений», Лаборатория динамики полета ВВС, октябрь 1986 г.

Свойства поперечного сечения | MechaniCalc

ПРИМЕЧАНИЕ. Эта страница использует JavaScript для форматирования уравнений для правильного отображения.Пожалуйста, включите JavaScript.

Поведение элемента конструкции определяется его материалом и геометрией. Поперечное сечение и длина конструктивного элемента влияют на то, насколько этот элемент прогибается под нагрузкой, а поперечное сечение определяет напряжения, которые существуют в элементе при данной нагрузке.

Недвижимость участков

Центроид

Центроид формы представляет собой точку, вокруг которой равномерно распределена площадь сечения.Если область дважды симметрична относительно двух ортогональных осей, центр тяжести лежит на пересечении этих осей. Если область симметрична только относительно одной оси, то центр тяжести лежит где-то вдоль этой оси (необходимо вычислить другую координату). Если точное местоположение центроида не может быть определено путем осмотра, его можно рассчитать следующим образом:

где dA представляет собой площадь бесконечно малого элемента, A — общая площадь поперечного сечения, а x и y — координаты элемента dA относительно интересующей оси.

Центроидальные положения общих поперечных сечений хорошо задокументированы, поэтому обычно нет необходимости рассчитывать местоположение с помощью приведенных выше уравнений.

Если поперечное сечение состоит из набора основных форм, центроидальное положение которых известно относительно некоторой контрольной точки, то центральное положение составного поперечного сечения можно рассчитать как:

где x _{c, i} и y _{c, i} — прямоугольные координаты центроидного положения секции i ^th относительно опорной точки, а A _i — площадь i ^th . раздел.

Центроидное расстояние

Центроидное расстояние , c — это расстояние от центра тяжести поперечного сечения до крайнего волокна. Центроидное расстояние в направлении y для прямоугольного поперечного сечения показано на рисунке ниже:

Обычно центроидное расстояние используется:

Первый момент области

Первый момент области указывает распределение области относительно некоторой оси.Первый момент области относительно интересующей оси рассчитывается как:

где Q _x — это первый момент вокруг оси x, а Q _y — это первый момент вокруг оси y. Значения x и y указывают положения относительно интересующей оси бесконечно малых областей dA каждого элемента при выполнении интегрирования.

Если область состоит из набора основных форм, чьи центроидные положения известны относительно интересующей оси, то первый момент составной области можно рассчитать как:

Если вы сравните приведенные выше уравнения для Q с уравнениями для вычисления центроида (обсуждавшимися в предыдущем разделе), вы увидите, что мы фактически используем первый момент площади при вычислении положения центроида относительно интересующего начала.

Первый момент также используется при расчете значения напряжения сдвига в определенной точке поперечного сечения. Напомним, что напряжение сдвига в любой точке, расположенной на расстоянии y ₁ от центра тяжести поперечного сечения, рассчитывается как:

где Q — первый момент области между точкой y ₁ и крайним волокном (верхним или нижним) поперечного сечения. Рассмотрим рисунок ниже. Нас интересует расчет напряжения сдвига в точке, расположенной на расстоянии y ₁ от центра тяжести поперечного сечения.Мы можем вычислить первый момент области либо выше, либо ниже этого местоположения. В этом случае интересующая точка находится выше нейтральной оси, поэтому проще рассмотреть верхнюю область, которая на рисунке ниже заштрихована синим цветом. Эта область простирается от точки y ₁ до крайнего волокна в верхней части поперечного сечения.

Первый момент относительно оси x области, заштрихованной синим на рисунке выше, вычисляется относительно центроида поперечного сечения (точка O на рисунке) как:

Если центральное положение интересующей области известно, то первый момент области относительно центроида упрощается до (см. Рисунок выше):

Q _cx = y _c1 A ₁

Следует отметить, что первый момент области является положительным или отрицательным в зависимости от положения области относительно оси интереса.Следовательно, первый момент всей площади поперечного сечения относительно его собственного центра тяжести равен нулю.

Момент инерции площади

Второй момент площади, более известный как момент инерции , I, поперечного сечения, является показателем способности конструктивного элемента сопротивляться изгибу. ^{(Примечание 1)} I _x и I _y — это моменты инерции относительно осей x и y, соответственно, и рассчитываются по формуле:

где x и y — координаты элемента dA относительно интересующей оси.

Чаще всего моменты инерции рассчитываются относительно центра тяжести сечения. В этом случае они называются центроидными моментами инерции и обозначаются как I _cx для инерции относительно оси x и I _cy для инерции относительно оси y.

Моменты инерции общих поперечных сечений хорошо задокументированы, поэтому обычно нет необходимости рассчитывать их с помощью приведенных выше уравнений. Свойства нескольких общих сечений приведены в конце этой страницы.

