Распределенная нагрузка на балку ℹ️ определение, формулы и условия расчета равномерно и неравномерно распределенной нагрузки, примеры вычисления момента

Взаимодействия с деталями, отдельными элементами и конструкциями механизма задается с помощью нагрузок. В плоскости задается интенсивность взаимодействия конструкции по длине, а в пространстве – по её площади.

Распределённая нагрузка на балку задается площадью, обозначается буквой q и измеряется в [H/м³] для объемной конструкции, в [H/м²] — для площади, для линейной – в [H/м].

Продемонстрируем это на рисунке:

Нагрузку также можно заменить тягой, рассредоточенной по всей поверхности. Значение определяется по формуле:

Q = q ∗ AB⌈H⌉

здесь AB является тяжестью, q – интенсивностью, которая измеряется в [H/м].

Примечательно, что сила приложена к середине данного отрезка AB.

На данном рисунке представлен расчёт возрастающей нагрузки, которую можно заменить равнодействующей единицей, рассчитываемое по формуле:

Q = q_max ∗ AB/2

где q_max – максимальная интенсивность [Н/м]. 

Q приложена к точке C, где AC равно: AC = 2/3 AB 

Рассматривая функцию q(x), представленную на рисунке:

можно высчитать значение эквивалентной силы по формуле:

Равномерно и неравномерно распределенная нагрузка на балку

Распределение сил, которые лежат в одной плоскости, задается равномерно распределенной тяжестью. Основным обозначением является интенсивность q — предельная тяга, несущая равнодействующую на единицу длины нагруженного участка АВ длиной а. 

Единицы измерения распределённой нагрузки [Н/м].

Её также можно заменить на величину Q, которая приложена в середину AB. 

Составим формулу: Q = q∗a

Неравномерно распределённую нагрузку чаще всего упрощают, приводя её к эквивалентной равномерно распределенной, чтобы упростить расчеты.

При построении также следует учитывать максимальный прогиб балки, её прочность, расчетную опорную реакцию и моментальную опору.

Пример решения задач с распределенной нагрузкой

Рассмотрим пример распределенной нагрузки на балку. Им может послужить тяга, благодаря которой происходит разрыв стальной стенки баллона с некоторым газом.

Для начала определяем результирующую давления в металлической трубе. Интенсивность равна q, радиус этого сектора трубы – R, ось симметрии Оx, а 2α – это центральный угол. Представим это на рисунке:

Выделим элемент сектора трубы ∆ϕ.

Затем определим единицу силы ∆Q. Она действует на плоскость дуги. Составим формулу:

Проекция результирующей тяги на ось Оx является:

Исходя из вышесказанного, можно найти проекцию этой же силы на ось Оy:

AB является хордой, которая стягивает дугу.

В нашей задаче сосуд – это ёмкость цилиндрической формы с высотой H, внутренним давлением P, действующим на стенки, и нагрузкой q = p [Н/м²]. 

Разделим цилиндр вдоль его диаметра. 

Исходя из этого, равнодействующая результирующих сил определяется по формуле:

где d – это внутренний диаметр цилиндра, h — его высота. 

Формулу также можно записать следующим образом:

Итак, почему баллон имеет способность разрываться? На его стенки действуют значения S1, S2, S3 (площади), а также F, p (плотность), h (высота цилиндра) и R (его радиус). Рассчитаем их по формулам:

 

Изобразим баллон в момент разрыва:

Учтём a – толщину ёмкости. Таким образом напряжение, которое растягивает баллон, (усилия распространяются в том числе на крышку и дно цилиндра) равно:

Важную роль при решении практических задач также играет эпюра распределенной нагрузки – плоская фигура, которая ограничена графиком. Величина, действующая на балку, называется интенсивностью – силой, которая распространяется на единицы площади, объема или длины.

Расчёт балки бесплатно онлайн

Добро пожаловать! Данный онлайн-калькулятор предназначен для расчёта балки и позволит построить эпюры внутренних силовых факторов (изгибающих моментов, поперечных и осевых или продольных сил), рассчитать реакции в опорах. В итоге формируется отчёт с готовым решением. Удачи! 12

Операции Объекты В данном расчёте не задано ни одного закрепления или нагрузки. Для задания нагрузки и закреплений балки перейдите в раздел «Операции»

Расчет балки онлайн

Для расчета балок первым делом необходимо определить усилия, возникающие в конструкциях. В данном разделе показано, как находить усилия, опорные реакции, прогибы и углы поворота в различных изгибаемых конструкциях. Для самых распространенных из них вы можете воспользоваться онлайн расчетом. Для редких — приведены все формулы определения необходимых значений.

