Расчет балки на прогиб: Расчет балки на прогиб и прочность

Содержание

Основы сопромата, расчет прогиба балки

Cодержание:

Основы сопромата кратко.

1. Виды опор.

1.1. Шарнирные опоры.

Расчетная длина (пролет) балки.

1.2. Опорные связи шарнирно закрепленной балки.

1.3 Жесткое защемление на опорах.

1.4. Скользящие заделки.

2. Нагрузки (внешние силы).

3. Напряжения (внутренние силы).

4. Реакции опор.

5. Уравнения статического равновесия.

4.1. Определение опорных реакций.

6. Уравнения изгибающего момента.

7. Балка на двух шарнирных опорах.

8. Консольная балка.

9. Метод сечений.

10. Определение момента сопротивления.

11. Определение угла поворота.

12. Определение прогиба.

13. Определение угла поворота через прогиб.

14. Список использованной литературы.

Расчет прогиба балки не то, чтобы такой уж сложный, но для того, чтобы каждый раз не повторять одни и те же операции при расчете и этим максимально сократить время расчета, специалисты по сопромату уже давно вывели формулы для наиболее вероятных вариантов опор балок и нагрузок, действующих на балки. Достаточно только определиться с расчетной моделью балки и

формула для расчета прогиба к Вашим услугам. Но аксиомы: «если хочешь, чтобы работа была сделана хорошо, сделай это сам» пока никто не отменял. Дело в том, что в разного рода справочниках и пособиях иногда бывают опечатки или ошибки, поэтому использовать готовые формулы не всегда есть хорошо.

11. Определение угла поворота.

(вернуться к основному содержанию)

Прогиб строительной конструкции, а в нашем случае балки — единственная величина, которую проще всего определить опытным путем и сложнее всего теоретическим. Когда мы прикладывали к линейке нагрузку (давили на нее пальцем или мощью своего интеллекта), то невооруженным глазом видели, что линейка прогибалась:

Рисунок 11.1. Перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в центре балки и угол поворота продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения, на одной из опор.

Если бы мы хотели определить величину прогиба опытным путем, то достаточно было бы измерить расстояние от стола, на котором лежат книги (на рисунке не показан) до верха или низа линейки, затем приложить нагрузку и измерить расстояние от стола до верха или низа линейки. Разница в расстояниях — это и есть искомый прогиб (на фотографии величина прогиба обозначена оранжевой линией):

Фотография 1.

Но попробуем прийти к тому же результату, следуя по тернистому пути теории сопромата.

Так как балка прогнулась (в хорошем значении этого слова), получается, что и продольная ось, проходящая через центры тяжести поперечных сечений всех точек балки, и до приложения нагрузки совпадавшая с осью

х, сместилась. Это смещение центра тяжести поперечного сечения по оси у называется прогибом балки f. Кроме того, очевидно, что на опоре эта самая продольная ось теперь находится под некоторым углом θ к оси х, а в точке действия сосредоточенной нагрузки угол поворота = 0, так как нагрузка у нас приложена посредине и балка прогнулась симметрично. Угол поворота принято обозначать «θ«, а прогиб «f» (во многих справочниках по сопромату прогиб обозначается как «ν«, «w» или любыми другими литерами, но нам, как практикам, удобнее использовать обозначение «f«, принятое в СНиПах).

Как определить этот самый прогиб мы пока не знаем, но зато мы знаем, что нагрузка, действуя на балку, создает изгибающий момент. А изгибающий момент создает внутренние нормальные сжимающие и растягивающие напряжения в поперечных сечениях балки. Эти самые внутренние напряжения приводят к тому, что в верхней части балка сжимается, а в нижней растягивается, при этом длина балки по оси, проходящей через центры тяжести поперечных сечений остается такой же, в верхней части длина балки уменьшается, а в нижней части увеличивается, причем чем дальше расположены точки поперечных сечений от продольной оси, тем больше будет деформация. Определить эту самую деформацию мы можем используя еще одну характеристику материала — модуль упругости.