Если поперечное сечение состоит из набора основных форм, все центроиды которых совпадают, то момент инерции составного сечения является просто суммой отдельных моментов инерции. Примером этого является балка коробчатого сечения, состоящая из двух прямоугольных секций, как показано ниже. В этом случае внешняя часть имеет «положительную площадь», а внутренняя часть имеет «отрицательную площадь», поэтому составной момент инерции представляет собой вычитание момента инерции внутренней части из внешней части.

В случае более сложного составного поперечного сечения, в котором центральные положения не совпадают, момент инерции может быть вычислен с использованием теоремы о параллельных осях .

Важно не путать момент инерции площади с массой момента инерции твердого тела. Момент инерции области указывает на сопротивление поперечного сечения изгибу, тогда как момент инерции массы указывает на сопротивление тела вращению.

Теорема о параллельной оси

Если известен момент инерции поперечного сечения относительно центральной оси, то для вычисления момента инерции относительно любой параллельной оси можно использовать теорему о параллельных осях :

I _{параллельная ось} = I _c & plus; А д ²

где I _c — момент инерции относительно центральной оси, d — расстояние между центральной осью и параллельной осью, а A — площадь поперечного сечения.

Если поперечное сечение состоит из набора основных форм, центроидные моменты инерции которых известны вместе с расстояниями центроидов до некоторой контрольной точки, то теорема о параллельных осях может использоваться для вычисления момента инерции составного поперечного сечения.

Например, двутавровая балка может быть аппроксимирована 3 прямоугольниками, как показано ниже. Поскольку это составное сечение симметрично относительно осей x и y, центр тяжести сечения можно определить путем осмотра на пересечении этих осей.Центроид расположен в начале координат O на рисунке.

Момент инерции составной секции можно рассчитать с помощью теоремы о параллельности осей. Центроидный момент инерции секции относительно оси x, I _cx , рассчитывается как:

I _cx.IBeam = I _cx.W & plus; (I _cx.F1 & plus; A _F1 d ₁ ² ) & plus; (I _cx.F2 & plus; A _F2 d ₂ ² )

где члены I _cx представляют собой моменты инерции отдельных секций относительно их собственных центроидов в ориентации оси x, члены d представляют собой расстояния от центроидов отдельных секций до центроида составной секции, а Термины — это площади отдельных разделов.Поскольку центроид сечения W и центроид составного сечения совпадают, d для этого сечения равно нулю, поэтому член Ad ² отсутствует.

Важно отметить, что из теоремы о параллельных осях следует, что по мере того, как отдельная секция перемещается дальше от центра тяжести составной секции, вклад этой секции в момент инерции составной секции увеличивается в d ² . Следовательно, если намерение состоит в том, чтобы увеличить момент инерции секции относительно определенной оси, наиболее эффективно расположить область как можно дальше от этой оси.Это объясняет форму двутавровой балки. Фланцы вносят основной вклад в момент инерции, а перегородка служит для отделения фланцев от оси изгиба. Однако полотно должно сохранять некоторую толщину, чтобы избежать коробления, а также потому, что полотно принимает на себя значительную часть напряжения сдвига в сечении.

Полярный момент инерции

Полярный момент инерции , J, поперечного сечения является показателем способности конструктивного элемента противостоять скручиванию вокруг оси, перпендикулярной сечению.Полярный момент инерции для сечения относительно оси можно рассчитать следующим образом:

J = ∫ r ² dA = ∫ (x ² & plus; y ² ) dA

где x и y — координаты элемента dA относительно интересующей оси, а r — расстояние между элементом dA и интересующей осью.

Хотя полярный момент инерции может быть вычислен с использованием приведенного выше уравнения, обычно более удобно рассчитать его, используя теорему о перпендикулярной оси , которая гласит, что полярный момент инерции области является суммой моментов инерции относительно любые две ортогональные оси, проходящие через интересующую ось:

J = I _x и плюс; Я _и

Чаще всего интересующая ось проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Модуль упругости сечения

Максимальное изгибающее напряжение в балке рассчитывается как σ _b = Mc / I _c , где c — расстояние от нейтральной оси до крайнего волокна, I _c — центроидный момент инерции, а M — изгибающий момент. Модуль упругости сечения объединяет члены c и I _c в уравнении напряжения изгиба:

S = I _с / с

Используя модуль упругости сечения, напряжение изгиба рассчитывается как σ _b = M / S.Полезность модуля сечения заключается в том, что он характеризует сопротивление сечения изгибу одним термином. Это позволяет оптимизировать поперечное сечение балки, чтобы противостоять изгибу, за счет максимального увеличения одного параметра.

Радиус вращения

Радиус вращения представляет собой расстояние от центра тяжести секции, на котором вся площадь может быть сосредоточена без какого-либо влияния на момент инерции. Радиус вращения формы относительно каждой оси определяется как:

Полярный радиус вращения также может быть вычислен для задач, связанных с кручением вокруг центральной оси:

Прямоугольные радиусы вращения также можно использовать для вычисления полярного радиуса вращения:

r _p ² = r _x ² & plus; г _г ²

Свойства общих сечений

В таблице ниже приведены свойства обычных поперечных сечений.Более подробные таблицы можно найти в перечисленных ссылках.