Онлайн расчет балки на двух опорах (калькулятор).

Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.

Синие ячейки — ввод данных. (Белые ячейки — ввод координаты для определения промежуточного итога).

Зеленые ячейки — расчетные, промежуточный итог.

Оранжевые ячейки —  максимальные значения.

>>> Перейти к расчету балки на двух опорах <<<

Онлайн расчет консольной балки (калькулятор).

Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.

Синие ячейки — ввод данных. (Белые ячейки — ввод координаты для определения промежуточного итога).

Зеленые ячейки — расчетные, промежуточный итог.

Оранжевые ячейки —  максимальные значения.

>>> Перейти к расчету консольной балки <<<

Расчет однопролетной балки на двух шарнирных опорах.

 

Рис.1 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке

 

Рис.2 Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух сосредоточенных нагрузках

 

Рис.3 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке

 

Рис4. Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке

 

 

Рис5. Расчет балки на двух шарнирных опорах при действии изгибающего момента

Расчет балок с жестким защемлением на двух опорах

Рис6. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной сосредоточенной нагрузке

 

Рис7. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при двух сосредоточенных нагрузках

Рис8. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис9. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке

Рис10.Расчет балки с жестким защемлением на опорах при действии изгибающего момента

Расчет консольных балок

Рис11. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной сосредоточенной нагрузке

Рис12. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис13. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной неравномерно-распределенной нагрузке

Рис14. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при действии изгибающего момента

Расчет двухпролетных балок

Рис15. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной сосредоточенной нагрузке

Рис16. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной равномерно-распределенной нагрузке

Рис17. Расчет двухпролетной  балки с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке

 

 

Расчет балок часть 1 | Онлайн калькулятор

В данном разделе можно выполнить онлайн расчеты статически определимых балок в условиях прямого поперечного изгиба под действием сосредоточенной нагрузки. Расчеты определяют прогиб, угол поворота и изгибающий момент в произвольно заданной точке балки при различных граничных условиях. Определив наибольший изгибающий момент и соответствующее опасное сечение балки легко подобрать его размеры исходя из допускаемых напряжений в сечении.

Исходные данные:

L – длина балки, в миллиметрах;

a – координата точки приложения сосредоточенной нагрузки, в миллиметрах;

X – координата точки нахождения изгибающего момента, угла поворота и прогиба балки, в миллиметрах;

F – нагрузка, в ньютонах;

I_x – момент инерции сечения относительно оси, перпендикулярной действию нагрузки, в метрах ⁴;

Е – модуль упругости материала балки, в паскалях.

Расчет балки # 1.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке консольно закрепленной балки под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

R_L = 0 – реакция опоры в крайней левой точке;

M_L = 0 – изгибающий момент в крайней левой точке;

θ_R = 0 – угол поворота в крайней правой точке;

Y_R = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 2.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c защемленным концом и скользящей опорой под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

R_L = 0 – реакция опоры в крайней левой точке;

θ_L = 0 – угол поворота в крайней левой точке;

θ_R = 0 – угол поворота в крайней правой точке;

Y_R = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 3.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c защемленным концом и шарнирной опорой под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

М_L = 0 – изгибающий момент в крайней левой точке;

Y_L = 0 – прогиб балки в крайней левой точке;

θ_R = 0 – угол поворота в крайней правой точке;

Y_R = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 4.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c защемленными концами под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

θ_L = 0 – угол поворота в крайней левой точке;

Y_L = 0 – прогиб балки в крайней левой точке;

θ_R = 0 – угол поворота в крайней правой точке;

Y_R = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 5.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c шарнирными опорами под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

М_L = 0 – изгибающий момент в крайней левой точке;

Y_L = 0 – прогиб балки в крайней левой точке;

М_R = 0 – изгибающий момент в крайней правой точке;

Y_R = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 6.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c шарнирной и скользящей опорами под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

R_L = 0 – реакция опоры в крайней левой точке;

θ_L = 0 – угол поворота балки в крайней левой точке;

М_R = 0 – изгибающий момент в крайней правой точке;

Y_R = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Пример расчета балки с распределенной нагрузкой — Sulde’ — блог

Рассмотрим простой и пожалуй самый распространенного пример в строительстве со времен неолита, не потерявшим актуальности и в наши дни.

