Рассчитать балку на прочность – Полный расчет балки на прочность и жесткость

Содержание

Полный расчет балки на прочность и жесткость

Задача

Произвести полный расчет на прочность и проверить жесткость изгибаемой статически определимой двутавровой балки (рис. 1) при следующих данных: F=40кН, q=30 кН/м, a=0,8 м, l=4м, допустимые нормальные и касательные напряжения: [σ]=160 МПа и [τ]=100 МПа, допустимый прогиб балки [f]=l/400

Рис. 1

Решение

Определение опорных реакций

Подробно, пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь

А также в нашем видеоуроке:

Из Σmв=0

Из ΣmА=0

Построение эпюр Q и М

Примеры построения эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балки

В пролете балки 0 ≤ z2 ≤ l

QII= — RB+ qz2= -52+30∙z2
QII(z=0)= -52 кН
QII(z=l)= -52+30∙4=68 кН

MII=RB∙z2-qz22/2=52z2-30∙z22/2
MII (z=0)= 0
MII (z=l)= -32 кНм

На консоли l ≤ z1≤ (l+a)

QI= — RB+ ql — RA=-52+30∙4-108=-40 кН

MI=RB z1-ql(z1-l/2)+RA(z1-l)=52z1-30∙4(z1-4/2)+108(z1-4)
MI (z=l)= -32 кНм
MI (z=l+a)= 0

По этим данным построены эпюры Q и М.

Подбор сечения двутавровой балки

Так как Мmах = 45 кНм, то

Wx≥Mmax / [σ] = 45∙103 / 160∙106= 0,281 м3= 281 см3.

По сортаменту выбираем двутавр № 24, для которого Wx = 289 см3, Ix= 3460 см4, Smax = 163 см3, h = 24 см, bп = 11,5 см, t = 0,95 см, d = bc = 0,56 см, h0 = h-2t = 22,1 см.

Этот двутавр будет работать при максимальном нормальном напряжении в крайнем волокне опасного сечения.

σmax = Mmax / Wx = 45∙103 / 289∙10-6= 156∙106 Па = 156 МПа

Проверка сечения балки по касательным напряжениям

Так как Qmax = 68 кН, то

Построение эпюр нормальных σ и касательных τ напряжений в неблагоприятном сечении балки:

В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение над левой опорой, в котором:

М = -32 кНм и Q = 68 кН.

Значение напряжений в различных точках по высоте двутавра сведены в таблицу 1

Таблица 1

Результаты расчета в примере

Проверка прочности балки по главным напряжениям

Наиболее опасной точкой в неблагоприятном сечении является точка 3. В этой точке σ1=118 МПа и σ3= -16 МПа. Проверяем прочность в этой точке по третьей гипотезе прочности согласно неравенству σ1 — σ3≤ [σ].

Так как 118 — ( -16) = 134 < 160, то выбранное сечение удовлетворяет условию прочности и по главным напряжениям.

Расчет перемещений сечений (прогибов балки)

Универсальные уравнения МНП для сечения z:

Опорные условия:

1) при z=0: y(z)=0, следовательно, y0=0

2) при z=l: y(z)=0 находим θ0

откуда θ0= -8,48∙10-3 радиан.

Прогиб в пролете при z=l/2=4/2=2 м.

Аналогично определяется прогиб на конце консоли при z = l + a =4+0,8 = 4,8 м.

Проверка жесткости балки

— пролетной части:

yc=0,98 см < 1/400 = 400/400 = 1 см

— консольной части:

yD=0,33 см < 2a/400 = 2∙80/400 = 0,4 см.

Следовательно, принятая двутавровая балка удовлетворяет требуемому условию жесткости.

Другие примеры решения задач >

isopromat.ru

Расчет балок на прочность.

Расчет по допускаемым напряжениям
на прочность при изгибе.

– при
симметричном сечении

Проверка прочности по предельным состояниям.

– максимальный изгибающий момент от
расчетных нагрузок.

Ррн×n

n
– коэффициент перегрузки.

– нормативная нагрузка.

Рр
– расчетная нагрузка.

– коэффициент условия работы.

Если материал работает неодинаково на
растяжение и сжатие, то прочность
проверяется по формулам:

где Rp
и Rсж
– расчетное
сопротивление на растяжение и сжатие

Расчет по несущей способности и учетом пластической деформации.

В предыдущих методах расчета прочность
проверяется по максимальны напряжениям
в верхних и нижних волокнах балки. При
этом средние волокна оказываются
недогруженными.

Оказывается, если нагрузку
увеличивать дальше, то в крайних волокнах
напряжение дойдет до предела текучести
σт( в пластичных
материалах), и до предела прочности σnч( в хрупких материалах).
При дальнейшем увеличении нагрузки
хрупкие материалы разрушатся, а в
пластичных материалах напряжения в
крайних волокнах далее не возрастают,
а растут во внутренних волокнах. (см.
рис.)

Несущая способность балки
исчерпывается, когда по всему сечению
напряжения достигнут σт.

W
пл=
S1+S2

W
пл
– пластический момент сопротивления

— статический момент растянутой и
сжатой зон относительно нейтральной
оси.

Мпред
= σт
× W
пл

где
– коэффициент надежности по материалу.

где R
— расчетное сопротивление.

— проверка
прочности.

Для прямоугольного сечения:

W пл=S1+S2=bh2
/4

W
пл=bh2
/4 — для прямоугольного
сечения.

W
=bh2
/6 – обычный момент
сопротивления.

W
пл=1,5W

Примечание: для прокатных
профилей (швеллер и двутавр) пластический
момент Wnл=(1.1÷1,17)×W

Касательные
напряжения при изгибе балки прямоугольного
сечения. Формула Журав
cкого.

Так как момент в сечении 2
больше момента в сечении 1, то напряжение
σ21=>N2>N1.

В этом случае элемент abcd
должен переместиться влево. Этому
перемещению препятствуют касательные
напряжения τ
на площадке cd.

— уравнение равновесия,
после преобразования которого получается
формула для определения τ:

— Формула Журавского

где Q
— поперечная сила,

Sотс
— статический момент
отсеченной части относительно
нейтральной оси,

J-момент
инерции всего сечения относительно
нейтральной оси, b
— ширина балки на уровне y.

Распределение
касательных напряжений в балках
прямоугольного, круглого и двутаврового
сечений.

1.
Прямоугольное сечение
:

— формула для сечения
на расстоянии у0
от нейтральной
оси.

2.Круглое сечение.


