Основы сопромата, расчет прогиба балки

Cодержание:

Основы сопромата кратко.

1. Виды опор.

1.1. Шарнирные опоры.

Расчетная длина (пролет) балки.

1.2. Опорные связи шарнирно закрепленной балки.

1.3 Жесткое защемление на опорах.

1.4. Скользящие заделки.

2. Нагрузки (внешние силы).

3. Напряжения (внутренние силы).

4. Реакции опор.

5. Уравнения статического равновесия.

4.1. Определение опорных реакций.

6. Уравнения изгибающего момента.

7. Балка на двух шарнирных опорах.

8. Консольная балка.

9. Метод сечений.

10. Определение момента сопротивления.

11. Определение угла поворота.

12. Определение прогиба.

13. Определение угла поворота через прогиб.

14. Список использованной литературы.

Расчет прогиба балки не то, чтобы такой уж сложный, но для того, чтобы каждый раз не повторять одни и те же операции при расчете и этим максимально сократить время расчета, специалисты по сопромату уже давно вывели формулы для наиболее вероятных вариантов опор балок и нагрузок, действующих на балки. Достаточно только определиться с расчетной моделью балки и

формула для расчета прогиба к Вашим услугам. Но аксиомы: «если хочешь, чтобы работа была сделана хорошо, сделай это сам» пока никто не отменял. Дело в том, что в разного рода справочниках и пособиях иногда бывают опечатки или ошибки, поэтому использовать готовые формулы не всегда есть хорошо.

11. Определение угла поворота.

(вернуться к основному содержанию)

Прогиб строительной конструкции, а в нашем случае балки — единственная величина, которую проще всего определить опытным путем и сложнее всего теоретическим. Когда мы прикладывали к линейке нагрузку (давили на нее пальцем или мощью своего интеллекта), то невооруженным глазом видели, что линейка прогибалась:

Рисунок 11.1. Перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в центре балки и угол поворота продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения, на одной из опор.

Если бы мы хотели определить величину прогиба опытным путем, то достаточно было бы измерить расстояние от стола, на котором лежат книги (на рисунке не показан) до верха или низа линейки, затем приложить нагрузку и измерить расстояние от стола до верха или низа линейки. Разница в расстояниях — это и есть искомый прогиб (на фотографии величина прогиба обозначена оранжевой линией):

Фотография 1.

Но попробуем прийти к тому же результату, следуя по тернистому пути теории сопромата.

Так как балка прогнулась (в хорошем значении этого слова), получается, что и продольная ось, проходящая через центры тяжести поперечных сечений всех точек балки, и до приложения нагрузки совпадавшая с осью

х, сместилась. Это смещение центра тяжести поперечного сечения по оси у называется прогибом балки f. Кроме того, очевидно, что на опоре эта самая продольная ось теперь находится под некоторым углом θ к оси х, а в точке действия сосредоточенной нагрузки угол поворота = 0, так как нагрузка у нас приложена посредине и балка прогнулась симметрично. Угол поворота принято обозначать «θ«, а прогиб «f» (во многих справочниках по сопромату прогиб обозначается как «ν«, «w» или любыми другими литерами, но нам, как практикам, удобнее использовать обозначение «f«, принятое в СНиПах).

Как определить этот самый прогиб мы пока не знаем, но зато мы знаем, что нагрузка, действуя на балку, создает изгибающий момент. А изгибающий момент создает внутренние нормальные сжимающие и растягивающие напряжения в поперечных сечениях балки. Эти самые внутренние напряжения приводят к тому, что в верхней части балка сжимается, а в нижней растягивается, при этом длина балки по оси, проходящей через центры тяжести поперечных сечений остается такой же, в верхней части длина балки уменьшается, а в нижней части увеличивается, причем чем дальше расположены точки поперечных сечений от продольной оси, тем больше будет деформация. Определить эту самую деформацию мы можем используя еще одну характеристику материала — модуль упругости.

Если мы возьмем кусок бинтовой резины и попробуем его растянуть, то обнаружим, что резина растягивается очень легко, а выражаясь по научному деформируется на значительную величину при воздействии даже небольшой нагрузки. Если мы попробуем проделать то же самое с нашей линейкой, то растянуть ее даже на десятые доли миллиметра руками вряд ли получится, даже если прилагать к линейке нагрузку в десятки раз большую, чем к бинтовой резине. Это свойство любого материала описывается модулем Юнга, который часто называется просто модулем упругости. Физический смысл модуля Юнга при максимально допустимом загружении рассчитываемой конструкции примерно следующий: модуль Юнга показывает отношение нормальных напряжений, (которые при максимально допустимом загружении равны расчетному сопротивлению материала к относительной деформации при таком загружении:

E = R/Δ (11.1.1)

а это значит, что для работы материала в области упругих деформаций значение внутренних нормальных напряжений, действующих не абстрактно, а на вполне определенную площадь сечения, с учетом относительной деформации не должно превышать значения модуля упругости:

E ≥ N/ΔS (11.1.2)

в нашем случае балка имеет прямоугольное сечение, поэтому S = b·h, где b — ширина балки, h — высота балки.

Измеряется модуль Юнга в Паскалях или кгс/м². Для абсолютного большинства строительных материалов модули упругости определены эмпирическим путем, узнать значение модуля для того или иного материала можно по справочнику или

сводной таблице.