Балка со свободно опертыми концами.

Допустим балки уложены с шагом 2метра и перекрыты пустотными плитами ПК20-10,8 с размерами 1980х990х220 и массой 0,61т каждая.

По условию гибкости примем 1/300 длины балки, хотя в зависимости от типа перекрытия эта цифра может колебаться от 1/150 до 1/500 пролета за подробностями можно обратиться к приложению 4 СНиП 2.01.07-85*

Чтобы было не совсем скучно давайте предположим что строго по середине пролета на нашу балку подвешен рельс тельфера передающий на неё дополнительную концентрированную нагрузку не более 500кгс.

Найдем минимально допустимые моменты для концентрированной нагрузки от тельфера. Надеюсь что вы без подробных комментариев нашли схему 5 у Анурьева.

Сотворили себе табличку в примерно такого вида:

И получили в ответе, что то похожее на: Jmin=134см4, Mmax=37500.

(если кому то что то непонятно то имеет смысл перечитать предшествующие посты, там всё более подробно разжевано)

Итак мы посчитали какой момент возникает в критическом сечении балки под весом тельфера и каким минимальным моментом инерции должно обладать её сечение чтобы выполнить условие жесткости.

Теперь перейдем к распределенной нагрузке страница 55 схема 6

Посчитаем чему будет равно q

На нашу балку опирается 6 плит массой 610кг каждая, поскольку каждая из этих плит опирается и на соседнюю балку то нашей балке достается ровно половина от их массы.

Общая масса плит давящих на нашу балку составит 6*610/2=1830кг, следовательно нагрузка на единицу длинны балки составит q=1830/300=6,1кгс/см.

В реальной жизни ригель должен держать не только вес плит но и много чего еще полезного….

Поэтому вопросу сбора нагрузки следует уделять пристальное внимание, чем точнее вы её учтете, тем надежнее будет ваше сооружение.

Это тот случай в котором лучше перебдеть чем недобдеть…… Главное ничего не забыть !!!

Но сам принцип превращения кгс/м2 в кгс/см надеюсь вам понятен.

Набиваем табличку

По итогу мы получили что для распределенной нагрузки момент инерции балки Jmin=306,4см4 и в критическом сечении момент Mmax= 68625

Прибавим то что получилось к моментам от тельфера

Получаем Jmin=Jтелф+Jплит=134+306,4= 440,4см4

Рассчитаем минимально допустимый момент сопротивления изгибу нашей балки (Wmin).

Посетим страницу 61 нашего справочника. Допустим наша балка из ст2, работает она с переменной нагрузкой от тельфера и постоянной от плит.

Следовательно:

бтелф=100МПа=1019,7кгс/см2

бплит=140МПа= 1427,6кгс/см2

Откуда

Wтелф=Mтелф/бтелф=37500/1019,7=36,8см3

Wплит=Mплит/бплит=68625/1427,6=48,1см3

Получаем минимально допустимый момент сопротивления балки

Wmin=Wтелф+Wплит=36,8+48,1=84,9см3

 

Подберем двутавр по условию жесткости (страница 153 справочника Анурьева)

Вот например № 14 вполне удовлетворяет наши запросы по жесткости, а вот прочности маловато Wх всего 81,7см3.

Следовательно выбираем №16 с Wх=109см3, что даст нам больше 20% запаса по прочности и практически двукратный запас по жесткости, потому как Jх=873см4 а нам и 441см4 хватает.

 

Подведем небольшой итог;

При расчетах балки на которую действует несколько нагрузок, (не важно каких) следует производить расчет по каждой из этих нагрузок в отдельности. (что мы и проделали) и просуммировать необходимые мометы

 

Ну а теперь позвольте задать вам вопрос:

Вас устраивает то обстоятельство что мы перешли непосредственно к расчетам и вы ожидаете что следующая запись в этом блоге будет посвящена «неразрезным» балкам?

Или следует притормозить и раскрыть тему свойств геометрических сечений (откуда берутся все эти J и W, и что с ними можно намутить?)