формула для сечения на расстоянииу0
от нейтральной
оси.

— формула для сечения
под углом α.

3. Двутавровое сечение.

Для стенки двутавра

касательные напряжения

вычисляют по формуле:

Для полки: условно вертикальные
касательные напряжения определяют
по формуле:

В
полках двутавров возникают касательные
напряжения, направленные горизонтально:

На рисунке
показан общий характер распределения
τ
в сечении двутавра.

Главные напряжения при изгибе.
Проверка прочности балок.

Выделим из балки участок,
на который действует максимально
поперечная сила Qmaxи изгибающий момент
Mmax.

Наиболее опасными точками
являются сечение A
и точка Б.

Прочность проверяется по напряжениям
в этих точках.

На практике обычно
ограничиваются проверкой сечения A:

сж]

Примечание: при расчете
по предельным состояниям вместо
сж]
и [σ
р]
в формулы
ставятся
Rcж
и
Rp

расчетные сопротивления материала при
сжатии и растяжении.

Если же балка короткая, то
проверяют точку Б:

где
Rсрез
– расчетное
сопротивление материала на срез.

В точке D
на элемент действует нормальные и
касательные напряжения, поэтому в
некоторых случаях их совместное действие
вызывает опасность для прочности. В
этом случае элемент D
проверяют на прочность используя главные
напряжения.

В нашем случае: ,
следовательно:

Используя σ
1
и
σ2
по теории прочности проверяют элемент
D.

По теории наибольших
касательных напряжений имеем: σ
1

σ2≤R

Примечание: точку D
следует брать по длине балки там, где
одновременно действуют большие M
и Q.

По высоте балки выбираем
такое место, где одновременно действуют
значения σ
и
τ.

Из эпюр
видно:

1. В балках прямоугольного
и круглого сечения отсутствуют точки,
в которых одновременно действуют большие
σ
и τ.
Поэтому в таких балках проверка точки
D
не делается.

2. В балках двутаврового
сечения на границе пересечения полки
со стенкой (т. А) одновременно действуют
большие σ
и τ.
Поэтому они проверяются на прочность
в этой точке.

Примечание:

  1. В прокатных двутаврах и
    швеллерах в зоне пересечения полки со
    стенкой сделаны плавные переходы
    (закругления). Стенка и полка подобраны
    так, что точка A
    оказывается в благоприятных условиях
    работы и проверка прочности не требуется.

  2. В составных (сварных)
    двутавровых балках проверка точки А
    необходима.

studfiles.net

Расчёт балок на прочность при изгибе

Задача 1

В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М=28 кНм, Q=19 кН.

Требуется:

а) определить нормальное и касательное напряжения в заданной точке К, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 11 см,

б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.

Решение

а) Для определения σ(К), τ(К) и maxσ,maxτ потребуется знать величины осевого момента инерции всего сечения IН.О., осевого момента сопротивления WН.О., статического момента отсечённой части  и статического момента половины сечения Smax:

Тогда:

б) Проверка прочности:

по условию прочности нормальных напряжений:

по условию прочности касательных напряжений:

Задача 2

В некотором сечении балки М=10кНм, Q=40кН. Поперечное сечение – треугольное. Найти нормальное и касательное напряжения в точке, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 15 см.

где 

Тогда

где:

Тогда

Задача 3

Подобрать сечение деревянной балки в двух вариантах: круглое и прямоугольное (при h/b=2), если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, и сравнить их по расходу материала.

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем уравнения статики:

(1)          ∑М(В) = F·8 – М А·6 + (q·6)·3 =0,

откуда 

(2)          ∑М(А) = F·2 – М + В·6 — (q·6)·3 =0,

откуда 

Iучасток   

М(С) = М(z1) +F·z1=0,

ММ(z1) = —F·z1= — 30 ·z1 —

– уравнение прямой.

При z1 = 0:      М = 0,

z1 = 2:      М =- 60 кНм.

у= — F — Q(z1) = 0,

Q(z1) = — F = -30 кН – постоянная функция.

II участок     

откуда

— уравнение параболы.

При z2=0:     М = 0,

z2=3м:  М = 30 · 3 – 5 · 32 = 90 — 45 = 45кНм,

z2=6м:  М = 30 · 6 – 5 · 62 = 180 — 180 = 0.

у= Q(z2) — q·z2 + B= 0,

Q(z2) = q·z2 — B= 10·z2 – 30 – уравнение прямой,

при  z2 = 0:     Q = -30,

        z2 = 6м:     Q = 10·6 – 30 = 30.

Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:

из условиянаходим :

И тогда

Заметим, что скачок в эп.М расположен там, где приложен сосредоточенный момент М = 60кНм и равен этому моменту, а скачок в эп.Q – под сосредоточенной силой А = 60 кН.

Подбор сечения балок производится из условия прочности по нормальным напряжениям, куда следует подставлять наибольший по абсолютной величине изгибающий момент из эпюры М.

В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм

откуда: :

а) сечение круглой формы d=?

б) сечение прямоугольной формы при h/b = 2:

тогда

Размеры сечения, определенные из условия прочности по нормальным напряжениям, должны удовлетворять также условию прочности по касательным напряжениям:

Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения:

для круглого сечения 

для прямоугольного сечения 

Воспользуемся этими формулами. Тогда

— для балки круглого сечения при :

— для балки прямоугольного сечения

Чтобы выяснить, какое сечение требует меньшего расхода материала, достаточно сравнить величины площадей поперечных сечений:

Апрямоугольного = 865,3см2 < Акруглого = 1218,6см2, следовательно, балка прямоугольного сечения в этом смысле выгоднее, чем круглого.

 

Задача 4

Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа. 

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем два уравнения статики для их определения:

(1)              ∑М(А) = – М1 F  ·2 — (q·8)·4 + М2 + В·6 =0,

откуда 

(2)      ∑М(В) = – М1А · 6 + F · 4 + (q·8)·2 + М2 =0,

откуда 

Проверка:

у = АFq · 8 + В = 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0.

М(С) = М(z1) — М1=0,

М(z1) = М1= 40 кНм – постоянная функция.   

у= — Q(z1) = 0,

Q(z1) = 0.

II участок 

парабола.

Приz2=0:       М = 40 кНм,

z2=1м:    М = 40 + 104 – 10=134кНм,

z2=2м:    М = 40+ 104 · 2 – 10 · 22 = 208 кНм.