Определить величину деформации для поперечного сечения, к которому приложена равномерно распределенная нагрузка или сосредоточенная сила в центре тяжести поперечного сечения, очень просто. В таком сечении возникают нормальные сжимающие или растягивающие напряжения, равные по значению действующей силе, направленные противоположно и постоянные по всей высоте балки (согласно одной из аксиом теоретической механики):

Рисунок 507.10.1

и тогда определить относительную деформацию, если известны геометрические параметры балки (длина, ширина и высота) несложно, простейшие математические преобразования формулы (11.1.2) дают следующий результат:

Δ = Q/(S·Е) (11.2.1) или Δ = q·h/(S

·Е) (11.2.2)

Так как расчетное сопротивление показывает какую максимальную нагрузку можно приложить к определенной площади, то в данном случае мы можем рассматривать действие сосредоточенной нагрузки на всю площадь сечения нашей конструкции. В некоторых случаях важно определить деформации именно в точке приложения сосредоточенной нагрузки, но сейчас мы эти случаи не рассматриваем. Чтобы определить суммарную деформацию, нужно обе части уравнения умножить на длину балки:

Δl = Q·l/(b·h·Е) (11.2.3) или Δl = q·h·l/(b·h·Е) (11.2.4)

Но в рассматриваемом нами случае на поперечные сечения балки действует не сосредоточенная сила, приложенная к центру тяжести поперечного сечения, а изгибающий момент, который можно представить в виде следующей нагрузки:

Рисунок 149.8.3 

При такой нагрузке максимальные внутренние напряжения и соответственно максимальные деформации будут происходить в самой верхней и в самой нижней части балки, а посредине никаких деформаций не будет. Равнодействующую для такой распределенной нагрузки и плечо действия сосредоточенной силы мы находили в предыдущей части (2), когда определяли момент сопротивления балки. Поэтому теперь без особого труда можем определить суммарную деформацию в самой верхней и в самой нижней части балки:

Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) (11.3.1)

или

Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

так как W = b·h²/6 (10.6)

Эту же формулу мы можем получить и другим способом. Как мы знаем, момент сопротивления поперечного сечения балки должен удовлетворять следующему условию:

W ≥ М / R (10.3)

Если мы будем рассматривать эту зависимость как уравнение и заменим в этом уравнении значение R на ΔЕ, получим следующее уравнение:

W = М /

ΔЕ (11.4.1)

И тогда:

М = WΔЕ (11.4.2) a Δ = M/(W·Е) (11.4.5) и соответственно Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

В результате деформации, которую мы только что определили, наша балка могла была бы выглядеть так:

Рисунок 11.2. Предполагаемая (для наглядности) деформация балки

то есть в результате деформаций самая верхняя и самая нижняя точки поперечного сечения сместятся на величину Δх. А это значит, что зная величину деформации и высоту балки, мы можем определить угол поворота θ поперечного сечения на опоре балки. Из школьного курса геометрии мы знаем, что отношение катетов прямоугольного треугольника (в нашем случае катеты Δх и h/2) равно тангенсу угла θ:

tgφ = Δх/(h/2) (11.5.1)

и тогда

tgφ = 2 M·х/(h·W·Е) (11.5.3)

Если вспомнить, что момент инерции — это момент сопротивления поперечного сечения, умноженный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения или наоборот, момент сопротивления — это момент инерции, разделенный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения:

W = I/(h/2) (10.7) или I = W·h/2 (10.7.2)

то мы можем заменить момент сопротивления на момент инерции:

tgφ = M·х/(I·Е) (11.5.4)

хотя делать это было не обязательно, но таким образом мы получили формулу угла поворота почти такой, как она дается во всех учебниках и справочниках по сопромату. Главное отличие в том, что обычно речь идет о угле поворота, а не о тангенсе угла. И хотя при малых деформациях значения тангенса угла и угол сопоставимы, но тем не менее угол и тангенс угла — это разные вещи (впрочем в некоторых справочниках, например: Фесик С.П. «Справочник по сопротивлению материалов» Киев: Будiвельник. — 1982 переход от тангенса к углу упоминается, хотя и без достаточных на мой взгляд объяснений). Более того, если быть совсем уж точным, то таким способом мы определяем отношение продольной деформации к высоте балки

Рассчитываемые элементы далеко не всегда имеют прямоугольное сечение, как наша рассматриваемая линейка. В качестве балок и перемычек могут использоваться различные горячекатаные профили, тесанные и не тесанные бревна и вообще все, что угодно. Тем не менее понимание принципов расчета момента инерции позволяет определить момент инерции для поперечного сечения любой, даже очень сложной геометрической формы. В абсолютном большинстве случаев вычислять самому момент инерции нет необходимости, для металлических профилей сложного сечения (уголки, швеллера, двутавры и др.) момент инерции, как впрочем и момент сопротивления определяется по сортаменту. Для элементов круглого овального, треугольного сечения и некоторых других видов сечения определить момент инерции можно по соответствующей таблице.

Если рассматривать суммарную деформацию всей балки, т.е. по всей длине l, то очевидно, что суммарная деформация при наших нагрузках не может быть только с одной стороны балки, как показано на рисунке 11.3.а:

Рисунок 11.3.

Так как к нашей балке нагрузка приложена посредине, в результате чего реакции на опорах, возникающие в результате действия нагрузки равны между собой и каждая равна половине приложенной нагрузки, то скорее при этих условиях суммарная деформация будет выглядеть так, как показано на рисунке 11.3.b и тогда в нашем конкретном случае угол наклона поперечного сечения на каждой из опор будет:

tgθ = M·х/(2IЕ) (11.5.5)

Пока мы определяли тангенс угла поворота простым графоаналитическим методом и в случае, когда нагрузка к балке приложена посредине, это у нас неплохо получилось. Но варианты приложения нагрузок к балке бывают всякие и хотя суммарная деформация всегда будет равна Δl, но угол наклона поперечных сечений на опорах может быть разным. Если мы присмотримся к формулам (11.5.4) и (11.5.5) повнимательнее, то увидим, что мы умножаем значение момента в некоторой точке на величину х, которая с точки зрения теоретической механики ни чем не отличается от понятия — «плечо действия силы». Получается, что для определения тангенса угла поворота мы должны умножить значение момента на плечо действия момента, и значит, понятие «плечо» можно применить не только к силе, но и к моменту. Когда мы использовали понятие плеча действия силы, открытое еще Архимедом, то мы и предполагали как далеко это может нас завести. Метод, показанный на рисунке 5.3, дал нам значение плеча момента = х/2. Теперь попробуем определить плечо момента другим способом (графоаналитический метод). Тут нам пригодятся эпюры, построенные для балки на шарнирных опорах:

               

          Рисунок 149.7.1                                                             Рисунок 149.7.2

Теория сопротивления материалов позволяет рассматривать внутренние нормальные напряжения, характеризуемые эпюрой «М» рисунка 149.7.1 для балки с постоянной жесткостью, как некую внешнюю фиктивную нагрузку. Тогда площадь эпюры «М» от начала балки до середины пролета — это фиктивная опорная реакция материала балки на равномерно изменяющуюся нагрузку. А фиктивный изгибающий момент — это площадь эпюры «М», умноженная на расстояние от центра тяжести эпюры «М» до рассматриваемой точки. Так как значение изгибающего момента посредине пролета составляет Ql/4, то площадь такой фигуры составит Ql/4(l/2)(1/2) = Ql²/16. А если это значение разделить на жесткость ЕI, то мы получим значение тангенса угла поворота.

Забегая наперед, определим значение прогиба. Расстояние от центра тяжести треугольной эпюры «М» до середины пролета равно l/6, тогда фиктивный изгибающий момент составит (Ql²/16)l/2 — (Ql²/16)l/6 = Ql³/48. Тогда прогиб f = Ql³/48EI. А так как эпюра моментов у нас расположена снизу балки, то такая фиктивная нагрузка будет в итоге давать отрицательное значение угла поворота и прогиба, что в общем-то логично, так как при таком действии нагрузки прогиб — смещение центра тяжести поперечного сечения будет происходить вниз по оси у.

Характерная особенность графоаналитического метода состоит в том, что количество вычислений можно еще сократить. Для этого нужно умножить площадь эпюры фиктивной нагрузки на расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат, а не до рассматриваемой точки на оси. Например, для вышеприведенного случая (Ql²/16)l/3 = Ql³/48

При равномерно распределенной нагрузке эпюра моментов описывается квадратичной параболой, определить площадь такой фигуры и расстояние до центра тяжести сложнее, но для того нам и нужны знания по геометрии, чтобы можно было определить площадь любой фигуры и положение центра тяжести такой фигуры.

Таким образом получается, что для балки, на которую действует сосредоточенная нагрузка в середине балки при х=l/2:

tgθ = М·(x/2)/(ЕI) = ((Ql/4)·(l/4))/(ЕI) = Ql²/(16EI) (11.6.1)

То, что мы только что делали называется интегрированием, ведь если умножить значение значение эпюры «Q» (рисунок 149.7.1) на длину действия нагрузки, мы тем самым определим площадь прямоугольника со сторонами «Q» и х, при этом площадь данного прямоугольника равняется значению эпюры «М» в точке х.

Теоретически получается, что мы можем определить значение тангенса угла поворота, интегрируя одно из уравнений моментов, составленных для нашей балки. Максимальное значение тангенса угла поворота для балки на двух шарнирных опорах, на которую действует сосредоточенная нагрузка посредине (рисунок 149.7.1), будет при х=l/2

tgθ = ∫Mdx/(EI) = ∫Axdx/(EI)= Ax²/(2EI) = (Q/2)·(l/2)²/(2ЕI) = Ql²/(16EI) (11.6.2)

где А — это реакция опоры = Q/2

При распределенной нагрузке интегрирование уравнения моментов: q(l/2)·x — qx²/2 для левой части балки дает следующий результат:

tgθ = ∫Mdx/(EI) = q·(l/2)·(l/2)²/(2ЕI) -q·(l/2)³/(6ЕI) = ql³/(24EI) (11.6.3)

Тот же результат мы получим и при использовании графо-аналитического метода.

Когда мы определяли угол поворота, то для наглядности предположили, что балка деформировалась так, как показано на рисунке 5.2, потом так, как показано на рисунке 11.3.b, потом мы выяснили, что если бы второй опоры не было, то балка повернулась вокруг первой опоры, но в действительности вторая опора есть и потому так балка деформироваться (при нашей нагрузке на балку) не может. Так как на опоре нет никакого вращающего момента и соответственно никаких внутренних напряжений, способных изменить геометрическую форму балки, то геометрическая форма балки на опоре остается неизменной, а внутренние напряжения, увеличивающиеся по ходу балки, деформируют балку все сильнее и это приводит к тому, что балка поворачивается вокруг шарнирных опор и этот угол поворота равен углу наклона поперечного сечения θ (так как мы рассматриваем балку-параллелепипед):

Рисунок 11.4. Реальная деформация балки.

 

Если мы просто постоим эпюру углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой посредине по уравнениям для левой и для правой части балки, то эпюра будет выглядеть так:

Рисунок 11.5.

Данная эпюра была бы правильной только для балки, изображенной на рисунке 5.3.а. Очевидно, что в нашем случае эпюра так выглядеть не может и для построения правильной эпюры нужно учесть, что поперечные сечения балки имеют наклон на обоих опорах, причем наклон этот одинаковый по значению, но разный по направлению а наклон поперечного сечения балки посредине =0. Если мы опустим эпюру на Ql²/16EI, которое мы получаем при интегрировании уравнения моментов для левой части балки и которое показывает угол наклона поперечного сечения именно на опоре, то получим эпюру следующего вида:

Рисунок 11.6.