Момент распределенной нагрузки — Лекции и примеры решения задач технической механики

Вопрос: Как определить момент в точке балки, возникающий от распределенной нагрузки?

Ответ: При расчетах балок, в сопромате часто возникает задача определить изгибающий момент в сечениях балки вызванный действием равномерно распределенной нагрузки q.

В этом случае, как правило, удобнее пользоваться понятием равнодействующей силы R_q, которой можно заменить распределенную нагрузку.

Рассмотрим пример нахождения момента в произвольной точке C от равномерно распределенной между точками A и B нагрузки интенсивностью q.

Для определения момента нагрузки необходимо знать ее длину a и расстояние z от любого ее края до рассматриваемой точки.

Заменим распределенную нагрузку ее равнодействующей R_q, которая для равномерного случая распределения будет располагаться ровно посередине нагрузки, при этом ее величина определяется как произведение интенсивности q нагрузки на ее длину a

R_q=qa

Как известно момент силы определяется произведением силы на плечо

M=Fl

В данном случае силой в вышеуказанном выражении является равнодействующая R_q.

Плечом этой силы является расстояние от точки C до равнодействующей нагрузки

l=a/2+z

Таким образом, момент нагрузки равен произведению интенсивности q нагрузки на ее длину a и на расстояние от ее середины до рассматриваемой точки a/2+z

M_С=R_ql=qa(a/2+z)

Для случая, когда точка лежит в пределах действия нагрузки, аналогично:

M_С= R_ql=qa(a/2-z)

Примечания:

1. В случае действия неравномерно распределенной нагрузки ее интенсивность задается функцией.
2. Для нагрузки, распределенной по площади (объему) при вычислении равнодействующей вместо длины надо подставлять площадь (объем) ее действия.
3. Момент части распределенной нагрузки определяется аналогично.

Примеры решения задач >
Краткая теория >

Балки — поддерживаются с обеих сторон

Напряжение в изгибающейся балке может быть выражено как

σ = y M / I (1)

, где

σ = напряжение (Па (Н / м ^{) 2} ), Н / мм ² , psi)

y = расстояние до точки от нейтральной оси (м, мм, дюйм)

M = изгибающий момент (Нм, фунт-дюйм)

I = момент инерции (м ⁴ , мм ⁴ , в ⁴ )

Калькулятор ниже можно использовать для расчета максимального напряжения и прогиба балок с одной одиночной или равномерно распределенной нагрузкой.

Балка, поддерживаемая на обоих концах — равномерная непрерывная распределенная нагрузка

Момент в балке с равномерной нагрузкой, поддерживаемой на обоих концах в положении x, может быть выражен как

M _x = qx (L — x) / 2 (2)

где

M _x = момент в положении x (Нм, фунт дюйм)

x = расстояние от конца (м, мм, дюйм)

Максимум Момент находится в центре балки на расстоянии L / 2 и может быть выражен как

M _max = q L ² /8 (2a)

, где

M _max = максимальный момент ( Нм, фунт-дюйм)

q = равномерная нагрузка на единицу длины балки (Н / м, Н / мм, фунт / дюйм)

9000 2 L = длина балки (м, мм, дюйм)

Максимальное напряжение

Уравнения 1 и 2a могут быть объединены для выражения максимального напряжения в балке с равномерным нагрузка, поддерживаемая с обоих концов на расстоянии L / 2, как

σ _max = y _max q L ² / (8 I) (2b)

где

σ _max = максимальное напряжение (Па (Н / м ² ), Н / мм ² , psi)

y _max = расстояние до крайней точки от нейтральной оси (м, мм, дюйм)

• 1 Н / м ² = 1×10 ^-6 Н / мм ² = 1 Па = 1.4504×10 ^-4 фунтов на кв. Дюйм
• 1 фунт / дюйм (фунт / дюйм ² ) = 144 фунта на квадратный дюйм (фунт _на / фут ² ) = 6 894,8 Па (Н / м ² ) = 6,895×10 ^{— 3} Н / мм ²

Максимальный прогиб :

δ _max = 5 q L ⁴ / (384 EI) (2c)

где

δ _макс = максимальный прогиб (м, мм, дюйм)

E = Модуль упругости (Па (Н / м ² ), Н / мм ² , psi)

Прогиб в положении x:

δ _x = qx ( L ³ — 2 L x ² + x ³ ) / (24 EI) (2d)

Примечание! — прогиб часто является ограничивающим фактором при проектировании балки.Для некоторых применений балки должны быть прочнее, чем требуется при максимальных нагрузках, чтобы избежать недопустимого прогиба.