Свойства, вычисленные в таблице, включают площадь, центроидный момент инерции, модуль упругости сечения и радиус вращения.

Банкноты

Примечание 1: Прогиб балки

Прогиб балки при изгибе определяется моментом инерции поперечного сечения, длиной балки и модулем упругости материала.Более подробная информация представлена ​​в этом обсуждении отклонения балки.

Список литературы

1. Гир, Джеймс М., «Механика материалов», 6-е изд.
2. Линдебург, Майкл Р., «Справочное руководство по машиностроению для экзамена на физическую форму», 13-е изд.

Калькулятор прочности и прогиба балки

Балка или стержень — это любой элемент конструкции, длина которого значительно превышает ширину или глубину.Однако термин «существенно» означает разные вещи для разных людей. Для некоторых людей вдвое большей длины достаточно, другие сочтут пятикратную длину слишком короткой и поэтому сочтут такой элемент пластиной, каркасом или конструкцией. Процедуры расчета балок не накладывают таких ограничений или различий.

Балки обычно используются для несения нагрузки, в то время как пролетные опоры находятся на достаточном расстоянии друг от друга, например, пол (см. Калькулятор этажей CalQlata). При указании балки вы должны определить ее максимальную грузоподъемность (т.е. его прочность) и максимально допустимый прогиб.

Прочность и жесткость балки

Прочность балки зависит от предела текучести материала, из которого она изготовлена, тем самым определяя максимальную нагрузку, которая может быть приложена до того, как она деформируется (или сломается, если она сделана из хрупкого материала), и

, его жесткость зависит от второго момента площади поперечного сечения балки (например, канал, двутавровая балка, двутавровая балка, угол и т. Д.) вместе с модулем Юнга его материала, тем самым определяя ожидаемый прогиб балки для любой заданной нагрузки

Обе вышеуказанные характеристики определяют поведение балки под нагрузкой.

Спроектировать балку

Предположим, у вас есть равномерно распределенная нагрузка в 4000 Н на длине балки 4 м (1 Н / мм) и максимально допустимый прогиб, скажем, 1/200 длины балки (20 мм).

Используя Beams, вы вводите информацию, которую знаете, и изменяете второй момент площади (I), пока не получите желаемое отклонение (20 мм в середине балки, где ее отклонение будет наибольшим), что в этом случае дает вам значение для I около 800000 мм².

Предполагая, что вы планируете использовать секцию канала, путем сортировки каналов в базе данных CalQlata Steel Sections вы обнаружите, что размер вашей балки должен быть сечением «3×6», которое является наименьшим сечением балки со значением I выше 800000 мм², и найдите значение для « y ‘(расстояние от нейтральной оси балки до внешней части ее сечения), которое в данном случае составляет 38,1 мм.

Вы возвращаетесь в раздел «Балки», вводите правильное значение для I (863 264 мм²), а также вводите значение 38,1 мм для «d», чтобы установить максимальное напряжение в материале балки, которое в данном случае составляет 88 Н / мм².

Если это значение находится в пределах требований вашего запаса прочности, то ваш луч приемлем. Если нет, но вы должны работать с данным материалом, вам следует изменить (увеличить) сечение балки, тем самым уменьшив допустимый прогиб до тех пор, пока напряжение не станет приемлемым.

Калькулятор прогиба балки — Техническая помощь

Предполагается, что любая нагрузка в калькуляторе прочности балок одинаково распространяется через плоскость или сечение балки во всех направлениях, перпендикулярных (другими словами, под углом 90 ° к) к ее продольной оси.

Если нагрузка локализована в поперечном сечении балки (т. Е. Неравномерно распределена по ней), могут потребоваться дополнительные расчеты для определения локальных (сосредоточенных) реакций и напряжений (см. Калькуляторы CalQlata Plates and Sheets).

Напряжение изгиба

Изгибающие напряжения в балках применяются к балке на заданном расстоянии (d) от ее нейтральной оси. Эта входная переменная (‘d’) используется только в расчетах для напряжения (σx) и деформации (ex). Если вы оставите поле пустым или установите его на ноль, балки не будут вычислять напряжение или деформацию в указанном вами месте вдоль балки (рис. 1 ‘x’).Никакие другие результаты не будут затронуты.

Условия одновременной / множественной нагрузки

Если у вас есть балка с более чем одной приложенной нагрузкой, вы просто складываете результаты вместе в указанном месте.

Пример расчета прочности балки (рис. 2):

Детали балки:
L = 2000 мм
I = 1,2E + 08 мм⁴
E = 2,07E + 05 Н / мм²
y = 200 мм
Условия нагрузки 1:
wA & wB = 450 Н / мм
l = 0
Условия нагрузки 2:
F = 150000 N
l = 700 мм
Расстояние вдоль балки до выхода:
x = 1000

Шаг 1:
Введите данные для балки и условия нагрузки 1 (простая фиксированная / распределенная нагрузка), задав для параметра wA (/ L) и wB (/ L) значение 450 ‘, скопируйте список данных и вставьте в электронную таблицу.