Данная эпюра абсолютно точно показывает, изменение угла поворота поперечных сечений, вдоль всей балки, а значение тангенса угла поворота на левой опоре балки не что иное, как некая постоянная С₁, которую мы получаем, если интегрирование выполнять корректно. И тогда уравнение угла поворота для балки при данной нагрузке на участке 0<x<0.5l будет выглядеть так:

tgθ_х = — tgθ_A + Ax²/(2EI) (11.6.5)

Эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой визуально ни чем не отличается от эпюры углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой, разница только в том, что эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой — это кубическая парабола. Уравнение угла поворота для балки с равномерно распределенной нагрузкой будет выглядеть так:

tgθ_х = — tgθ_A + Ax²/(2EI) — qx³/(6ЕI) (11.6.6)

По поводу знаков в данном уравнении. «-» означает, что рассматриваемый член уравнения как бы пытается повернуть балку против часовой стрелки относительно рассматриваемого поперечного сечения, а «+» — по часовой стрелке. Впрочем и по эпюре углов поворота видно, что значение tgθ_А должно быть отрицательным. Таким образом, если сечение имеет наклон по часовой стрелке относительно оси х, то оно будет отрицательным, а если против часовой стрелки — то положительным.

 

Ну и теперь самое главное, все эти разборки с углом поворота поперечного сечения нужны нам были для того, чтобы определить прогиб балки.

12. Определение прогиба.

(вернуться к основному содержанию)

Как мы видим из рисунка 11.4, треугольник с катетами h/2 и Δх является подобным треугольнику с катетом Х и вторым катетом, равным f+у, а это значит, что теперь мы можем определить значение прогиба:

tgθ = (f + y)/Х (12.1)

тогда

f + y = tgθ·X (12.2.1) или f + y = М·x·Х/(2ЕI) (12.2)

при малых значениях х значение у близко к 0, но в более дальних точках сечения значение у увеличивается. Значение у — это и есть влияние на величину прогиба наличия второй опоры. Отметим, что это значение у показывает разницу между реальным наклоном продольной оси балки и наклоном продольной оси балки, если бы балка просто поворачивалась вокруг опоры, и получается, что значение у зависит от изменения угла поворота. Кроме того, мы опять получили уравнение, в котором значение прогиба в некоторой точке зависит от тангенса угла поворота (12.2.1) и таким образом получается, что у угла поворота тоже есть «плечо действия». Например при у=f/2 (если присмотреться к левой части фотографии 1, то посредине балки это где-то так и будет) мы бы получили следующую формулу для определения прогиба:

f = М·x²/(3ЕI) (12.3.1)

Но мы не будем ничего предполагать, а воспользуемся интегрированием. Если мы проинтегрируем уравнение моментов для левой части балки, то получим значение у (эпюра для у показана бирюзовым цветом на фотографии 1):

у =∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2)³/6EI = Ql³/(96EI) (12.3.2)

или площадь фиолетовой эпюры для левой части балки(рисунок 5.5), но нам нужна площадь голубой эпюры на левом участке балки (рисунок 5.6), которая в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры. Таким образом:

f =2∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2)³/6EI = Ql³/(48EI) (12.3.3)

Почему площадь голубой эпюры в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры, объяснить очень легко. Площадь треугольника равна 1/2 от площади прямоугольника с теми же сторонами, площадь фигуры, описанной квадратной параболой, составляет 1/3 от площади прямоугольника с теми же сторонами. Если бы мы развернули фиолетовую эпюру, то получили бы прямоугольник, образованный голубой и фиолетовой эпюрами. Соответственно, если из площади прямоугольника вычесть 1/3, то мы получим 2/3. У этого логического ряда есть продолжение — площадь фигуры, описанной кубической параболой, составляет 1/4 от площади прямоугольника с теми же сторонами и так далее.

Мы можем найти значение прогиба и другим способом. Из рисунка 11.4 и формул (12.2) следует, что:

f_х = — tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)

f_l/2 = — (Ql²/16EI) l/2 + (Ql³/96EI) = -(Ql³/48EI) (12.3.5)

В данном случае знак «-» показывает, что центр поперечного сечения балки переместится вниз по оси у относительно оси х. А теперь вернемся к фотографии 1. Под продольной осью балки изображена эпюра у, именно это значение в точке l/2 мы и вычли, решая уравнение (12.3.3).  Кроме того получается, что соотношение между f и у зависит от коэффициента предыдущего интегрирования, т.е. у = kf или f = y/k. Когда мы интегрировали уравнение сил, то получили коэффициент 1/2. Впрочем, такое же значение мы получили и тогда, когда определяли плечо действия момента. Если продолжить этот логический ряд, то получается, что при определении прогиба от распределенной нагрузки мы должны использовать коэффициент 1/3, то есть прогиб в середине балки мы можем вычислить по следующей формуле:

f= 2∫∫∫(ql/2)dx — 3∫∫∫∫qdх = (2(qlx³/6) — 3(qx⁴/24))/EI = 5ql⁴/(384EI) (12.4.4)

или

f_х= — ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdх (12.4.5)

f_l/2 = (- ql³x/24 + (qlx³/6) — (qx⁴/24))/EI = — 5ql⁴/(384EI) (12.4.6)

В данном случае знак «-» означает, что центр тяжести поперечного сечения перемещается вниз по оси у.

Примечание: Предложенный метод определения прогиба несколько отличается от общепринятых, так как я старался сделать основной упор на наглядность.

Если определять прогиб графоаналитическим методом, то площадь фиктивной нагрузки — эпюры моментов, описываемой квадратной параболой, будет составлять (согласно таблице 378.1) (2ql²/(8·3))l/2 = ql³/24. А расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат составляет 5/8, Тогда фиктивный момент равен (ql3/24)(5l/(8·2)) = 5ql⁴/384.

Конечно же, сосредоточенная нагрузка к балке может быть приложена и не посредине, распределенная нагрузка может быть не только равномерно распределенной и действовать не по всей длине балки, да и варианты крепления балки на опорах бывают разные. Но для того и существуют готовые формулы, чтобы ими пользоваться.

-Позвольте! — Скажете вы, — Все это хорошо, но как быть с касательными напряжениями? Ведь они действуют вдоль оси у и потому должны как-то влиять на прогиб!