Силы, действующие на концы:

R ₁ = R ₂

= q L / 2 (2e)

где

R = сила реакции (Н, фунт)

Пример — балка с равномерной нагрузкой, метрические единицы

Балка UB 305 x 127 x 42 длиной 5000 мм несет равномерную нагрузку 6 Н / мм .Момент инерции балки составляет 8196 см ⁴ (81960000 мм ⁴ ) , а модуль упругости стали, используемой в балке, составляет 200 ГПа (200000 Н / мм ² ) . Высота балки 300 мм (расстояние от крайней точки до нейтральной оси 150 мм ).

Максимальное напряжение в балке можно рассчитать

σ _max = (150 мм) (6 Н / мм) (5000 мм) ² / (8 (81960000 мм ⁴ ))

= 34.3 Н / мм ²

= 34,3 10 ⁶ Н / м ² (Па)

= 34,3 МПа

Максимальный прогиб балки можно рассчитать

δ _макс = 5 (6 Н / мм) (5000 мм) ⁴ / (( 200000 Н / мм) ² ) ( 81960000 мм ⁴ ) 384)

= 2,98 мм

Расчет балки с равномерной нагрузкой — метрические единицы

• 1 мм ⁴ = 10 ^-4 см ⁴ = 10 ^-12 м ⁴
• 1 см ⁴ = 10 ^-8 м = 10 ⁴ мм
• 1 дюйм ⁴ = 4.16×10 ⁵ мм ⁴ = 41,6 см ⁴
• 1 Н / мм ² = 10 ⁶ Н / м ² (Па)

Расчет балки с равномерной нагрузкой — Британские единицы

Пример — балка с равномерной нагрузкой, британские единицы

Максимальное напряжение в стальной широкополочной балке W 12 x 35 дюймов, длина 100 дюймов, длина , момент инерции 285 дюймов, ⁴ , модуль упругости 2

00 фунтов на квадратный дюйм , при равномерной нагрузке 100 фунтов / дюйм можно рассчитать как

σ _макс = y _макс q L ² / (8 I)

= (6.25 дюймов (100 фунтов / дюйм) (100 дюймов) ² / (8 (285 дюймов ⁴ ))

= 2741 (фунт / дюйм ² , psi)

Максимальный прогиб может рассчитывается как

δ _макс = 5 q L ⁴ / (EI 384)

= 5 (100 фунтов / дюйм) (100 дюймов) ⁴ / ((2

00 фунтов / дюйм ² ) (285 дюймов ⁴ ) 384)

= 0,016 дюйма

Балка, поддерживаемая на обоих концах — нагрузка в центре

Максимальный момент в балке с центральной нагрузкой, поддерживаемой с обеих сторон концов:

M _max = FL / 4 (3a)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с одноцентровой нагрузкой, поддерживаемой с обоих концов:

σ _max = y _max FL / (4 I) ( 3b)

где

F = нагрузка (Н, фунт)

Максимальный прогиб может быть выражен как

δ _max = FL ³ / (48 EI) (3c)

Силы, действующие на концы:

R ₁ = R ₂

= F / 2 (3d)

Расчет балки с одним центром нагрузки — метрические единицы

Расчет балки с одним центром нагрузки — Имперские единицы

Пример — Балка с единственной центральной нагрузкой

Максимальное напряжение в стальной широкополкой балке W 12 x 35 дюймов, длина 100 дюймов, длина , момент инерции 285 дюймов, ⁴ , модуль упругости эластичность 2

00 psi , с центральной нагрузкой 10000 фунтов можно рассчитать как

σ _max = y _max FL / (4 I)

= (6.25 дюймов) (10000 фунтов) (100 дюймов) / (4 (285 дюймов ⁴ ))

= 5482 (фунт / дюйм ² , фунт / кв. Дюйм)

Максимальный прогиб можно рассчитать как

δ _max = FL ³ / EI 48

= (10000 фунтов / дюйм) (100 дюймов) ³ / ((2

00 фунтов / дюйм ² ) (285 дюймов ⁴ ) 48 )