Шаг 2:
Введите условие нагрузки 2 (простая фиксированная / точечная нагрузка), установив F на 150000, скопируйте список данных и вставьте в ту же электронную таблицу.

Шаг 3:
Добавьте результаты обоих калькуляторов, и вы получите условия в нужном месте.

Ограничения

Эти расчеты действительны только в том случае, если материал по всей длине и толщине сечения подчиняется закону Гука.
Результаты остаются действительными для этого калькулятора, если прогиб таков, что на длину балки существенно не влияют условия нагрузки.
Калькулятор больших отклоняющих балок CalQlata (гибкие балки) следует использовать, если длина балки изменяется более чем на 5% в результате приложенной нагрузки.

Дополнительная литература

Дополнительную информацию по этому вопросу можно найти в справочных публикациях ^{(2, 3 и 4)}

Основы и уравнения прочности материалов | Механика материалов

Сила / Механика материалов Меню

Сопротивление материалов , также называемое механикой материалов , является предметом, который имеет дело с поведением твердых объектов, подверженных напряжениям и деформациям.

В материаловедении прочность материала — это его способность без разрушения выдерживать приложенную нагрузку. Нагрузка, приложенная к механическому элементу, будет вызывать внутренние силы внутри элемента, называемые напряжениями, когда эти силы выражаются в единицах. Напряжения, действующие на материал, по-разному вызывают деформацию материала. Деформация материала называется деформацией, если и эти деформации относятся к единице. Приложенные нагрузки могут быть осевыми (растягивающими или сжимающими) или сдвигающими.Напряжения и деформации, возникающие в механическом элементе, должны быть рассчитаны, чтобы оценить нагрузочную способность этого элемента. Для этого требуется полное описание геометрии элемента, его ограничений, нагрузок, приложенных к элементу, и свойств материала, из которого он состоит. С полным описанием нагрузки и геометрии элемента можно рассчитать состояние напряжения и состояние деформации в любой точке элемента. Когда состояние напряжения и деформации внутри элемента известно, можно рассчитать прочность (несущую способность) этого элемента, его деформации (характеристики жесткости) и его стабильность (способность сохранять свою первоначальную конфигурацию).Рассчитанные напряжения затем можно сравнить с некоторой мерой прочности элемента, такой как текучесть материала или предел прочности. Рассчитанный прогиб элемента можно сравнить с критериями прогиба, основанными на использовании элемента. Расчетную нагрузку на продольный изгиб элемента можно сравнить с приложенной нагрузкой. Расчетная жесткость и распределение массы элемента можно использовать для расчета динамического отклика элемента, а затем сравнить его с акустической средой, в которой он будет использоваться.

Под прочностью материала понимается точка на инженерной кривой напряжение-деформация (предел текучести), за которой материал испытывает деформации, которые не будут полностью устранены после снятия нагрузки, и в результате элемент будет иметь постоянный прогиб. Предел прочности относится к точке на инженерной кривой «напряжение – деформация», соответствующей напряжению, вызывающему разрушение.

Ниже приведены основные определения и уравнения, используемые для расчета прочности материалов.

Напряжение (нормальное)

Напряжение — это отношение приложенной нагрузки к площади поперечного сечения растягиваемого элемента, выраженное в фунтах на квадратный дюйм (psi) или кг / мм ² .

Деформация (нормальная)

Безразмерная мера деформации материала.

Кривая деформации напряжения

Предел пропорциональности — это точка на кривой напряжения-деформации, в которой она начинает отклоняться от прямолинейная связь между напряжением и деформацией.См. Сопроводительный рисунок в (1 и 2).

Предел упругости — это максимальное напряжение, которому образец может подвергаться и вернитесь к исходной длине после снятия нагрузки. Говорят, что материал подчеркнут в упругая область, когда рабочее напряжение не превышает предела упругости, и подлежащая напряжению в пластической области, когда рабочее напряжение действительно превышает предел упругости. Предел упругости для стали практически такой же, как и ее предел пропорциональности.См. Сопроводительный рисунок в (1, 2).

Предел текучести — это точка на кривой зависимости напряжения от деформации, в которой происходит внезапное увеличение деформации. без соответствующего увеличения стресса. Не все материалы имеют предел текучести. См. Сопроводительный рисунок в (1).

Предел текучести, S _y , это максимальное напряжение, которое может быть приложено без остаточной деформации. образца для испытаний.Это значение напряжения на пределе упругости материалов для который существует предел упругости. Из-за трудности определения предела упругости и поскольку многие материалы не имеют упругой области, предел текучести часто определяется метод смещения, как показано на прилагаемом рисунке в (3). Предел текучести в таком case — значение напряжения на кривой напряжения-деформации, соответствующее определенному количеству постоянных набор или деформация, обычно 0.1 или 0,2% от исходного размера.