у=А q·z2 — Q(z2) = 0,

Q(z2) =Аq·z2 = 104 –  20·z2  – уравнение прямой,

при  z2 = 0:       Q = 104кН,

        z2 = 6м:    Q = 104 – 40 = 64кН.

III участок

— парабола.

Приz3=0:       М = 24+40=-16 кНм,

z3=2м:    М = 24 + 136·2 — 10 (2+2)2 = 24 + 272 – 160 = 136кНм,

z3=4м:    М = 24 + 136·4 – 10 (2+4)2 = 24 + 544 – 360 = 208 кНм.

у=В q(2+z3 ) + Q(z3) = 0,

Q(z3) =- В + q(2+z3 ) = -136 + 20 (2+z3 )   – уравнение прямой,

при  z3 = 0:        Q = -136 + 40 = — 94кН,

        z3 = 4м:     Q = — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН.

IV участок

парабола.

z4=0:       М = 0кНм,

z4=1м:    М = – 10кНм,

z4=2м:    М = — 40кНм.

у=- q·z4 + Q(z4) = 0,

Q(z4) =q·z4 = 20·z4  – уравнение прямой.

Приz4 = 0:       Q = 0,

        z4 = 2м:     Q = 40кН.

Проверяем скачки в эпюрах:

а) В эпюре М скачок на правой опоре величиной 24кНм (от 16 до 40) равен сосредоточенному моменту М2=24, приложенному в этом месте.

б) В эпюре Q три скачка:

первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А=104кН,

второй – под силой F=80кН и равен ей (64+16=80кН),

третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН)

Наконец, проектируем двутавровое сечение.

Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям :

 

В сортаменте двутавровых профилей профиля с точно таким моментом сопротивления Wх нет. Есть № 40а с Wх=1190 см3 и № 45а с Wх=1430 см3

Попробуем  меньший из них. Если принять двутавр № 40а, у которого Wх=1190 см3 , то наибольшее напряжение в опасном сечении будет:

и перенапряжение составитчто превышает рекомендуемую величину отклонения, равную 5%.

Поэтому приходится принимать ближайший больший размер двутавра, а именно №45а, у которого Wх=1430 см3. В этом случае балка будет работать с недонапряжением:

что меньше [σ]=160МПа на  

Итак, принимается двутавр №45а, у которого: Wх=1430 см3, Iх=32240см4, Iх: Sх=38,6см, d=11,5мм.

Далее необходима проверка прочности по касательным напряжениям с помощью условия прочности :

 

Это условие прочности выполняется, даже с избыточным запасом.

 

Задача 5

Подобрать сечение балки, рассмотрев шесть вариантов форм и три вида материалов (древесина, чугун, сталь).

Решение 

1.Определение опорных реакций 

М(А) = F · 2 + М1 М2q·6·7 + В · 8 =0,∑М(В) = F · 10 + М1М2А · 8 + q·6·1 =0,Проверка:

у = – 20 – 40 ·6 +50+210 = — 260 + 260 ≡ 0.

2.Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

I участок

М(С) = М(z1) + F·z1=0,

М(z1) = — F·z1= -20·z1.

При z1=0:     М = 0,

        z1=2м:  М = – 40кНм,

у= — FQ(z1) = 0,

Q(z1) = — 20кН.

II участок

        z2=0:      М = — 20 – 40 = -60 кНм,

z2=4м:   М = 200 — 20 – 120 = 200 — 140 = 60кНм.

у=- F + А Q(z2) = 0,

Q =- F + А= -20+50=30кН.

III участок

парабола.

Приz3=0:      М = — 20·4= — 80 кНм,

z3=2м:   М = 210·2 — 20·(2+2)2 = 420 – 320 = 100кНм,

z3=4м:   М = 210·4 – 20 · (2+4)2 = 840 – 720 = 120кНм.

у= Q(z3) + В q·(2+z3) = 0,

Q(z3) = — В + q·(2+z3) = — 210 + 40·(2+z3) – уравнение прямой.

Приz3 = 0:       Q = -130кН,

        z3 = 4м:     Q = 30кН.

Q(z0) = — 210 + 40·(2+z0) = 0,

— 210 + 80 + 40·z0 = 0,

40·z0 = 130,

z0 =3,25м,

IV участок

парабола.

Приz4=0:      М = 0 кНм,

z4=1м:   М = – 20кНм,

z4=2м:   М = — 80кНм.

у=- q·z4 + Q(z4) = 0,

Q(z4) =q·z4 = 40·z4  – уравнение прямой,

        z4 = 0:        Q = 0,

        z4 = 2м:     Q = 80кН.

3. Подбор сечений (опасное сечение по σ: |maxМ|=131,25кНм,

опасное сечение по τ: |maxQ|=130кН).

Вариант 1. Деревянное прямоугольное ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)

Принимаем: В=0,24м,

                         Н=0,48м.

Проверяем по τ:

Вариант 2. Деревянное круглое

Принимаем d=0,45м,

Проверяем по τ:

Вариант 3. Чугун : ([σР]=30МПа, [σс]=120МПа, [τ]=15МПа)

Принимаем b=0,19м, тогда h=0,38м, d=0,076м.

Проверка по τ:

b(у)= b — d= 0,19 — 0,076 = 0,114м

Вариант 4. Сталь, двутавр : ([σ]=160МПа, [τ]=80МПа).

по сортаменту Wх=953см3. Это №40: Ix=19062см4, Sх=545см3, d=0,83см.

Проверка по τ:

Вариант 5. Сталь, круглая труба

Принимаем D=0,22м   →  d = 0,6·D =0,132м.

Проверка по τ:

Вариант 6. Сталь, прямоугольная труба  

b1= b — 2t = b — 2·0,1b = 0,8b,

h1= h — 2= 0,8h,

Принимаем b=0,13м, h=0,26м.

Проверка по τ:

Кстати: какое из сечений стальной балки выгодней по расходу материала?

Двутавр —  А = 72,6см2 = 72,6·10-4 = 0,00726м2,

круглая труба

прямоугольная труба — 

Самый лёгкий: двутавр → самый выгодный с точки зрения изгиба.

 

prosopromat.ru

Расчет балки на прочность: онлайн-калькуляторы, пример, последовательность действий

Одной из важнейших задач для строителя считается расчет балки. Сегодня придумано немало средств, позволяющих решать данную задачу максимально быстро и точно. Наиболее удобными считаются онлайн-калькуляторы, которые за несколько секунд предоставляют необходимое решение. В данной статье мы разберем расчет балки на изгиб, прогиб, прочность с применением калькулятора.