= 0,025 дюйма

Некоторые типичные пределы отклонения по вертикали

• Полное отклонение: пролет / 250
• Прогиб при динамической нагрузке: пролет / 360
• консоли: пролет / 180
• Балки деревянных перекрытий в домашних условиях: пролет / 330 (макс. 14 мм)
• хрупкие элементы: пролет / 500
• подкрановые балки: пролет / 600

Балка, поддерживаемая на обоих концах — эксцентричная нагрузка

Максимальный момент в балке с одинарной эксцентричной нагрузкой при точка нагрузки:

M _{макс.9 0050 = F ab / L (4a)}

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с одноцентровой нагрузкой, поддерживаемой с обоих концов:

σ _max = y _max F ab / (LI) (4b)

Максимальное отклонение в точке нагрузки может быть выражено как

δ _F = F a ² b ² / (3 EIL) (4c)

Силы, действующие на концы:

R ₁ = F b / L (4d)

R ₂ = F a / L (4e)

Балка, поддерживаемая на обоих концах — две эксцентрические нагрузки

Максимальный момент (между нагрузками) в балке с двумя эксцентрическими нагрузками:

M _max = F a (5a)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с двумя эксцентрическими нагрузками, поддерживаемыми на обоих концах:

σ _max = y _max F a / I (5b)

Максимум прогиб в точке нагрузки можно выразить как

δ _F = F a (3L ² — 4 a ² ) / (24 EI) (5c)

Силы, действующие на концы:

R ₁ = R ₂

= F (5d)

Вставьте балки в свою модель Sketchup с помощью Engineering ToolBox Sketchup Extension

Балка поддерживается на обоих концах — трехточечная нагрузка

Максимальный момент (между нагрузками) в балке с тремя точечными нагрузками: 9000 3

M _max = FL / 2 (6a)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с трехточечными нагрузками, поддерживаемыми с обоих концов:

σ _max = y _max FL / (2 I) (6b)

Максимальный прогиб в центре балки можно выразить как

δ _F = FL ³ / (20.22 E I) (6c)

Силы, действующие на концы:

R ₁ = R ₂

= 1,5 F (6d)

.

Балки — фиксированные на обоих концах

Балки, фиксированные на обоих концах — одноточечная нагрузка

Изгибающий момент

M _A = — F ab ² / L ² (1a)

где

M _A = момент на неподвижном конце A (Нм, фунт _f футов)

F = нагрузка (Н, фунт _f )

M _B = — F a ² b / L ² (1b)

где

M _B = момент на неподвижном конце B (Нм, фунт _f футов)

M _F = 2 F a ² b ² / L ³ (1c)

где

M _F = момент при точечной нагрузке (Нм, фунт _f футов)

Прогиб

δ _F = F a ³ b ³ / (3 L ³ EI) (1d)

где

δ _F = прогиб при точечной нагрузке (м, фут)

E = Модуль упругости (Па (Н / м ² ), Н / мм ² , psi)

I = Момент площади инерции (м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

Реакции опоры

R _A = F (3 a + b) b ² / L ³ (1f)

где

R _A = сила опоры на неподвижном конце A (Н, фунт _f )

R _B = F (a + 3 b) a ² / л ³ (1g)

где

R _B = сила опоры на фиксированном конце B (Н, фунт _f )

Балка, закрепленная на обоих концах — равномерная непрерывная распределенная нагрузка

Изгибающий момент

M _A = M _B

= — q L ² /12 (2a)

где

M = моменты на неподвижных концах (Нм, фунт _f фут)

q = равномерная нагрузка (Н / м, фунт _f / фут)

M ₁ = q L ² /24 (2b)

где

M ₁ = момент в центре (Нм, фунт _f футов)

Прогиб

δ _max = q L ⁴ / (384 EI) (2c)
9 0016

, где

δ _max = максимальный прогиб в центре (м, фут)

E = Модуль упругости (Па (Н / м ² ), Н / мм ^{) 2} , psi)

I = Момент инерции площади (м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

Реакции опоры

R _A = R _B

= q L / 2 (2d)

, где

R = опорные силы на неподвижных концах (Н, фунт _f )

Балка, закрепленная на обеих Концы — равномерно уменьшающаяся распределенная нагрузка

Изгибающий момент

M _A = — q L ² /20 (3a)

где

M 90 009 A = моменты на неподвижном конце A (Нм, фунт _f фут)

q = равномерная падающая нагрузка (Н / м, фунт _f / фут)