Если мы возьмем кусок бинтовой резины и попробуем его растянуть, то обнаружим, что резина растягивается очень легко, а выражаясь по научному деформируется на значительную величину при воздействии даже небольшой нагрузки. Если мы попробуем проделать то же самое с нашей линейкой, то растянуть ее даже на десятые доли миллиметра руками вряд ли получится, даже если прилагать к линейке нагрузку в десятки раз большую, чем к бинтовой резине. Это свойство любого материала описывается модулем Юнга, который часто называется просто модулем упругости. Физический смысл модуля Юнга при максимально допустимом загружении рассчитываемой конструкции примерно следующий: модуль Юнга показывает отношение нормальных напряжений, (которые при максимально допустимом загружении равны расчетному сопротивлению материала к относительной деформации при таком загружении:

E = R/Δ (11.1.1)

а это значит, что для работы материала в области упругих деформаций значение внутренних нормальных напряжений, действующих не абстрактно, а на вполне определенную площадь сечения, с учетом относительной деформации не должно превышать значения модуля упругости:

E ≥ N/ΔS (11.1.2)

в нашем случае балка имеет прямоугольное сечение, поэтому S = b·h, где b — ширина балки, h — высота балки.

Измеряется модуль Юнга в Паскалях или кгс/м2. Для абсолютного большинства строительных материалов модули упругости определены эмпирическим путем, узнать значение модуля для того или иного материала можно по справочнику или

сводной таблице.

Определить величину деформации для поперечного сечения, к которому приложена равномерно распределенная нагрузка или сосредоточенная сила в центре тяжести поперечного сечения, очень просто. В таком сечении возникают нормальные сжимающие или растягивающие напряжения, равные по значению действующей силе, направленные противоположно и постоянные по всей высоте балки (согласно одной из аксиом теоретической механики):

Рисунок 507.10.1

и тогда определить относительную деформацию, если известны геометрические параметры балки (длина, ширина и высота) несложно, простейшие математические преобразования формулы (11.1.2) дают следующий результат:

Δ = Q/(S·Е) (11.2.1) или Δ = q·h/(S

·Е) (11.2.2)

Так как расчетное сопротивление показывает какую максимальную нагрузку можно приложить к определенной площади, то в данном случае мы можем рассматривать действие сосредоточенной нагрузки на всю площадь сечения нашей конструкции. В некоторых случаях важно определить деформации именно в точке приложения сосредоточенной нагрузки, но сейчас мы эти случаи не рассматриваем. Чтобы определить суммарную деформацию, нужно обе части уравнения умножить на длину балки:

Δl = Q·l/(b·h·Е) (11.2.3) или Δl = q·h·l/(b·h·Е) (11.2.4)

Но в рассматриваемом нами случае на поперечные сечения балки действует не сосредоточенная сила, приложенная к центру тяжести поперечного сечения, а изгибающий момент, который можно представить в виде следующей нагрузки:

Рисунок 149.8.3 

При такой нагрузке максимальные внутренние напряжения и соответственно максимальные деформации будут происходить в самой верхней и в самой нижней части балки, а посредине никаких деформаций не будет. Равнодействующую для такой распределенной нагрузки и плечо действия сосредоточенной силы мы находили в предыдущей части (2), когда определяли момент сопротивления балки. Поэтому теперь без особого труда можем определить суммарную деформацию в самой верхней и в самой нижней части балки:

Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) (11.3.1)

или

Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

так как W = b·h2/6 (10.6)

Эту же формулу мы можем получить и другим способом. Как мы знаем, момент сопротивления поперечного сечения балки должен удовлетворять следующему условию:

W ≥ М / R (10.3)

Если мы будем рассматривать эту зависимость как уравнение и заменим в этом уравнении значение R на ΔЕ, получим следующее уравнение:

W = М /

ΔЕ (11.4.1)

И тогда:

М = WΔЕ (11.4.2) a Δ = M/(W·Е) (11.4.5) и соответственно Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

В результате деформации, которую мы только что определили, наша балка могла была бы выглядеть так:

Рисунок 11.2. Предполагаемая (для наглядности) деформация балки

то есть в результате деформаций самая верхняя и самая нижняя точки поперечного сечения сместятся на величину Δх. А это значит, что зная величину деформации и высоту балки, мы можем определить угол поворота θ поперечного сечения на опоре балки. Из школьного курса геометрии мы знаем, что отношение катетов прямоугольного треугольника (в нашем случае катеты Δх и h/2) равно тангенсу угла θ:

tgφ = Δх/(h/2) (11.5.1)