Как рассчитывать балки на прочность

Расчет балки на прогиб, калькулятор для которого можно найти в интернете, можно произвести следующими методами:

  • Рассчитать максимальную нагрузку, которую способна выдержать заданная схема;
  • Подобрать сечение;
  • Проверочный перерасчет по максимальным значениям напряжения.

Для наглядности следует рассмотреть общий принцип подбора сечения двутавра, расположенной на двух опорах. Загрузка происходит равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.

Последовательность действий

Для начала расчета балки на прогиб калькулятором необходимо определить точку, в которой будет максимальное значение момента. Все будет зависеть от того, какая схема представлена в задаче. Наиболее популярны следующие схемы:

  1. Заделка — шарнир;
  2. Заделка — заделка;
  3. Шарнир — шарнир;
  4. Заделка — свободный конец.

Остальные варианты являются в той или иной степени разновидностями вышеуказанных схем.

Как только вы нашли изгибающий момент, по таблице ищется момент сопротивления Wx указанного сечения по формулам, которые указываются в соответствующих таблицах. При делении максимального момента изгиба на момент сечения можно отыскать максимальное значение напряжения, которое необходимо сравнить с напряжением, которое максимально выдерживает определяемая конструкция.

Сравнение полученных напряжений с напряжением материалов

Онлайн-расчет балки на прочность сопровождается сравнением полученного значения напряжения в сечении с максимально возможным. Здесь необходимо смотреть на таблицу материалов, из которых производятся такие конструкции.

Если материал пластичен, то максимальное напряжение схемы будет равно пределу текучести материала. К таковым относят алюминий, сталь, иные металлы. Хрупкие же материалы по типу чугуна имеют максимальное значение напряжения, равное пределу прочности. Для каждого конкретного материала имеется свое максимальное значение, которое можно найти в таблицах в специальной литературе.

Пример расчета

Предположим, что нам надо проверить на прочность двутавр номер 10. Его длина 2 метра, он жестко заделан в стену, человек массой 90 килограммов решил повиснуть на двутавре. Порядок решения здесь следующий:

  • Выбираем расчетную схему, в этом случае заделка — свободный конец;
  • Максимальное значение находится в заделке, двутавр имеет на всей длине одинаковое сечение. Тогда P = m*g = 90*10=0,9 кН, M = P*I= 1,8 кН*м;
  • Находим по таблице сортаментов для данного двутавра момент сопротивления;
  • Затем находим максимальные напряжения в балке б = M/W = 1,8 / 0. 0000397 = 45,34 Мпа;
  • Сравниваем с максимально допустимым напряжением, равным пределу текучести стали, из которой сделан двутавр. Так как 45,34 Мпа меньше 245 Мпа, то такой двутавр выдержит человека массой 90 килограммов.

Можно также решить и вторую задачу, связанной с нахождением максимальной массы человека, которую может выдержать данная балка. Здесь приравнивают значения предела текучести и напряжения в сечении балки, найти максимальный момент и затем наибольшую массу. Для более точного результата следует учитывать различные коэффициенты и брать двойной запас прочности.

Онлайн-калькуляторы

Расчет прогиба балки онлайн-калькулятором достаточно быстрый и точный. Здесь выбирается одна из схем, затем набираются соответствующие числовые значения и происходит расчет по всем необходимым параметрам.

Необходимо указать значения моментов, изгибающих сил, длин участков. Итогом станут эпюры моментов и сил. Решение данными программами достаточно точное и позволяет оперативно посчитать силы и моменты для балок на прочность, изгибы и прогибы.

Преимуществом подобных средств является большой набор схем для расчета, быстрота, точность, простота применения. Однако для уточнения полученного результата надо произвести самостоятельное письменное решение.

В заключение можно сказать следующее: расчет балки на прочность можно произвести как вручную, так и с применением онлайн-калькуляторов. Их можно комбинировать, использовав один из них для проверки другого метода. Рассчитать балку может понадобиться в разных случаях, особенно актуально это становится при строительстве. Только правильно рассчитанная балка позволит построить или реконструировать сооружение с тем условием, что оно прослужит длительное время.

Также данный расчет полезен для всех тех, кто учится или имеет дело с техническими науками, ибо прикладная механика является неотъемлемой частью программы любого технического вуза. Удачных расчетов на прочность!


tokar.guru

Основные формулы для расчета прогиба балки

 

Балка является основным элементом несущей конструкции сооружения. При строительстве важно провести расчет прогиба балки. В реальном строительстве на данный элемент действует сила ветра, нагружение и вибрации. Однако при выполнении расчетов принято принимать во внимание только поперечную нагрузку или проведенную нагрузку, которая эквивалентна поперечной.

Балки в доме

При расчете балка воспринимается как жесткозакрепленный стержень, который устанавливается на двух опорах. Если она устанавливается на трех и более опорах, расчет ее прогиба является более сложным, и провести его самостоятельно практически невозможно. Основное нагружение рассчитывается как сумма сил, которые действуют в направлении перпендикулярного сечения конструкции. Расчетная схема требуется для определения максимальной деформации, которая не должна быть выше предельных значений. Это позволит определить оптимальный материал необходимого размера, сечения, гибкости и других показателей.

Виды балок

Для строительства различных сооружений применяются балки из прочных и долговечных материалов. Такие конструкции могут отличаться по длине, форме и сечению. Чаще всего используются деревянные и металлические конструкции. Для расчетной схемы прогиба большое значение имеет материал элемента. Особенность расчета прогиба балки в данном случае будет зависеть от однородности и структуры ее материала.

Деревянные

Для постройки частных домов, дач и другого индивидуального строительства чаще всего используются деревянные балки. Деревянные конструкции, работающие на изгиб, могут использоваться для потолочных и напольных перекрытий.

Деревянные перекрытия

Для расчета максимального прогиба следует учитывать:

  1. Материал. Различные породы дерева обладают разным показателем прочности, твердости и гибкости.
  2. Форма поперечного сечения и другие геометрические характеристики.
  3. Различные виды нагрузки на материал.

Допустимый прогиб балки учитывает максимальный реальный прогиб, а также возможные дополнительные эксплуатационные нагрузки.

Конструкции из древесины хвойных пород

Стальные

Металлические балки отличаются сложным или даже составным сечением и чаще всего изготавливаются из нескольких видов металла. При расчете таких конструкций требуется учитывать не только их жесткость, но и прочность соединений.