M _B = — q L ² /30 (3b)

где

M _B = моменты на неподвижном конце B (Нм, фунт _f футов)

M ₁ = q L ² /46.6 (3c)

где

M ₁ = момент при x = 0,475 L (Нм, фунт _f футов)

Прогиб

δ _max = q L ⁴ / (764 EI) (3d)

где

δ _max = максимальный прогиб при x = 0,475 L (м, фут)

E = Модуль упругости (Па (Н / м ² ), Н / мм ² , psi)

I = Момент инерции площади (м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

δ _1/2 = q L ⁴ / (768 EI) (3e)

где

δ _1/2 = прогиб при x = 0.5 л (м, фут)

Реакции опоры

R _A = 7 q L / 20 (3f)

где

R _A = сила опоры на неподвижном конце A (Н, фунт _f )

R _B = 3 q L / 20 (3g)

где

R _B = усилие опоры на неподвижном конце B (Н, фунт _f )

Балка, закрепленная на обоих концах — частично равномерная непрерывная распределенная нагрузка

Изгибающий момент

M _A = — (qa ² /6) (3-4 a / l + 1.5 (a / L) ² ) (4a)

где

M _A = момент на неподвижном конце A (Нм, фунт _f футов)

q = частично однородный нагрузка (Н / м, фунт _f / фут)

M _B = — (qa ² /3) (a / L — 0,75 (a / L) ² ) (4b)

, где

M _B = момент на неподвижном конце B (Нм, фунт _f футов)

Реакции опоры

R _A = qa (L — 0.5 a) / L — (M _A — M _B ) / L (4c)

где

R _A = сила опоры на неподвижном конце A (Н, фунт _f )

R _B = qa ² / (2 л) + (M _A — M _B ) / L (4d)

где

R _B = опорная сила на неподвижном конце B (Н, фунт _f )

.

Определение уравнений поперечной силы и изгибающего момента консольной балки

Вычислить реакции на опорах балки

 Балка находится в равновесии, когда она неподвижна относительно инерциальной системы отсчета. Следующие условия выполняются, когда балка, на которую действует система сил и моментов, находится в состоянии равновесия: 
 1. Неподвижная опора находится в точке A (слева). Неподвижная опора будет сопротивляться поступательному перемещению во всех направлениях и вращению (момент) -  H  A , R  A , M  A  .
 2. Сумма сил и момента относительно любой точки равна нулю:  ΣF  x  = 0, ΣF  y  = 0, ΣM  A  = 0 . 
  ΣF  x  = 0:  H  A  = 0 
  ΣF  y  = 0:  R  A  - q  1  * 1.8 - P  1  = 0; 
  ΣM  A  = 0:  M  A  - q  1  * 1,8 * (1,8 / 2) + M  1  - 3 * P  1  = 0; 
 3. Решите эту систему уравнений: 
 H  A  = 0 (кН) 
 R  A  = q  1  * 1.8 + P  1  = 2 * 1,8 + 7 = 10,60 (кН) 
 M  A  = q  1  * 1,8 * (1,8 / 2) - M  1  + 3 * P  1  = 2 * 1,8 * (1,8 / 2) - 19 + 3 * 7 = 5,24 (кН * м) 
 4. Проверочное уравнение равновесия относительно точки B (справа): 
 - 3 * R  A  + M  A  + q  1  * 1,8 * (1,2 + 1,8 / 2) + M  1  + 0 * P  1  = - 3 * 10,60 + 5,24 + 2 * 1,8 * (1,2 + 1,8 / 2) + 19,00 + 0 * 7 = 0 

Постройте схемы балки

Первый пролет балки: 0 ≤ x ₁ <1.8

 Определите уравнения для поперечной силы (Q): 
 Q (x  1 ) = + R  A  - q  1  * (x  1 -0) 
 Q  1  (0) = + 10,60 - 2 * (0-0) = 10,60 (кН) 
 Определите уравнения для изгибающего момента (M): 
 M (x  1 ) = + R  A  * (x  1 ) - M  A  - q  1  * (x  1 )  2 /2 
 M  1  (0) = + 10,60 * (0) - 5,24 - 2 * (0-0)  2  / 2 = -5,24 (кН * м) 
 