и тогда

tgφ = 2 M·х/(h·W·Е) (11.5.3)

Если вспомнить, что момент инерции — это момент сопротивления поперечного сечения, умноженный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения или наоборот, момент сопротивления — это момент инерции, разделенный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения:

W = I/(h/2) (10.7) или I = W·h/2 (10.7.2)

то мы можем заменить момент сопротивления на момент инерции:

tgφ = M·х/(I·Е) (11.5.4)

хотя делать это было не обязательно, но таким образом мы получили формулу угла поворота почти такой, как она дается во всех учебниках и справочниках по сопромату. Главное отличие в том, что обычно речь идет о угле поворота, а не о тангенсе угла. И хотя при малых деформациях значения тангенса угла и угол сопоставимы, но тем не менее угол и тангенс угла — это разные вещи (впрочем в некоторых справочниках, например: Фесик С.П. «Справочник по сопротивлению материалов» Киев: Будiвельник. — 1982 переход от тангенса к углу упоминается, хотя и без достаточных на мой взгляд объяснений). Более того, если быть совсем уж точным, то таким способом мы определяем отношение продольной деформации к высоте балки

Рассчитываемые элементы далеко не всегда имеют прямоугольное сечение, как наша рассматриваемая линейка. В качестве балок и перемычек могут использоваться различные горячекатаные профили, тесанные и не тесанные бревна и вообще все, что угодно. Тем не менее понимание принципов расчета момента инерции позволяет определить момент инерции для поперечного сечения любой, даже очень сложной геометрической формы. В абсолютном большинстве случаев вычислять самому момент инерции нет необходимости, для металлических профилей сложного сечения (уголки, швеллера, двутавры и др.) момент инерции, как впрочем и момент сопротивления определяется по сортаменту. Для элементов круглого овального, треугольного сечения и некоторых других видов сечения определить момент инерции можно по соответствующей таблице.

Если рассматривать суммарную деформацию всей балки, т.е. по всей длине l, то очевидно, что суммарная деформация при наших нагрузках не может быть только с одной стороны балки, как показано на рисунке 11.3.а:

Рисунок 11.3.

Так как к нашей балке нагрузка приложена посредине, в результате чего реакции на опорах, возникающие в результате действия нагрузки равны между собой и каждая равна половине приложенной нагрузки, то скорее при этих условиях суммарная деформация будет выглядеть так, как показано на рисунке 11.3.b и тогда в нашем конкретном случае угол наклона поперечного сечения на каждой из опор будет:

tgθ = M·х/(2IЕ) (11.5.5)

Пока мы определяли тангенс угла поворота простым графоаналитическим методом и в случае, когда нагрузка к балке приложена посредине, это у нас неплохо получилось. Но варианты приложения нагрузок к балке бывают всякие и хотя суммарная деформация всегда будет равна Δl, но угол наклона поперечных сечений на опорах может быть разным. Если мы присмотримся к формулам (11.5.4) и (11.5.5) повнимательнее, то увидим, что мы умножаем значение момента в некоторой точке на величину х, которая с точки зрения теоретической механики ни чем не отличается от понятия — «плечо действия силы». Получается, что для определения тангенса угла поворота мы должны умножить значение момента на плечо действия момента, и значит, понятие «плечо» можно применить не только к силе, но и к моменту. Когда мы использовали понятие плеча действия силы, открытое еще Архимедом, то мы и предполагали как далеко это может нас завести. Метод, показанный на рисунке 5.3, дал нам значение плеча момента = х/2. Теперь попробуем определить плечо момента другим способом (графоаналитический метод). Тут нам пригодятся эпюры, построенные для балки на шарнирных опорах:

               

          Рисунок 149.7.1                                                             Рисунок 149.7.2

Теория сопротивления материалов позволяет рассматривать внутренние нормальные напряжения, характеризуемые эпюрой «М» рисунка 149.7.1 для балки с постоянной жесткостью, как некую внешнюю фиктивную нагрузку. Тогда площадь эпюры «М» от начала балки до середины пролета — это фиктивная опорная реакция материала балки на равномерно изменяющуюся нагрузку. А фиктивный изгибающий момент — это площадь эпюры «М», умноженная на расстояние от центра тяжести эпюры «М» до рассматриваемой точки. Так как значение изгибающего момента посредине пролета составляет Ql/4, то площадь такой фигуры составит Ql/4(l/2)(1/2) = Ql2/16. А если это значение разделить на жесткость ЕI, то мы получим значение тангенса угла поворота.