Стальные перекрытия

Металлические конструкции изготавливаются путем соединения нескольких видов металлопроката, используя при этом такие виды соединений:

  • электросварка;
  • заклепки;
  • болты, винты и другие виды резьбовых соединений.

Стальные балки чаще всего применяются для многоэтажных домов и других видов строительства, где требуется высокая прочность конструкции. В данном случае при использовании качественных соединений гарантируется равномерно распределенная нагрузка на балку.

Для проведения расчета балки на прогиб может помочь видео: 

Прочность и жесткость балки

Чтобы обеспечить прочность, долговечность и безопасность конструкции, необходимо выполнять вычисление величины прогиба балок еще на этапе проектирования сооружения. Поэтому крайне важно знать максимальный прогиб балки, формула которого поможет составить заключение о вероятности применения определенной строительной конструкции.

Использование расчетной схемы жесткости позволяет определить максимальные изменения геометрия детали. Расчет конструкции по опытным формулам не всегда эффективен. Рекомендуется использовать дополнительные коэффициенты, позволяющие добавить необходимый запас прочности. Не оставлять дополнительный запас прочности – одна из основных ошибок строительства, которая приводит к невозможности эксплуатации здания или даже тяжелым последствиям.

Существует два основных метода расчета прочности и жесткости:

  1. Простой. При использовании данного метода применяется увеличительный коэффициент.
  2. Точный. Данный метод включает в себя использование не только коэффициентов для запаса прочности, но и дополнительные вычисления пограничного состояния.

Последний метод является наиболее точным и достоверным, ведь именно он помогает определить, какую именно нагрузку сможет выдержать балка.

Расчет балок на прогиб

Расчет на жесткость

Для расчета прочности балки на изгиб применяется формула:

Где:

M – максимальный момент, который возникает в балке;

Wn,min – момент сопротивления сечения, который является табличной величиной или определяется отдельно для каждого вида профиля.

Ry является расчетным сопротивлением стали при изгибе. Зависит от вида стали.

γc представляет собой коэффициент условий работы, который является табличной величиной.

Расчет жесткости или величины прогиба балки является достаточно простым, поэтому расчеты может выполнить даже неопытный строитель. Однако для точного определения максимального прогиба необходимо выполнить следующие действия:

  1. Составление расчетной схемы объекта.
  2. Расчет размеров балки и ее сечения.
  3. Вычисление максимальной нагрузки, которая воздействует на балку.
  4. Определение точки приложения максимальной нагрузки.
  5. Дополнительно балка может быть проверена на прочность по максимальному изгибающему моменту.
  6. Вычисление значения жесткости или максимально прогиба балки.

Чтобы составить расчетную схему, потребуются такие данные:

  • размеры балки, длину консолей и пролет между ними;
  • размер и форму поперечного сечения;
  • особенности нагрузки на конструкцию и точно ее приложения;
  • материал и его свойства.

Если производится расчет двухопорной балки, то одна опора считается жесткой, а вторая – шарнирной.

Расчет моментов инерции и сопротивления сечения

Для выполнения расчетов жесткости потребуется значение момент инерции сечения (J) и момента сопротивления (W). Для расчета момента сопротивления сечения лучше всего воспользоваться формулой:

Важной характеристикой при определении момента инерции и сопротивления сечения является ориентация сечения в плоскости разреза. При увеличении момента инерции увеличивается и показатель жесткости.

Определение максимальной нагрузки и прогиба

Для точного определения прогиба балки, лучше всего применять данную формулу:

Где:

q является равномерно-распределенной нагрузкой;

E – модуль упругости, который является табличной величиной;

l – длина;

I – момент инерции сечения.

Чтобы рассчитать максимальную нагрузку, следует учитывать статические и периодические нагрузки. К примеру, если речь идет о двухэтажном сооружении, то на деревянную балку будет постоянно действовать нагрузка от ее веса, техники, людей.

Особенности расчета на прогиб

Расчет на прогиб проводится обязательно для любых перекрытий. Крайне важен точный расчет данного показателя при значительных внешних нагрузках. Сложные формулы в данном случае использовать необязательно. Если использовать соответствующие коэффициенты, то вычисления можно свести к простым схемам:

  1. Стержень, который опирается на одну жесткую и одну шарнирную опору, и воспринимает сосредоточенную нагрузку.
  2. Стержень, который опирается на жесткую и шарнирную опору, и при этом на него действует распределенное нагружение.
  3. Варианты нагружения консольного стержня, который закреплен жестко.
  4. Действие на конструкцию сложной нагрузки.

Применение этого метода вычисления прогиба позволяет не учитывать материал. Поэтому на расчеты не влияют значения его основных характеристик.

Пример подсчета прогиба

Чтобы понять процесс расчета жесткости балки и ее максимального прогиба, можно использовать простой пример проведения расчетов. Данный расчет проводится для балки с такими характеристиками:

  • материал изготовления – древесина;
  • плотность составляет 600 кг/м3;
  • длина составляет 4 м;
  • сечение материала составляет 150*200 мм;
  • масса перекрывающих элементов составляет 60 кг/м²;
  • максимальная нагрузка конструкции составляет 249 кг/м;
  • упругость материала составляет 100 000 кгс/ м²;
  • J равно 10 кг*м².

Для вычисления максимальной допустимой нагрузки учитывается вес балки, перекрытий и опор. Рекомендуется также учесть вес мебели, приборов, отделки, людей и других тяжелых вещей, который также будут оказывать воздействие на конструкцию. Для расчета потребуются такие данные:

  • вес одного метра балки;
  • вес м2 перекрытия;
  • расстояние, которое оставляется между балками;
  • временная нагрузка;
  • нагрузка от перегородок на перекрытие.

Чтобы упросить расчет данного примера, можно принять массу перекрытия за 60 кг/м², нагрузку на каждое перекрытие за 250 кг/м², нагрузки на перегородки 75 кг/м², а вес метра балки равным 18 кг. При расстоянии между балками в 60 см, коэффициент k будет равен 0,6.

Если подставить все эти значения в формулу, то получится:

q = ( 60 + 250 + 75 ) * 0,6 + 18 = 249 кг/м.

Для расчета изгибающего момента следует воспользоваться формулой f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦].

Подставив в нее данные, получается f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 44) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см.

Именно это и является показателем прогиба при воздействии на балку максимальной нагрузки. Данные расчеты показывают, что при действии на нее максимальной нагрузки, она прогнется на 0,83 см. Если данный показатель меньше 1, то ее использование при указанных нагрузках допускается.