Все верно. Касательные напряжения действительно влияют на прогиб, однако для балок с соотношением l/h > 10 это влияние очень незначительно и потому допустимо для определения прогиба пользоваться изложенным в данной статье методом.

Но это еще не все, как мы уже говорили, определить значение прогиба опытным путем достаточно просто по методу, описанному в самом начале статьи. Так так ничего лучшего под рукой не было, то я взял деревянную линейку, прообраз которой я так долго описывал (см. фотографию 1). Деревянная линейка имела размеры около 91.5 см, ширину b=4.96 см и высоту h=0.32 cм (высоту и ширину определял штангенциркулем). Затем я положил линейку на опоры, при этом расстояние между опорами составило около 90 см и таким образом получил балку с пролетом l=90 см. Под воздействием собственного веса линейка конечно же немного прогнулась, но столь малый прогиб меня не интересовал. Я измерил рулеткой (точность до 1 мм) расстояние от пола до низа линейки (77.65 см), затем приложил посредине условно сосредоточенную нагрузку (поместил посредине мерный стакан весом около 52 грамм с 250 граммами воды) и измерил расстояние от пола до низа линейки при нагрузке (75.5 см). Разница этих двух измерений и составила искомый прогиб. Таким образом величина прогиба определенного опытным путем составила 77.65 — 75.5 = 2.15 см. Осталось только найти модуль упругости для древесины, определить момент инерции для данного сечения и точно посчитать нагрузку. Модуль упругости Е для древесины = 10⁵ кгс/см², момент инерции прямоугольного сечения I_z = bh³/12 = 4.98·0.32³/12 = 0.01359872 см⁴, полная нагрузка — 0.302 кг.

Расчет прогиба по формуле дал: f = Ql³/(48EI) = 0.302·90³/(48·10⁵·0.0136) = 3.37 см. Напомню, что прогиб, определенный опытным путем, составил: f = 2.15 см. Возможно следовало учесть влияние на прогиб первой производной функции — тангенса угла поворота? Ведь угол наклона, судя по фотографии, достаточно большой.

Проверяем: tgθ = Ql²/(16EI) = 0.302·90²/(16·10⁵·0.0136) = 0.11233. Тогда согласно формулы (542.12) f = 3.37/((1 + 0.112²)^3/2) = 3.307 см. Т.е. влияние конечно есть, но оно не превышает 2% или 0.63 мм. 

Результат меня сначала удивил, но потом объяснений для такого расхождения нашлось несколько, в частности в середине поперечное сечение линейки было не прямоугольным, так как линейка была деформирована от времени и воздействия воды, соответственно момент инерции для такого сечения больше чем, для прямоугольного, кроме того, линейка изготовлена не из сосны, а из более твердой породы древесины, для которой и модуль упругости следует принимать больше. Да и с научной точки зрения одного результата совершенно недостаточно, чтобы говорить о каких-либо закономерностях. После этого я проверил величину прогиба для деревянного бруска с моментом инерции I=2.02 см⁴, длиной более 2 м при пролете 2 м под нагрузкой 2 кг, приложенной посредине бруска и тогда значение прогиба, определенного теоретическим путем и опытным путем, совпало до десятых долей миллиметра. Конечно, можно было бы и дальше продолжать эксперименты, но так уж получилось, что до меня это уже сделали сотни других людей и получили на практике результаты, очень близкие к теоретическим. А если еще учесть, что идеально изотропные материалы бывают только в теории, то это очень хорошие результаты.

13. Определение угла поворота через прогиб.

(вернуться к основному содержанию)

Определить значение угла поворота для шарнирно опертой балки, на которую действует только изгибающий момент M на одной из опор, например на опоре А, казалось бы, проще простого:

tgθ_х = — tgθ_A + Мx/(EI) — Аx²/(2ЕI) (13.1.1)

где А = М/l, (B = — M/l), но для этого нужно знать угол поворота на опоре А, а мы его не знаем, однако вычислить его помогает понимание того, что прогиб на опорах будет равен нулю и тогда:

f_A = tgθ_Bl — Bl³/(6EI) = 0; tgθ_B = — Ml³/(6l²EI) = — Ml/(6EI) (13.1.2)

f_B = tgθ_Al + Ml²/(2EI)- Al³/(6EI) = 0; tgθ_A = — Ml/(3EI) (13.1.3)

Как видим, угол поворота на опоре к которой приложен изгибающий момент, в два раза больше угла поворота на противоположной опоре, это очень важная закономерность, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

Когда сосредоточенная нагрузка к балке приложена не по центру тяжести или распределенная нагрузка является неравномерной, то углы поворота на опорах определяются через прогиб, как в вышеприведенном примере. Другими словами — значения начальных параметров определяются в ходе решения дифференциальных уравнений.

doctorlom.com

Расчет квадратной трубы на прогиб и изгиб

Замкнутые профили, какими являются квадратные, прямоугольные и круглые трубы, — это вариант для тех, у кого нет возможности использовать деревянные конструкции, но есть желание предать будущему сооружению хорошую эстетичность. Например, каркас козырька, сваренный из квадратных труб, выглядит более эстетично, чем тот же козырек, сваренный из уголков.

Содержание:

1. Калькулятор

2. Инструкция к калькулятору

На данной странице Вам представлен калькулятор способный подбирать сечение квадратной трубы по прочности и деформациям. Другими словами, с помощью данного калькулятора Вы можете произвести расчет квадратной трубы на прогиб и изгиб по ГОСТ 30245-2003 «Профили стальные гнутые замкнутые сварные квадратные для строительных конструкций».

Рассчитать квадратную трубу можно для следующих расчетных схем:

• Тип 1 — балка с одним пролетом с приложенной на нее равномерно распределенной нагрузкой.

• Тип 2 — жестко защемленная консоль с равномерно распределенной нагрузкой.

• Тип 3 — балка лежащая на двух опорах с выведенной консолью с одной стороны.