Забегая наперед, определим значение прогиба. Расстояние от центра тяжести треугольной эпюры «М» до середины пролета равно l/6, тогда фиктивный изгибающий момент составит (Ql2/16)l/2 — (Ql2/16)l/6 = Ql3/48. Тогда прогиб f = Ql3/48EI. А так как эпюра моментов у нас расположена снизу балки, то такая фиктивная нагрузка будет в итоге давать отрицательное значение угла поворота и прогиба, что в общем-то логично, так как при таком действии нагрузки прогиб — смещение центра тяжести поперечного сечения будет происходить вниз по оси у.

Характерная особенность графоаналитического метода состоит в том, что количество вычислений можно еще сократить. Для этого нужно умножить площадь эпюры фиктивной нагрузки на расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат, а не до рассматриваемой точки на оси. Например, для вышеприведенного случая (Ql2/16)l/3 = Ql3/48

При равномерно распределенной нагрузке эпюра моментов описывается квадратичной параболой, определить площадь такой фигуры и расстояние до центра тяжести сложнее, но для того нам и нужны знания по геометрии, чтобы можно было определить площадь любой фигуры и положение центра тяжести такой фигуры.

Таким образом получается, что для балки, на которую действует сосредоточенная нагрузка в середине балки при х=l/2:

tgθ = М·(x/2)/(ЕI) = ((Ql/4)·(l/4))/(ЕI) = Ql2/(16EI) (11.6.1)

То, что мы только что делали называется интегрированием, ведь если умножить значение значение эпюры «Q» (рисунок 149.7.1) на длину действия нагрузки, мы тем самым определим площадь прямоугольника со сторонами «Q» и х, при этом площадь данного прямоугольника равняется значению эпюры «М» в точке х.

Теоретически получается, что мы можем определить значение тангенса угла поворота, интегрируя одно из уравнений моментов, составленных для нашей балки. Максимальное значение тангенса угла поворота для балки на двух шарнирных опорах, на которую действует сосредоточенная нагрузка посредине (рисунок 149.7.1), будет при х=l/2

tgθ = ∫Mdx/(EI) = ∫Axdx/(EI)= Ax2/(2EI) = (Q/2)·(l/2)2/(2ЕI) = Ql2/(16EI) (11.6.2)

где А — это реакция опоры = Q/2

При распределенной нагрузке интегрирование уравнения моментов: q(l/2)·x — qx2/2 для левой части балки дает следующий результат:

tgθ = ∫Mdx/(EI) = q·(l/2)·(l/2)2/(2ЕI) -q·(l/2)3/(6ЕI) = ql3/(24EI) (11.6.3)

Тот же результат мы получим и при использовании графо-аналитического метода.

Когда мы определяли угол поворота, то для наглядности предположили, что балка деформировалась так, как показано на рисунке 5.2, потом так, как показано на рисунке 11.3.b, потом мы выяснили, что если бы второй опоры не было, то балка повернулась вокруг первой опоры, но в действительности вторая опора есть и потому так балка деформироваться (при нашей нагрузке на балку) не может. Так как на опоре нет никакого вращающего момента и соответственно никаких внутренних напряжений, способных изменить геометрическую форму балки, то геометрическая форма балки на опоре остается неизменной, а внутренние напряжения, увеличивающиеся по ходу балки, деформируют балку все сильнее и это приводит к тому, что балка поворачивается вокруг шарнирных опор и этот угол поворота равен углу наклона поперечного сечения θ (так как мы рассматриваем балку-параллелепипед):

Рисунок 11.4. Реальная деформация балки.