Использование таких вычислений является универсальным способом вычисления жесткости конструкции и величины их прогибания. Самостоятельно вычислить данные величины достаточно легко. Достаточно знать необходимые формулы, а также высчитать величины. Некоторые данные необходимо взять в таблице. При проведении вычислений крайне важно уделять внимание единицам измерения. Если в формуле величина стоит в метрах, то ее нужно перевести в такой вид. Такие простые ошибки могут сделать расчеты бесполезными. Для вычисления жесткости и максимального прогиба балки достаточно знать основные характеристики и размеры материала. Эти данные следует подставить в несколько простых формул.

 

 

viascio.ru

Расчеты деревянных балок перекрытия — онлайн расчет по формуле

В любом здании имеются перекрытия. В собственных домах при создании опорной части, применяются деревянные балки, которые обладают рядом потребительских свойств:

  • доступность на рынке;
  • лёгкость обработки;
  • цена значительно ниже, нежели на стальные или бетонные конструкции;
  • высокая скорость и удобство монтажа.

Но, как и всякий строительный материал, деревянные балки имеют определённые прочностные характеристики исходя из которых производится расчёт на прочность, определяются необходимые размеры силовых изделий.

Основные виды балок

При бытовом строительстве используются несколько типов монтажа опорных элементов перекрытий:

  1. Простая балка, — представляет собой перекладину, имеющую две опорные точки на своих концах. Расстояние между опорами называется пролёт. Соответственно, при наличии нескольких точек крепления, бывают двух–, трёх–, и более пролётные неразрезные балки. В конструкции частного дома в этом качестве выступают промежуточные стеновые перегородки.
  2. Консоль, — брус жёстко закреплён одним концом в стене или имеет один свободный конец, с длиной более чем двукратный поперечный размер. Наличие двух свободных свисающих частей говорит о том, что наличествует двухконсольная конструкция. На практике – это горизонтальные балки, входящие в состав крыши и образующие навес.
  3. Заделанное изделие, — оба окончания жёстко вмонтированы в стену. Такая схема встречается при возведении вышерасположенных перегородок и стен, при этом балка получается вмонтированной в вертикальную конструкцию.

Нагрузки на горизонтальное перекрытие

Для расчёта на прочность необходимо знать нагрузки, возникающие в процессе эксплуатации перекрытия. Самые значительные величины возникают на первом этаже жилого здания. Меньшие значения получаются для мансардных конструкций и чердачных помещений. Напряжения в балке возникают:

  • от внутренних строительных конструкций, например, перегородок, лестниц;
  • от веса бытовой техники, мебели;
  • от массы людей.

Статическую нагрузку определяет два основных вида напряжения, – прогиб по всей длине и изгиб в месте опоры.

  1. Прогиб, – получается от веса вышерасположенных элементов. Максимальная стрелка отклонения получается в точке местонахождения объекта с самой большой массой и (или) посередине между опорами.
  2. Изгиб или излом, – это разрушение перекладины в точке заделки. Возникает от вертикальной нагрузки, а сама балка, воспринимающая это напряжение, выступает в роли рычага. С определённой величины усилия начинается критический изгиб, приводящий к разрушению поперечной опоры.

Для уменьшения влияния на прочность деревянного поперечного изделия от внутренних конструкций, их стараются располагать в местах нахождения нижних опор. Бытовую технику и мебель по возможности, целесообразно размещать вдоль стен или около разгрузочных конструкций.

Существует достаточно много типов деревянных балок, но наиболее доступны для широкой массы населения – это изделия прямоугольного или овального сечения. В последнем случае, балка представляет собой оцилиндрованное бревно, обрезанное с двух противоположных сторон.

Как рассчитать нагрузку на балку перекрытия

Общая нагрузка на элементы перекрытия складывается из собственного веса конструкции, веса от внутренних строительных изделий, опирающихся на балки, а также массы людей, мебели, бытовой техники и прочей хозяйственной утвари.

Полный расчёт, учитывающий все технические нюансы, достаточно сложен и выполняется специалистами при проектировании жилого дома. Для граждан, возводящих жильё по принципу «самостроя», более удобна упрощённая схема, в которую заложены требования СНиП, оговаривающие условия и технические характеристики деревянных материалов:

  • длина опорной части балки, контактирующей с фундаментом или стеной, не должна быть меньше 12 см;
  • рекомендуемое соотношение сторон прямоугольника 5/7, — ширина меньше высоты;
  • допустимый прогиб для чердачного помещения составляет не более 1/200, межэтажные перекрытия – 1/350.

По СНиП 2.01.07–85 эксплуатационная нагрузка на чердачную конструкцию с лёгким утеплителем из минеральной ваты составит:

G = Q + Gn * k, где:

  • k – коэффициент запаса прочности, обычно для строений малой этажности принимают значение 1,3;
  • Gn – норматив для подобного чердака, равный 70 кг/м²; при интенсивном использовании чердачного пространства значение составит не менее 150 кг/м²;
  • Q – нагрузка от самого чердачного перекрытия, равная 50 кг/м².

Пример расчёта

Дано:

  • чердак в жилом доме, использующийся для хранения различного хозяйственного инвентаря;
  • для утепления применён керамзит с лёгкой бетонной стяжкой.

Общая нагрузка составит G = 50 кг/м² + 150 кг/м² * 1,3 = 245 кг/м².

Исходя из практики, средние усилия на мансардном этаже не превышают значений в 300–350 кг/м². 

Для межэтажных перекрытий величины находятся в диапазоне 400–450 кг/м², причём большее значение следует принимать при расчётах первого этажа.

Совет. При выполнении перекрытий целесообразно принимать значения нагрузок, превышающие расчётные на 30–50%. Это повысит надёжность конструкции в целом и увеличит общий срок эксплуатации.

Как рассчитать необходимое количество балок

Число поперечных опор определяется нагрузками, приходящиеся на них, и максимальным прогибом чернового покрытия, выполненного, например, из доски или фанеры. На их жёсткость влияет собственная толщина изделий и шаг между точками опоры, то есть, расстояние от соседних балок.

Для помещения с малой эксплуатацией (чердак), допускается использовать доску толщиной не менее 25 мм, при шаге между опорами 0,6–0,75 метра. Межэтажное перекрытие жилой зоны целесообразно осуществлять половой доской с размером не менее 40 мм и расстоянием по ближайшим точкам крепления не более 1 метра.