Деформация металла пропорциональна приложенным нагрузкам в диапазоне нагрузок.

Поскольку напряжение пропорционально нагрузке, а деформация пропорциональна деформации, это означает, что напряжение пропорционально деформации. Закон Гука утверждает эту пропорциональность.

Константа E — это модуль упругости, модуль Юнга или модуль упругости при растяжении, а также жесткость материала.Модуль Юнга составляет 10 ⁶ фунтов на квадратный дюйм или 10 ³ кг / мм ² . Если материал подчиняется закону Гука, он эластичен. Модуль не зависит от состояния материала. Нормальная сила напрямую зависит от модуля упругости.

Предел пропорциональности

Наибольшее напряжение, при котором материал способен выдерживать приложенную нагрузку без отклонения от пропорциональности напряжения к деформации.Выражается в фунтах на квадратный дюйм (кг / мм ² ).

Максимальное напряжение, которое материал выдерживает при приложении нагрузки. Значение определяется делением нагрузки при разрушении на исходную площадь поперечного сечения.

Точка на кривой «напряжение-деформация», за которой материал необратимо деформируется после снятия нагрузки.

Точка, в которой материал превышает предел упругости и не возвращается к своей исходной форме или длине, если напряжение снимается. Это значение определяется путем оценки диаграммы напряжение-деформация, полученной во время испытания на растяжение.

Отношение поперечной деформации к продольной — это коэффициент Пуассона для данного материала.

Коэффициент Пуассона — это безразмерная постоянная, используемая для анализа напряжений и прогибов таких конструкций, как балки, пластины, оболочки и вращающиеся диски.

При сгибании куска металла одна поверхность материала растягивается при растяжении, а противоположная поверхность сжимается.Отсюда следует, что между двумя поверхностями есть линия или область нулевого напряжения, называемая нейтральной осью. Сделайте следующие предположения в простой теории изгиба:

1. Балка изначально прямая, ненапряженная и симметричная.
2. Материал балки линейно эластичный, однородный и изотропный.
3. Пропорциональный предел не превышен.
4. Модуль Юнга материала одинаков при растяжении и сжатии.
5. Все прогибы небольшие, поэтому плоские поперечные сечения остаются плоскими до и после изгиба.

Используя классические формулы балки и свойства сечения, можно получить следующую взаимосвязь:

Сообщаемый модуль упругости при изгибе обычно является начальным модулем из кривой зависимости напряжения от деформации при растяжении.

Максимальное напряжение возникает на поверхности балки, наиболее удаленной от нейтральной поверхности (оси), и составляет:

Для прямоугольной консольной балки с сосредоточенной нагрузкой на одном конце максимальное поверхностное напряжение определяется по формуле:

Урожайность

Податливость возникает, когда расчетное напряжение превышает предел текучести материала. Расчетное напряжение обычно представляет собой максимальное поверхностное напряжение (простая нагрузка) или напряжение фон Мизеса (сложные условия нагружения). Критерий текучести фон Мизеса утверждает, что текучесть происходит, когда напряжение фон Мизеса превышает предел текучести при растяжении.Часто в результатах анализа напряжений методом конечных элементов используются напряжения фон Мизеса. Стресс фон Мизеса:

где σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ — главные напряжения.

Коэффициент запаса прочности является функцией расчетного напряжения и предела текучести. Следующее уравнение обозначает коэффициент безопасности f _s .

Где Y _S — предел текучести, а D _S — расчетное напряжение.

Дополнительную информацию см. На странице «Существенные условия и ссылки».

Связанный:

• Прочность материалов Методы измерения момента площади для расчета прогиба в балках, технические характеристики и характеристики материалов — черные и цветные, опорные колонны и изгиб, момент инерции, модуль упругости сечения, радиусы уравнения вращения, треугольные, шестигранные сечения Момент инерции, Модуль сечения, радиусы круговорота, уравнения круговой, эксцентрической формы, момент инерции, модуль сечения, радиусы вращения
• Сопротивление материалов Н.М. Беляев Премиум-подписка на 648 страниц, необходимая для просмотра документа / книги
• Прогиб балки и расчет конструкции
• Сечение Момент площади Вычислители инерции
• Допуски, проектные пределы и посадки

© Copyright 2000-2021, Engineers Edge, LLC www.engineeringsedge.com
Все права защищены
Отказ от ответственности | Обратная связь | Реклама | Контакты

Дата / Время:

Beam Strength — обзор

6.3 Изгиб многослойных балок

Рассмотрим проблему изгиба, описываемую уравнением. (6.34). Интегрирование этих уравнений относительно x из x = 0 дает

(6.38) V = V0 − Vp − VRM = M0 + V0x − Mp − MRθ = θ0 + M0Dx + V02Dx2 − θp − θRw = w0 + 1S ( V0x − Mp − MR) −θ0x − M02Dx2 − V06Dx3 + wp + wR