• Тип 4 — однопролетная шарнирно опертая балка с приложенной на нее сосредоточенной нагрузкой.

• Тип 5 — то же самое, что и тип 4, только с двумя сосредоточенными нагрузками.

• Тип 6 — консоль с жестким защемлением с приложенной на нее сосредоточенной нагрузкой.

Калькулятор

svoydomtoday.ru

Расчет балки на изгиб — favorit-tk

Расчет балки на изгиб
Рассчитывать балку на изгиб можно несколькими вариантами:
1. Расчет максимальной нагрузки, которую она выдержит
2. Подбор сечения этой балки
3. Расчет по максимальным допустимым напряжениям (для проверки)[/i]
Давайте рассмотрим общий принцип подбора сечения балки на двух опорах загруженной равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.
Для начала, вам необходимо будет найти точку (сечение), в которой будет максимальный момент. Это зависит от опирания балки или же ее заделки. Снизу приведены эпюры изгибающих моментов для схем, которые встречаются чаще всего.
После нахождения изгибающего момента мы должны найти момент сопротивления Wx этого сечения по формуле приведенной в таблице:
Далее, при делении максимального изгибающего момента на момент сопротивления в данном сечении, мы получаем максимальное напряжение в балке и это напряжение мы должны сравнить с напряжением, которое вообще сможет выдержать наша балка из заданного материала.
Для пластичных материалов (сталь, алюминий и т.п.) максимальное напряжение будет равно пределу текучести материала, а для хрупких (чугун) – пределу прочности. Предел текучести и предел прочности мы можем найти по таблицам ниже.
Давайте рассмотрим пару примеров:
1. [i]Вы хотите проверить, выдержит ли вас двутавр №10 (сталь Ст3сп5) длиной 2 метра жестко заделанного в стену, если вы на нем повисните. Ваша масса пусть будет 90 кг.[/i]
Для начала нам необходимо выбрать расчетную схему.
На данной схеме видно, что максимальный момент будет в заделке, а поскольку наш двутавр имеет одинаковое сечение по всей длине, то и максимальное напряжение будет в заделке. Давайте найдем его:
P = m * g = 90 * 10 = 900 Н = 0.9 кН
М = P * l = 0.9 кН * 2 м = 1.8 кН*м
По таблице сортамента двутавров находим момент сопротивления двутавра №10.
Он будет равен 39.7 см3. Переведем в кубические метры и получим 0.0000397 м3.
Далее по формуле находим максимальные напряжения, которые у нас возникают в балке.
б = М / W = 1.8 кН/м / 0.0000397 м3 = 45340 кН/м2 = 45.34 МПа
После того, как мы нашли максимальное напряжение, которое возникает в балке, то мы его может сравнить с максимально допустимым напряжением равным пределу текучести стали Ст3сп5 – 245 МПа.
45.34 МПа
2. [i]Поскольку у нас получился доволи-таки большой запас, то решим вторую задачу, в которой найдем максимально возможную массу, которую выдержит все тот же двутавр №10 длиной 2 метра.[/i]
Если мы хотим найти максимальную массу, то значения предела текучести и напряжения, которое будет возникать в балке, мы должны приравнять (б=245 Мпа = 245 000 кН*м2).
Далее по формуле б = М / W, находим максимальный момент.
М = б * W = 245 000 * 0.0000397 = 9.73 кН * м
Тогда по формуле M = P * L найдем P:
P = 9,73 кН/м / 2м = 4,87 кН = 487 кг
Итак, максимальная масса, которую выдержит двутавр №10 – 487 кг. Число это грубое, поскольку для простоты расчета мы не учитывали различные коэффициенты запаса, поэтому, чтобы подстраховаться, возьмите некий двукратный запас по прочности.

favorit-tk.ru

Расчет прогиба пластины в Excel

Опубликовано 26 Мар 2016
Рубрика: Механика | 74 комментария

При выполнении расчетов стенок емкостей, стенок конструкций или различных покрытий возникает задача определения напряжений и прогибов. Хочется ответа на простые вопросы — на сколько и как выгнется пластина под нагрузкой, и не разрушится ли она? Теория предлагает…

…по заданной известной функции нагрузки найти функцию прогибов. Для этого нужно решить неоднородное бигармоническое дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных. От одного прочтения предыдущего предложения, я думаю, многим читателям стало грустно и тоскливо. А если добавить, что для практической реализации одного из методов предстоит решить систему из 15-и уравнений и найти 15 неизвестных, то большинство на этом просто прекратят чтение и потеряют всякий интерес к теме, либо продолжат поиск программ, выполняющих автоматически подобные расчеты. Эти программы, выполняющие расчет прогиба пластин, чаще всего реализуют приближенные численные методы конечных элементов и конечных разностей и стоят приличных денег.

Но есть и другой путь… (Как известно, выходов всегда не меньше двух…) Эта дорога старая, заросшая лесом новых теорий, но не до конца забытая!

Этот путь является достаточно узким и индивидуальным для различных форм пластин, способов закрепления контуров и относительных величин прогибов. Для каждой расчетной схемы – свои таблицы коэффициентов к расчетным формулам! Расчет прогиба пластины по старым методикам прост – это несомненный плюс, но не универсален – это существенный минус.

Цель данной статьи – рассказать, как наши деды — инженеры прошлого века — решали такие практические вопросы, и показать простой пример модернизированного расчета в Excel задачи об изгибе пластины для одного из наиболее распространенных случаев в практике.

Из-за отсутствия каких-либо машин для выполнения рутинных сложных расчетов (кроме светлой головы, листка бумаги, карандаша, таблиц функций и логарифмической линейки ничего не было) ученые в начале и в середине 20-ого века стремились вооружить простого инженера короткими и понятными алгоритмами, «привязанными» к  рассчитанным в НИИ номограммам и таблицам. Такой подход обеспечивал значительное упрощение и ускорение работы инженеров, хотя и не давал им полного понимания теории.