Пример расчёта

Чердачное пространство. Длина между стенами составляет 5 метров. Слабая эксплуатационная нагрузка, – хранение всякой утвари. Настил осуществляется из обрезной сухой доски хвойных пород толщиной 25 мм. Принимая максимальный шаг в 0,75 метра, количество опорных точек должно составить:

5 м / 0,75 м = 6,67 шт., округляя до целого числа в большую сторону – 7 балок.

Тогда уточнённый шаг равен:

5 м / 7 шт = 0,715 м.

Межэтажное перекрытие. Длина между стенами 5 метров. Первый этаж с максимальной нагрузкой. Черновой пол выполняется из изделия с размером 40 мм. Шаг по опорам принимается в 1 метр.

Количество точек крепления составляет: 5 м / 1 м = 5 шт.

Совет. Несмотря на невысокую нагрузку, приходящуюся на чердачное пространство, целесообразно применять требования, относящиеся к межэтажным перекрытиям, — в будущем может появиться вероятность перестройки в жилое мансардное помещение.

Как рассчитать необходимое сечение традиционной деревянной балки перекрытия

Прочностные характеристики опорного элемента определяются геометрическими параметрами, – длиной и поперечным сечением. Длина, как правило, даётся из внутренних размеров межстенного пространства и закладывается на стадии проектирования здания. Второй параметр, – сечение, можно изменять в зависимости от предполагаемых нагрузок в процессе строительства.

Пример расчёта

Чтобы избежать достаточно мудрёных математических выкладок, приводим рекомендуемые данные, которые сведены в таблицу. При имеющихся размерах пролёта и шага, можно определить примерное сечение бруса или диаметр бревна. Расчёт осуществлялся исходя из усреднённой нагрузки в 400 кг/м²

Таблица 1

Сечение прямоугольного бруса:

Шаг, метр Пролёт, метр
2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
0,6 75 х 100 75 х 200 100 х 200 150 х 200 150 х 225
1,0 75 х 150 100 х 175 125 х 200 150 х 225 175 х 250

Таблица 2

Диаметр оцилиндрованного бревна:

Шаг, метр Пролёт, метр
2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
0,6 110 140 170 200 230
1,0 130 170 210 240 270

Примечание: В таблицах приведены минимальные допустимые размеры. При проектировании собственного здания, необходимо принимать те размеры деревянных изделий, которые присутствуют на местном строительном рынке региона, причём значения требуется округлять в большую сторону.

Совет. При отсутствии необходимого бруса, его можно заменить досками, скреплёнными между собой посредством столярного клея и саморезов. Ещё один вариант усиления – увеличить сечение бруса, добавив к его боковым сторонам доски определённой толщины.

Совет. Продлить срок службы и снизить показатель горючести поможет обработка специальными огне– и биозащитными средствами. Кроме этого, такая операция способствует небольшому увеличению прочности деревянных изделий.

Совет. Тем, кто всё-таки желает провести математические изыскания, по расчётам деревянных балок, для перекрытий, целесообразно заглянуть в интернет с этим вопросом, — имеется достаточное количество сайтов, на которых выложены электронные калькуляторы по определению параметров элементов силовых конструкций.

homehill.ru

Задание 3 расчет балки на прочность и жесткость

Целью задания
является расчет балки на прочность при
плоском изгибе и исследование влияния
формы поперечного сечения на ее
металлоемкость.

Для заданной балки
(рис. 18):

1) определить
реакции опор;

2) записать уравнения
поперечной силы и изгибающего момента
для всех участков и построить эпюры
поперечной силы и изгибающего момента;

3) подобрать балку
двутаврового поперечного сечения из
условия прочности по нормальным
напряжениям и проверить балку на
прочность по касательным напряжениям;

4) произвести анализ
изменения веса балки в зависимости от
формы ее поперечного сечения (рис. 17),
приняв за единицу вес двутавровой балки;

5) построить эпюры
распределения нормальных и касательных
напряжений по высоте двутавровой балки
в произвольном ее сечении, в котором ни
поперечная сила, ни изгибающий момент
не равны нулю;

6) записать уравнения
углов поворота и прогибов сечений балки
для всех участков и построить эпюры
углов поворота и прогибов;

7) графическая
часть задания должна содержать чертеж
балки в стандартном масштабе с указанием
размеров балки и нагрузки (под чертежом
балки расположить эпюры поперечных
сил, изгибающих моментов, углов поворота
и прогибов сечений балки), эпюры
распределения нормальных и касательных
напряжений по высоте сечения балки.

Материал балки –
сталь Ст.3. При расчетах принять:
допускаемые напряжения adm
= 160 МПа, adm
= 100 МПа, модуль упругости Е
= = 2105
МПа.

Для построения
эпюр углов поворота и прогибов сечений
балки необходимо подсчитать соответствующие
величины в 4-6 сечениях на каждом участке.

Разрешается
ординаты эпюр углов поворота и прогибов
сечений балки увеличить в EI
раз.

Исходные данные
взять из табл. 3.

Таблица 3

Номер
строки

l,
м

l1,
м

l2,
м

F,
кН

M,
кНм

q,
кН/м

а

б

в

г

а

б

1

2,0

4,0

3,0

50

10

40

2

2,5

5,0

3,5

45

20

30

3

3,0

6,0

4,5

40

30

20

4

3,5

7,0

1,5

35

40

10

5

4,0

6,0

2,0

30

50

15

6

1,5

5,0

2,5

25

15

25

7

2,0

4,0

3,0

20

25

35

8

3,0

3,0

3,5

15

35

45

9

4,0

2,0

4,0

10

45

20

0

2,5

7,0

2,0

60

55

30

Пример выполнения задания 3

Рассчитать балку
(рис.19) постоянного поперечного сечения
на прочность при плоском поперечном
изгибе и исследовать влияние формы
поперечного сечения на ее весовые
характеристики.

Исходные данные:
l
= 2 м, l1
= 5 м, l2
= 2 м, F
= 30 кН, М
= 30 кНм,
q
= 20 кН/м, adm
= 160 МПа; adm
= 100 МПа.

Решение

1. Определим опорные
реакции из условия равновесия балки:

,
НА
=0;

,
;

=

= -57,14
кН.

,
;

== 27,14 кН.

Проверка правильности
определения реакций опор:

,

;

27,14 — 57,14 — 20·2 + 30 +
202
= 0;

0 = 0.

2.
Запишем выражения поперечной силы Q
и изгибающего момента Mz
по участкам, используя
метод сечений. Определим значения
поперечных
сил Q
и изгибающих моментов Мz
в характерных точках по длине балки
и построим эпюры Q
и Mz.