где V0, M0, θ0 и w0 — начальные значения V, M, θ и w, соответствующие сечению x = 0.Эти значения могут быть найдены из граничных условий на концах балки x = 0 и x = l (см. Рис. 6.1). Члены нагрузки с индексом « p » соответствуют распределенным нагрузкам и имеют следующий вид:

(6.39) Vp = ∫0xp¯dx, Mp = ∫0xVpdx, θp = 1D∫0xMpdx, wp = ∫0xθpdx

Для равномерного давления p¯ = p¯0,

(6.40) Vp = p¯0x, Mp = 12p¯0x2, θp = 16Dp¯0x3, wp = 124Dp¯0x4

Члены нагрузки с индексом « R » в формуле. (6.38) соответствуют сосредоточенным силам Rm и Fm, показанным на рис.6.1. Эти члены могут быть записаны с помощью уравнения. (6.39) если представить их в виде p¯ = R¯mδ (x − xm), где R¯m = Rm − Fm, а δ — дельта-функция. Используя правила интегрирования этой функции, мы получаем из уравнения. (6.39)

(6.41) VR = ∑m = 1nVR (m), MR = ∑m = 1nMR (m), θR = ∑m = 1nθR (m), wR = ∑m = 1nwR (m)

где n — количество поперечных сечений балки, в которых действуют силы, и для xm

(6.42) VR (m) = 0, MR (m) = 0, θR (m) = 0, wR (m ) = 0

и для x≥xm

(6.43) VR (m) = R¯m, MR (m) = R¯m (x − xm), θR (m) = R¯m2D (x − xm) 2, wR (m) = R¯m6D (x −xm) 3

Решение, данное уравнением. Уравнение (6.38) универсально и позволяет исследовать как статически детерминированные, так и избыточные пучки с использованием одной и той же процедуры. Это решение может быть применено также к многопозиционным балкам. Вводя силы Fm в качестве опорных реакций в поперечных сечениях опоры x = xm, мы можем найти Fm, используя условия w (x = xm) = 0.

Второй член с S в уравнении. (6.38) для w учитывает деформацию поперечного сдвига.Как видно, учет этой деформации практически не мешает анализу балки. Если деформацией сдвига пренебречь, мы должны взять S → ∞ в уравнении. (6.38) для w . В результате мы приходим к решению, соответствующему классической теории пучков.

Чтобы продемонстрировать применение общего решения, предоставленного уравнением. (6.38) рассмотрим балку, аналогичную балке, поддерживающей пассажирский пол фюзеляжа самолета, показанной на рис. 6.8. Так как поперечное сечение x = 0 зажато, мы должны взять w0 = 0 и θ0 = 0 в уравнении.(6.38). Балка состоит из двух частей, соответствующих 0≤x

Рисунок 6.8. Распределение нормированной поперечной силы V¯ = V / Ql (B), изгибающего момента M¯ = M / Ql2 (C) и прогиба w¯ = Dw / Ql4 (D) вдоль оси x зажатой балка (А).

Vp (1) = — Qx, Mp (1) = — 12Qx2, θp (1) = — Q6Dx3, wp (1) = — Q24Dx4

VR = 0, MR = 0, θR = 0, wR = 0

и решение в уравнении.(6.38) можно записать как

(6.44) V1 = V0 + QxM1 = M0 + V0x + 12Qx2θ1 = M0Dx + V02Dx2 + Q6Dx3w1 = 1S (V0x + 12Qx2) −M02Dx2 − V06Dx3 − Q24Dx4, для которого

Vp (2) = ∫0xp¯dx = −∫0cQdx = −Qc

Mp (2) = ∫0xVpdx = ∫0cVp (1) dx + ∫cxVp (2) dx = −12Qc (2x− в)

θp (2) = 1D∫0xMpdx = 1D (∫0cMp (1) dx + ∫0xMp (2) dx) = — Qc6D (c2 + 3×2−3cx)

wp (2) = ∫0xθpdx = ∫0cθp (1) dx + ∫cxθp (2) dx = −Qc24D (4×3 − c3 + 4xc2−6x2c)

Реакция опоры R (см.рис.6.8) рассматривается как неизвестная сосредоточенная сила. Тогда уравнение. (6.43) дают

VR = R, MR = R (x − c), θR = R2D (x − c) 2, wR = R6D (x − c) 3

Наконец, для второй части балка

(6.45) V2 = V0 + Qc − RM2 = M0 + V0x + 12Qc (2x − c) −R (x − c) θ2 = M0Dx + V02Dx2 + Qc6D (c2 + 3×2−3cx) −R2D (x− c) 2w2 = 1S [V0x + 12Qc (2x − c) −R (x − c)] — M02Dx2 − V06Dx3 − Qc24D (4×3 − c3 + 4xc2−6x2c) + R6D (x − c) 3

Полученное решение , Уравнения. (6.44) и (6.45) включает три неизвестных параметра: V0, M0 и R , которые можно найти из двух условий симметрии, то есть V2 (x = l) = 0, θ2 (x = l) = 0, а условие силы реакции w1 (x = c) = w2 (x = c) = 0.Результат выглядит следующим образом:

(6.46) V0 = R − Qc, M0 = 14Qc2 (1−4ks) −13Rc (1−6ks) R = 12Qc3l (1 + 4ks) −2c4l (1 + 3ks − 3c

, где ks = D / Sc2.