Второй пролет балки: 1.8 ≤ x ₂ <2,4

 Определите уравнения для поперечной силы (Q): 
 Q (x  2 ) = + R  A  - q  1  * (1,8 - 0) 
 Q  2  (1,80) = + 10,60 - 2 * (1,8 - 0) = 7 (кН) 
 Q  2  (2,40) = + 10,60 - 2 * (1,8 - 0) = 7 (кН) 
 Определите уравнения для изгибающий момент (M): 
 M (x  2 ) = + R  A  * (x  2 ) - M  A  - q  1  * (1,8 - 0) *  [ (x ) 2  - 1.80) + (1,80 - 0) / 2 ]  
 M  2  (1,80) = + 10,60 * (1,80) - 5,24 - 2 * 1,8 * (0 + 0,90) = 10,60 (кН * м) 
 M  2  (2,40) = + 10,60 * (2,40) - 5,24 - 2 * 1,8 * (0,60 + 0,90) = 14,80 (кН * м) 
 

Третий пролет балки: 2,4 ≤ x ₃ <3

 Определите уравнения для поперечной силы (Q): 
 Q (x  3 ) = + R  A  - q  1  * (1,8 - 0) 
 Q  3  (2,40) = + 10,60 - 2 * (1,8 - 0) = 7 (кН) 
 Q  3  (3) = + 10.60-2 * (1,8-0) = 7 (кН) 
 Определите уравнения для изгибающего момента (M): 
 M (x  3 ) = + R  A  * (x  3 ) - M  A  - q  1  * (1,8 - 0) *  [ (x  3  - 1,80) + (1,80 - 0) / 2 ]  - M  1  
 M  3  (2,40) = + 10,60 * (2,40) - 5,24 - 2 * 1,8 * (0,60 + 0,90) - 19 = -4,20 (кН * м) 
 M  3  (3) = + 10,60 * (3) - 5,24 - 2 * 1,8 * (1.20 + 0.90) - 19 = 0 (кН * м) 
 

Решено BEAMGURU.COM.

% PDF-1.3 % 231 0 объект > endobj xref 231 81 0000000016 00000 н. 0000001971 00000 н. 0000003873 00000 н. 0000004091 00000 н. 0000004453 00000 п. 0000004808 00000 п. 0000005195 00000 н. 0000005984 00000 п. 0000006514 00000 н. 0000006834 00000 н. 0000007378 00000 п. 0000007848 00000 н. 0000008548 00000 н. 0000009103 00000 п. 0000009722 00000 н. 0000009745 00000 н. 0000011136 00000 п. 0000011368 00000 п. 0000012298 00000 н. 0000012410 00000 п. 0000012496 00000 п. 0000012759 00000 п. 0000013092 00000 п. 0000013342 00000 п. 0000013891 00000 п. 0000014515 00000 п. 0000014642 00000 п. 0000014931 00000 п. 0000015289 00000 п. 0000015616 00000 п. 0000015905 00000 п. 0000016783 00000 п. 0000017040 00000 п. 0000017329 00000 п. 0000017352 00000 п. 0000018701 00000 п. 0000018724 00000 п. 0000019973 00000 п. 0000019996 00000 п. 0000021629 00000 п. 0000021652 00000 п. 0000023009 00000 п. 0000023032 00000 п. 0000024297 00000 п. 0000024586 00000 п. 0000024830 00000 п. 0000025158 00000 п. 0000025238 00000 п. 0000025559 00000 п. 0000025582 00000 п. 0000026964 00000 п. 0000026987 00000 п. 0000028508 00000 п. 0000028869 00000 п. 0000029250 00000 п. 0000035497 00000 п. 0000035626 00000 п. 0000035991 00000 п. 0000036104 00000 п. 0000036271 00000 п. 0000036400 00000 п. 0000039398 00000 п. 0000039753 00000 п. 0000040108 00000 п. 0000046596 00000 п. 0000046749 00000 п. 0000048752 00000 п. 0000048860 00000 п. 0000048968 00000 н. 0000049077 00000 п. 0000049185 00000 п. 0000049388 00000 п. 0000052467 00000 п. 0000052619 00000 п. 0000052769 00000 п. 0000056128 00000 п. 0000056279 00000 п. 0000058758 00000 п. 0000061564 00000 п. 0000002068 00000 н. 0000003850 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 232 0 объект > endobj 310 0 объект > поток Hb«`f`a`g`hc` @

.