 

Если мы просто постоим эпюру углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой посредине по уравнениям для левой и для правой части балки, то эпюра будет выглядеть так:

Рисунок 11.5.

Данная эпюра была бы правильной только для балки, изображенной на рисунке 5.3.а. Очевидно, что в нашем случае эпюра так выглядеть не может и для построения правильной эпюры нужно учесть, что поперечные сечения балки имеют наклон на обоих опорах, причем наклон этот одинаковый по значению, но разный по направлению а наклон поперечного сечения балки посредине =0. Если мы опустим эпюру на Ql2/16EI, которое мы получаем при интегрировании уравнения моментов для левой части балки и которое показывает угол наклона поперечного сечения именно на опоре, то получим эпюру следующего вида:

Рисунок 11.6.

Данная эпюра абсолютно точно показывает, изменение угла поворота поперечных сечений, вдоль всей балки, а значение тангенса угла поворота на левой опоре балки не что иное, как некая постоянная С1, которую мы получаем, если интегрирование выполнять корректно. И тогда уравнение угла поворота для балки при данной нагрузке на участке 0<x<0.5l будет выглядеть так:

tgθх = — tgθA + Ax2/(2EI) (11.6.5)

Эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой визуально ни чем не отличается от эпюры углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой, разница только в том, что эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой — это кубическая парабола. Уравнение угла поворота для балки с равномерно распределенной нагрузкой будет выглядеть так:

tgθх = — tgθA + Ax2/(2EI) — qx3/(6ЕI) (11.6.6)

По поводу знаков в данном уравнении. «-» означает, что рассматриваемый член уравнения как бы пытается повернуть балку против часовой стрелки относительно рассматриваемого поперечного сечения, а «+» — по часовой стрелке. Впрочем и по эпюре углов поворота видно, что значение tgθА должно быть отрицательным. Таким образом, если сечение имеет наклон по часовой стрелке относительно оси х, то оно будет отрицательным, а если против часовой стрелки — то положительным.

 

Ну и теперь самое главное, все эти разборки с углом поворота поперечного сечения нужны нам были для того, чтобы определить прогиб балки.

12. Определение прогиба.

(вернуться к основному содержанию)

Как мы видим из рисунка 11.4, треугольник с катетами h/2 и Δх является подобным треугольнику с катетом Х и вторым катетом, равным f+у, а это значит, что теперь мы можем определить значение прогиба:

tgθ = (f + y)/Х (12.1)

тогда

f + y = tgθ·X (12.2.1) или f + y = М·x·Х/(2ЕI) (12.2)

при малых значениях х значение у близко к 0, но в более дальних точках сечения значение у увеличивается. Значение у — это и есть влияние на величину прогиба наличия второй опоры. Отметим, что это значение у показывает разницу между реальным наклоном продольной оси балки и наклоном продольной оси балки, если бы балка просто поворачивалась вокруг опоры, и получается, что значение у зависит от изменения угла поворота. Кроме того, мы опять получили уравнение, в котором значение прогиба в некоторой точке зависит от тангенса угла поворота (12.2.1) и таким образом получается, что у угла поворота тоже есть «плечо действия». Например при у=f/2 (если присмотреться к левой части фотографии 1, то посредине балки это где-то так и будет) мы бы получили следующую формулу для определения прогиба:

f = М·x2/(3ЕI) (12.3.1)

Но мы не будем ничего предполагать, а воспользуемся интегрированием. Если мы проинтегрируем уравнение моментов для левой части балки, то получим значение у (эпюра для у показана бирюзовым цветом на фотографии 1):

у =∫∫∫(Q/2)dх = (Q/2)·(l/2)3/6EI = Ql3/(96EI) (12.3.2)

или площадь фиолетовой эпюры для левой части балки(рисунок 5.5), но нам нужна площадь голубой эпюры на левом участке балки (рисунок 5.6), которая в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры. Таким образом:

f =2∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2)3/6EI = Ql3/(48EI) (12.3.3)

Почему площадь голубой эпюры в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры, объяснить очень легко. Площадь треугольника равна 1/2 от площади прямоугольника с теми же сторонами, площадь фигуры, описанной квадратной параболой, составляет 1/3 от площади прямоугольника с теми же сторонами. Если бы мы развернули фиолетовую эпюру, то получили бы прямоугольник, образованный голубой и фиолетовой эпюрами. Соответственно, если из площади прямоугольника вычесть 1/3, то мы получим 2/3. У этого логического ряда есть продолжение — площадь фигуры, описанной кубической параболой, составляет 1/4 от площади прямоугольника с теми же сторонами и так далее.