Для численного анализа пренебречь деформацией сдвига, взяв ks = 0. Тогда решение в уравнении (6.46) сводится к

V0 = −Qc (5l − 4c) 2 (4l − 3c) ), M0 = Qc2 (6l − 5c) 12 (4l − 3c), R = Qc (3l − 2c) 2 (4l − 3c)

Зависимости нормированной поперечной силы, изгибающего момента и прогиба балки от осевые координаты представлены на рис. 6.8

Прогибы балок часто используются в качестве функций аппроксимации при решении задач изгиба пластин (см. главу 7: Ламинированные композитные пластины).Решения типовых задач пучка представлены в таблице 6.1.

Таблица 6.1. Решения для балок, нагруженных равномерным давлением для типичных граничных условий

В качестве Например, рассмотрим балку I с простой опорой. нагруженный равномерным давлением q (см. рис.6.9). Балка изготовлена ​​из алюминиевого сплава, у которого E = 70ГПа и G = 26,9ГПа. Внизу, где действует максимальное растягивающее напряжение, балка усилена однонаправленным углеродно-эпоксидным слоем с модулем упругости Ec = 140 ГПа и модулем сдвига Gc = 3,5 ГПа. Размеры балки

Рисунок 6.9. Балка I с простой опорой.

(6,47) l = 1250 мм, δ = 2,5 мм, h0 = 100 мм, b = 50 мм

Координаты слоев показаны на рис. 6.10. Луч состоит из четырех слоев со следующими параметрами:

Рисунок 6.10. Координаты слоев.

(6,48) b1 = 50 мм, t0 = 0, t1 = 2,5 мм, h2 = 2,5 мм, E1 = 140 ГПа, G1 = 3,5 ГПа (слой1) b2 = 50 мм, t2 = 5 мм, h3 = 2,5 мм, E2 = 70 ГПа , G2 = 26,9 ГПа (слой2) b3 = 2,5 мм, t3 = 105 мм, h4 = 100 мм, E3 = 70 ГПа, G3 = 26,9 ГПа (слой 3) b4 = 50 мм, t4 = h = 107,5 мм, h5 = 2,5 мм, E4 = 70 ГПа, G4 = 26,9 ГПа (слой 4)

Сила луча анализируется в соответствии со следующей процедурой.

1.

Определите максимальное усилие сдвига, изгибающий момент и прогиб. Исследуемая балка соответствует случаю 2 в таблице 6.1 из которого следует

(6.49) Vm = V (x = 0) = — 12qblMm = M (x = l2) = — 18qbl2Wm = w (x = l2) = — 5qbl4384D (1 + α), α = 48D5Sl2

2.

Определите коэффициенты жесткости. Сначала вычислите коэффициенты I , определенные уравнением. (6.35), то есть

I0 = ∑i = 14Eibihi = 5,25 · 104ГПа · мм2

I1 = 12∑i = 14Eibihi (ti − 1 + ti) = 1,95 · 106ГПа · мм3

I2 = 13∑i = 14Eibihi (ti − 12 + ti − 1ti + ti2) = 1,66 · 108 ГПа · мм4

Координата нейтральной оси может быть найдена из уравнения.(6.11), что дает

e = I1I0 = 37,14 мм

Жесткость балки на изгиб рассчитывается согласно формуле. (6,13) как

D = I2 − I12I0 = 0,936 · 108 ГПа · мм4

Для балки без композитного слоя D = 0,573 · 108 ГПа · мм4, то есть композитный слой увеличивает жесткость балки на изгиб на 63%. .

Поперечная жесткость на сдвиг балки определяется формулой. (6.35), что дает

S = h3∑i = 14hiGibi = 7,68 · 103 ГПа · мм2

3.

Рассчитайте осевое напряжение, используя уравнения. (6.36) и (6.49), согласно которым

σx (i) = EiMmD (t − e) = — Eiqbl2h8D (t¯ − e¯)

, где t¯ = t / h, e¯ = eh, и ti − 1≤t≤ti. Для балки с размерами согласно Ур. Согласно (6.47) и (6.48) максимальное растягивающее напряжение в композитном слое соответствует t = 0 и равно σx (1) = 542q. Максимальное растягивающее напряжение в металлической части составляет σx (2) (t = t1) = 253q. Максимальное сжимающее напряжение в металлической части составляет σx (4) (t = h) = — 514q.

4.