1-й
участок: 0 ≤х1
2 м (рис. 20)

;

=
= 10.

При х1
= 0 Q
= 0, Mz
= 0; при х1
= 3 м Q
= -40 кН,
-40 кНм.

2-й участок: 2 м ≤
х2
≤ 7 м

=
27,14 — 202
= -12,86 кН;

.

При х2
= 2 м
-10 кНм,
при х2
= 7 м
-74,3 кНм.

3-й участок: 7 м ≤
х3
≤ 9 м

При х3
= 7 мQy
= 17,14 кН,

= -74,3 кНм,
при х3
= 13 м 0,
Qy
=57,14 кН.

По результатам
расчета построим эпюры поперечных сил
Q
и изгибающих моментов Mz
(рис. 19).

3. Определим опасное
сечение: из эпюр поперечных сил и
изгибающих моментов
=
57,14 кН,74,3
кНм.

4. Подбираем
двутавровую балку из условия прочности
по нормальным напряжениям

,

Откуда

см3.

По величине осевого
момента сопротивления выбираем двутавр
№30 по ГОСТ 8239-72, у которого Wzтабл
= 472 см3.
Вычисляем фактическое максимальное
напряжение

фmax
=
==
157,4 МПа.

Вычисляем
недонапряжение по нормальным напряжениям

=100%=100 = 1,6 % < 5 %.

При расчетах
допускается недонапряжение и
перенапряжение до 5 %.
Выбранный двутавр № 40 удовлетворяет
условию прочности по нормальным
напряжениям. Из таблицы балок двутавровых
выписываем геометрические характеристики:
Wz
= 472 см3,
h
= 30 см, b
= 13,5 см, А1
= =46,5 см2;

7080
см4,

=
268 см3,
s
= 0,65 см, t
=
1,02 см.

Проверяем балку
на прочность по касательным напряжениям

max
=
=

МПа
аdm
= 100 МПа.

Таким образом,
выбранная двутавровая балка удовлетворяет
условию прочности по касательным
напряжениям.

5. Определим размеры
поперечных сечений балки различной
формы:

а) коробчатое
сечение (рис. 23)

;

= 10,6 см,
0,7210,62
= 80,9 см2;

б) прямоугольное
сечение (рис. 24)

=
464,4,
= 8,9 см,

28,92
= 158,4 см2;

в) квадратное
сечение (рис. 25)

464,4,
а
=
= 14,1 см,198,8
см2;

г) круглое сечение
(рис. 26)

=
464,4,
см,

= 221,6 см2;

д) трубчатое
сечение (рис. 27)

,

;

ymax
= d/2,

=464,4,см,

=
113 см2;

е) квадратное
сечение с углами по осям координат (рис.
28)

,

0,707
a,
(для квадратного сечения моменты инерции
относительно любых центральных осей
одинаковы),

464,4,
а
=
= 15,8 см,

= 249,6 см2.

6. Производим анализ
изменения веса балки в зависимости от
формы ее сечения, приняв за единицу вес
двутавровой балки. Вес балки определим
по формуле
.

Обозначим 
отношение веса балки различной формы
сечения к весу двутавровой балки:

Таким образом,
сечения балки в порядке возрастания ее
веса выстроятся в ряд: двутавр, коробчатое
сечение, трубчатое сечение, прямоугольное
сечение, квадратное сечение, круглое
сечение, квадратное сечение с углами
по осям координат.

7. Строим эпюры
распределения нормальных и касательных
напряжений по высоте двутавровой
балки для сечения, где приложена сила
F.
В этом сечении Q
= 17,14 кН, Мz
= 74,3 кНм.

Нормальные
напряжения определяются по формуле

=
.

Подсчитаем
нормальные напряжения в характерных
точках сечения:

y1
= h
/ 2, 1
=
= 157,4 МПа;

y4
= 0, 4
= 0.

Эпюра нормальных
напряжений показана на рис. 29.

Касательные
напряжения определяются по формуле
Журавского

 =
.

У двутаврового
сечения ширина b
сечения и
статический момент
отсеченной части сечения меняются по
высоте, поэтому вычисляем касательные
напряжения в характерных точках сечения:

Точка 1:
;.

Точка 2:
199,5
см3.

В точке 2 ширина
волокон равна ширине полки b,
поэтому

0,35
МПа.

Точка 3:
= 199,5 см3,
ширина волокон
равна толщине стенки s,
поэтому

7,4
МПа.

Точка 4:
268
см3,
ширина волокон
равна толщине стенки s,
поэтому

10 МПа.

Эпюра касательных
напряжений показана на рис. 29.

8. Определим углы
поворота и прогибы сечений балки методом
начальных параметров. Уравнения углов
поворота и
прогибов сечений
пометоду
начальных параметровимеют
вид:

;

,

где
,— угол поворота и прогиб сечения балки
в начале координат (на левом конце
балки).

Запишем уравнения
углов поворота и прогибов сечений балки
для различных участков:

1-й участок: 0 ≤ х1
≤ 2 м

,

.

2-й участок:
2 м
х2

7 м

,

.

3-й участок: 7 м ≤
х3
≤ 9 м

Постоянные
интегрирования C
и D
определяем из граничных условий — прогибы
на опорах равны нулю:

при
x
= l
= 2 м yA= y1
= y2
= 0;

при x2
= l
+ l1
+ l2
= L
= 9 м yB
= y3
= 0.

Получаем систему
уравнений

или

Решая систему
уравнений, получаем С
= 159,1 кНм2,
D
= -304,8 кНм3.

Вычислим значения
углов поворота и прогибов сечений балки
в 3-4 точках на каждом участке. Результаты
расчета приведены в табл. 4.

Таблица 4

№ участка,
i

1

2

xi,
м

0

1

2

2

3

5

,
кНм2

159,1

155,8

132,4

132,4

101,0

44,6

EIzyi,
кНм3

-304,8

-146,5

0

0

125,4

294,5

Продолжение
табл. 4

№ участка,
i

2

3

xi,
м

6

7

7

8

9

,кНм2

-10,4

-78,3

-78,3

-140,7

-166,0

EIzyi,
кНм3

312,6

269,3

269,3

157,5

0

Определим
экстремальное (максимальное) значение
прогиба на 2-м участке:

Решая уравнение
методом последовательных приближений,
получим х2
= 5,827 м,
313,5 кН· м3.

На основе полученных
результатов строим эпюры углов поворота
и прогибов сечений балки (рис. 21).

studfiles.net

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о