Расчет прогиба пластины изучается в общей теории оболочек, которая является сложным самостоятельным разделом механики, давно выделившимся из недр классического сопромата.

Теория тонких пластин распространяется на листы и плиты, у которых толщина h менее 20% от наименьшего габаритного размера в плане a.

Тонкие пластины делят на 3 класса в зависимости от величины максимального прогиба w:

жесткие — w<0,25h

гибкие — 0,25h<w<5h

абсолютно гибкие — w>5h

Попадание конкретной пластины в тот или иной класс, как видите, зависит от прогиба, а значит — от величины нагрузки. Важно отметить, что одна и та же пластина при разных нагрузках может быть отнесена к разным классам, и расчет её будет производиться по различным формулам.

Далее в примере рассматривается тонкая жесткая пластина.

Расчет в Excel  прогиба пластины. Пример.

Прямоугольная пластина из изотропного материала (Сталь Ст3) жестко закреплена по всему контуру. В перпендикулярном направлении к плоскости пластины приложена равномерно распределенная по всей площади нагрузка.

Требуется вычислить наибольший прогиб пластины от действия нагрузки и найти максимальные возникающие в теле листа напряжения.

Исходные данные:

Первые три параметра являются справочными характеристиками свойств материала пластины.

1. Предел текучести для пластичных материалов или прочности для хрупких материалов [σ] в Н/мм² записываем

в ячейку  D3: 245

Этот параметр не участвует в расчетах и нужен лишь для сравнения с полученными в результате расчета напряжениями. Правильнее вместо него использовать допускаемые напряжения материала с учетом всех запасов для конкретного случая применения.

2. Модуль упругости или модуль Юнга E в Н/мм² заносим

в D4: 210000

3. Коэффициент Пуассона μ вписываем

в D5: 0,28

В примечаниях к ячейкам D4 и D5 приведены значения модулей упругости и коэффициентов Пуассона для некоторых материалов.

4.,5.,6. Далее вводим в таблицу размеры пластины h, a и b в мм

в ячейку  D6: 5,0

в D7: 500

в D8: 1000

В примечаниях к ячейкам D6, D7 и D8 записаны ограничения, которые должны соблюдаться. В случае их нарушения цифры окрашиваются инверсным белым цветом, а поле ячейки – красным, сообщая пользователю об ошибке ввода данных.

7. Значение распределенной равномерно по всей площади нагрузки q в Н/мм² вносим

в D9: 0,016

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

Ссылка на скачивание файла с программой: raschet-progiba-plastiny (xls 90,5KB).

Результаты расчета:

8. Цилиндрическую жесткость пластины D в Н*мм (аналог EI – линейной жесткости для стержней) вычисляем

в ячейке D11: D=(E*h³)/(12*(1- μ²)=2373589

9.,11. Безразмерные коэффициенты k₁ и k₂, зависящие от формы и размеров пластины, а также от способов закрепления контурных сторон, можно найти в таблицах старых справочников (Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки; Вайнберг Д.В, Вайнберг Е.Д. Расчет пластин). Правда, k₂ зависит еще и от μ, а в таблицах приведены значения только для стали μ≈0,3 и бетона μ≈1/6, но, проанализировав ряд таблиц, можно увидеть, что эта зависимость не очень значительная…

Выполнив аппроксимацию в Excel табличных данных, получим аналитические выражения для расчетов коэффициентов

в ячейке D12: при 0,5<a/b<1

k₁=0,16747*(a/b)⁶-0,766*(a/b)⁵+1,4455*(a/b)⁴-1,4342*(a/b)³+0,78433*(a/b)²-0,22506*(a/b)+0,029239=0,0254

при 0<a/b<0,5

k₁=-0,00012*(a/b)+0,0026=0,0254

в D14: при 0,5<a/b<1

k₂=0,71922*(a/b)⁶-3,1489*(a/b)⁵+5,6353*(a/b)⁴-5,1372*(a/b)³+2,3658*(a/b)²-0,50294*(a/b)+0,12003=0,0829

при 0<a/b<0,5

k₁=-0,0008*(a/b)+0,0833=0,0829

Точность аппроксимации очень и очень высокая. Об этом можно судить как по абсолютным Δ_абс и относительным Δ_отн погрешностям, так и по величине достоверности R².

10. Максимальный прогиб пластины w в мм будет в рассматриваемой схеме в центре пластины в точке O; вычисляем его

в ячейке D13: w=k₁*q*a⁴/D=1,07

Расчет прогиба в MS Excel выполнен. Величина прогиба не превышает четверти толщины листа, следовательно применение использованных формул правомерно.

12. Наибольшие моменты на единицу длины сечения пластины M_max возникают в рассматриваемой схеме по серединам больших сторон контура в точках A и A’. Вычисляем их в Н*мм/мм

в ячейке D15: M_max=k₂*q*a²=332

13. Наибольшие напряжения в пластине σ_max в точках действия максимального момента вычисляем в Н/мм²

в ячейке D16: σ_max=6* M_max/h²=80

Напряжения не превышают предела текучести. Деформации листа являются упругими, после снятия нагрузки пластина вернется в исходное плоское состояние.

Заключение.

По предложенной программе в Excel можно выполнять расчет прогиба тонкой жесткой прямоугольной пластины из любого изотропного материала – стекла, пластмассы, бетона, любого металла при жестком закреплении контура.

Прогиб вычисляется точно для любых материалов. Напряжения рассчитываются точно только для стали. Чем значительней коэффициент Пуассона материала отличается от коэффициента Пуассона стали, тем больше будет ошибка в определении действующих напряжений.

Так как способов закрепления контура пластины, видов форм пластины, сочетаний нагрузок — очень много, то задача расчета прогибов при рассмотренном подходе к решению распадается на сотни индивидуальных задач, в которых значения коэффициентов  k₁ и k₂ также индивидуальны!

Возможно развитие программы для решения других вариантов задач по вашим, уважаемые читатели, индивидуальным запросам.