Рассчитайте напряжение сдвига. Наиболее опасным является напряжение сдвига, которое действует между композитным слоем 1 и металлическим слоем 2 и может вызвать расслоение. Это напряжение определяется формулой. (6.37) что дает

τxz (1,2) = — Vm2DbE1b1h2 (t1−2e) = ql4DE1bh2 (h2−2e)

Для исследуемой балки τxz (1,2) = — 4.2q.

5.

Рассчитайте максимальный прогиб. Прогиб определяется третьим уравнением уравнения. (6.49) в котором α = 0,075. Таким образом, учет деформации поперечного сдвига увеличивает максимальный прогиб на 7.5%.

Как рассчитать прочность деревянных балок

Точные расчеты прочности деревянных балок необходимы в строительстве. Недооценка поставит под угрозу безопасность конструкции, а завышение приведет к неоправданно высоким затратам. Прочность деревянных балок выражается в единицах объема и известна как «модуль упругости сечения». Для расчета модуля сечения требуются дополнительные данные о конструкции и нагрузках. Из соображений безопасности этот процесс не должен выполняться неквалифицированными лицами.

Определите нагрузку на балку. На этом этапе процесса проектирования уже должна быть рассчитана комбинированная временная нагрузка и статическая нагрузка на балку. Статические нагрузки относятся к нагрузкам, которые остаются постоянными на балке (например, кровля и другие постоянные конструкции на верхней части балки), в то время как временные нагрузки относятся к нагрузкам, которые меняются в течение срока службы балки (например, дождь или люди, работающие на балке) крыша).

• Точные расчеты прочности деревянных балок необходимы в строительстве.
  
• На этом этапе процесса проектирования уже должна быть рассчитана комбинированная временная нагрузка и статическая нагрузка на балку.

Убедитесь, что указанная нагрузка учитывает всю нагрузку любого кровельного покрытия или другого компонента, несущего на балку. Например, секция крыши размером 100 квадратных футов и весом 4,54 кг на каждый квадратный фут выдержит 454 кг нагрузки на балку.

Рассчитайте максимальный изгибающий момент (Mmax). Формула для этого: (вес x длина) / 8.Если луч в приведенном выше примере составляет 10 футов, это равняется (1000 x 10) / 8 или 1250 фут-фунтам.

• Убедитесь, что указанная нагрузка учитывает всю нагрузку любого кровельного покрытия или другого компонента, несущего на балку.
  
• Если луч в приведенном выше примере составляет 10 футов, это равняется (1000 x 10) / 8 или 1250 фут-фунтам.

Преобразуйте максимальный изгибающий момент из фут-фунтов в дюйм-фунты, а затем разделите на допустимое напряжение волокна при изгибе древесины — (Mmax ​​x 12) / Fb.Информацию о напряжении волокна можно получить у поставщика балки. В этом примере предположим, что напряжение волокна составляет 1000 фунтов на квадратный дюйм. Это составляет (1250 x 12) / 1000, или 15 дюймов B3; Это модуль сечения.

Определите размер прямоугольной балки подходящего размера. Формула для расчета этого значения: (ширина x глубина ²) / 6. Снова, используя приведенный выше пример, цель — 15 дюймов B3; Если вы попробуете 2 X 4, это будет вычислено как (2 x 4²) / 6 = 32/6 = 5,33 дюйма B3 ;, чего будет недостаточно. Расчет для 6 X 8 приведет к (6 x 8²) / 6 = 64 дюйма B3; Этого было бы более чем достаточно, поэтому другой размер мог бы служить также хорошо, но немного снизил бы расходы.Выберите 3 X 6 (18 дюймов B3;).

Все примеры в этом документе даны в дюймах, для метрических измерений следуйте тем же инструкциям.

Эти расчеты предполагают равномерную нагрузку по длине балки, например, стропила, балки, перекрытия и т. Д.

Калькулятор прочности железобетонной балки

Этот сегмент предлагает калькулятор для расчета прочности прямоугольного сечения железобетонной балки (индивидуально или дважды армированной).

Он также проверяет наличие наименьшего количества стали на наличие трещин наряду со сталью для сбалансированной секции. Вы можете использовать этот калькулятор для определения традиционных единиц FPS / США или международных / метрических единиц.

При создании Калькулятора устойчивости железобетонной балки приняты последующие утверждения ACI (Американского института бетона):

1- Конечная деформация сжатия в бетоне до 0,003.

2- Прочность на разрыв и долговечность бетона не учитываются.

3- Деформация линейно различается по длине поперечного сечения вниз.

4- Напряжение стали линейно отличается в зависимости от текучести и постоянно повышается.

5- Сила сжатия и давление в бетоне определяются из блока эквивалентных напряжений Уитни.

6- Вышеупомянутое изображение описывает, как следует выбирать различные цифры для калькулятора. Эффективная глубина ’задается от центра тяжести растянутой арматуры до гребня балки.Если имеется 2 слоя натяжной арматуры, разделите их на определенное расстояние и разные стандарты в соответствии с ACI 318.