В продолжение темы «Расчет прогиба пластины» может быть в одной из будущих публикаций попробую рассмотреть более универсальный подход – метод конечных разностей с использованием MS Excel.

Напишите ваше мнение о статье или возникшие вопросы  в комментариях.

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

al-vo.ru

Расчет балки на изгиб | Блог Александра Воробьева

Опубликовано 28 Апр 2013
Рубрика: Механика | 88 комментариев

Расчет балки на изгиб «вручную», по-дедовски, позволяет познать один из важнейших, красивейших, четко математически выверенных алгоритмов науки сопротивление материалов. Использование многочисленных программ типа «ввел исходные данные…

…– получи ответ» позволяет современному инженеру сегодня работать гораздо быстрее, чем его предшественникам сто, пятьдесят и даже двадцать лет назад. Однако при таком современном подходе инженер вынужден полностью доверять авторам программы и со временем перестает «ощущать физический смысл» расчетов. Но авторы программы – это люди, а людям свойственно ошибаться. Если бы это было не так, то не было бы многочисленных патчей, релизов, «заплаток» практически к любому программному обеспечению. Поэтому, мне кажется, любой инженер должен уметь иногда «вручную» проверить результаты расчетов.

Справка (шпаргалка, памятка) для расчётов балок на изгиб представлена ниже на рисунке.

Давайте на простом житейском примере попробуем ей воспользоваться. Допустим, я решил сделать в квартире турник. Определено место – коридор шириной один метр двадцать сантиметров. На противоположных стенах на необходимой высоте напротив друг друга надежно закрепляю кронштейны, к которым будет крепиться балка-перекладина – пруток из стали Ст3 с наружным диаметром тридцать два миллиметра. Выдержит  ли эта балка мой вес плюс дополнительные динамические нагрузки, которые возникнут при выполнении упражнений?

Чертим схему для расчета балки на изгиб. Очевидно, что наиболее опасной будет схема приложения внешней нагрузки, когда я начну подтягиваться, зацепившись одной рукой за середину перекладины.

Исходные данные:

F1 = 900 н – сила, действующая на балку (мой вес) без учета динамики

b1 = 0 м

b2 = 0,6 м

b3 = 1,2 м

d = 32 мм – наружный диаметр прутка, из которого сделана балка

E = 206000 н/мм^2 — модуль упругости материала балки стали Ст3

[σи] = 250 н/мм^2 — допустимые напряжения изгиба (предел текучести) для материала балки   стали Ст3

Граничные условия:

Мx (0) = 0 н*м – момент в точке z = 0 м (первая опора)

Мx (1,2) = 0 н*м– момент в точке z = 1,2 м (вторая опора)

V (0) = 0 мм – прогиб в точке z = 0 м (первая опора)

V (1,2) = 0 мм – прогиб в точке z = 1,2 м (вторая опора)

Расчет:

1. Для начала вычислим момент инерции Ix и момент сопротивления Wx сечения балки. Они нам пригодятся в дальнейших расчетах. Для кругового сечения (каковым является сечение прутка):

Ix = (π*d^4)/64 = (3.14*(32/10)^4)/64 = 5,147 см^4

Wx = (π*d^3)/32 = ((3.14*(32/10)^3)/32) = 3,217 см^3

2. Составляем уравнения равновесия для вычисления реакций опор R1 и R2:

Qy = -R1+F1-R2 = 0

Мx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0

Из второго уравнения: R2 = F1*b2/b3 = 900*0.6/1.2 = 450 н

Из первого уравнения: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 н

3. Найдем угол поворота балки в первой опоре при z = 0 из уравнения прогиба для второго участка:

V (1.2) = V (0)+U (0)*1.2+(-R1*((1.2-b1)^3)/6+F1*((1.2-b2)^3)/6)/

/(E*Ix) = 0

U (0) = (R1*((1.2-b1)^3)/6 -F1*((1.2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =

= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/

/(206000*5,147/100)/1,2  = 0,00764 рад = 0,44˚

4. Составляем уравнения для построения эпюр для первого участка (0<z<b2):

Поперечная сила: Qy (z) = -R1

Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1)

Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix)

Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix)

z = 0 м:

Qy (0) = -R1 = -450 н

Мx (0) = 0

Ux (0) = U (0) = 0,00764 рад

Vy (0) = V (0) = 0 мм

z = 0,6 м:

Qy (0,6) = -R1 = -450 н

Мx (0,6) = -R1*(0,6-b1) = -450*(0,6-0) = -270 н*м

Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) =

= 0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 рад

Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) =

= 0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 м

Балка прогнется по центру на 3 мм под тяжестью моего тела. Думаю, это приемлемый прогиб.

5. Пишем уравнения эпюр для второго участка (b2<z<b3):

Поперечная сила: Qy (z) = -R1+F1

Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2)

Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix)

Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/(E*Ix)

z = 1,2 м:

Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450 н

Мx (1,2) = 0 н*м

Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E*Ix) =

= 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/

/(206000*5,147/100) = -0.00764 рад

Vy (1,2) = V (1,2) = 0 м

6. Строим эпюры, используя данные полученные выше.

7. Рассчитываем напряжения изгиба в наиболее нагруженном сечении – посередине балки и сравниваем с допустимыми напряжениями:

σи = Mx max/Wx = (270*1000)/(3,217*1000) = 84 н/мм^2

σи = 84 н/мм^2 < [σи] = 250 н/мм^2

По прочности на изгиб расчет показал трехкратный запас прочности – турник можно смело делать из имеющегося прутка диаметром тридцать два миллиметра и длиной тысяча двести миллиметров.

Таким образом, вы теперь легко можете произвести расчет балки на изгиб «вручную» и сравнить с результатами, полученными при расчете по любой из многочисленных программ, представленных в Сети.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора ПОДПИСАТЬСЯ на анонсы статей.

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

al-vo.ru