Мы можем найти значение прогиба и другим способом. Из рисунка 11.4 и формул (12.2) следует, что:

fх = — tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)

fl/2 = — (Ql2/16EI) l/2 + (Ql3/96EI) = -(Ql3/48EI) (12.3.5)

В данном случае знак «-» показывает, что центр поперечного сечения балки переместится вниз по оси у относительно оси х. А теперь вернемся к фотографии 1. Под продольной осью балки изображена эпюра у, именно это значение в точке l/2 мы и вычли, решая уравнение (12.3.3).  Кроме того получается, что соотношение между f и у зависит от коэффициента предыдущего интегрирования, т.е. у = kf или f = y/k. Когда мы интегрировали уравнение сил, то получили коэффициент 1/2. Впрочем, такое же значение мы получили и тогда, когда определяли плечо действия момента. Если продолжить этот логический ряд, то получается, что при определении прогиба от распределенной нагрузки мы должны использовать коэффициент 1/3, то есть прогиб в середине балки мы можем вычислить по следующей формуле:

f= 2∫∫∫(ql/2)dx — 3∫∫∫∫qdх = (2(qlx3/6) — 3(qx4/24))/EI = 5ql4/(384EI) (12.4.4)

или

fх= — ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdх (12.4.5)

fl/2 = (- ql3x/24 + (qlx3/6) — (qx4/24))/EI = — 5ql4/(384EI) (12.4.6)

В данном случае знак «-» означает, что центр тяжести поперечного сечения перемещается вниз по оси у.

Примечание: Предложенный метод определения прогиба несколько отличается от общепринятых, так как я старался сделать основной упор на наглядность.

Если определять прогиб графоаналитическим методом, то площадь фиктивной нагрузки — эпюры моментов, описываемой квадратной параболой, будет составлять (согласно таблице 378.1) (2ql2/(8·3))l/2 = ql3/24. А расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат составляет 5/8, Тогда фиктивный момент равен (ql3/24)(5l/(8·2)) = 5ql4/384.

Конечно же, сосредоточенная нагрузка к балке может быть приложена и не посредине, распределенная нагрузка может быть не только равномерно распределенной и действовать не по всей длине балки, да и варианты крепления балки на опорах бывают разные. Но для того и существуют готовые формулы, чтобы ими пользоваться.

-Позвольте! — Скажете вы, — Все это хорошо, но как быть с касательными напряжениями? Ведь они действуют вдоль оси у и потому должны как-то влиять на прогиб!

Все верно. Касательные напряжения действительно влияют на прогиб, однако для балок с соотношением l/h > 10 это влияние очень незначительно и потому допустимо для определения прогиба пользоваться изложенным в данной статье методом.

Но это еще не все, как мы уже говорили, определить значение прогиба опытным путем достаточно просто по методу, описанному в самом начале статьи. Так так ничего лучшего под рукой не было, то я взял деревянную линейку, прообраз которой я так долго описывал (см. фотографию 1). Деревянная линейка имела размеры около 91.5 см, ширину b=4.96 см и высоту h=0.32 cм (высоту и ширину определял штангенциркулем). Затем я положил линейку на опоры, при этом расстояние между опорами составило около 90 см и таким образом получил балку с пролетом l=90 см. Под воздействием собственного веса линейка конечно же немного прогнулась, но столь малый прогиб меня не интересовал. Я измерил рулеткой (точность до 1 мм) расстояние от пола до низа линейки (77.65 см), затем приложил посредине условно сосредоточенную нагрузку (поместил посредине мерный стакан весом около 52 грамм с 250 граммами воды) и измерил расстояние от пола до низа линейки при нагрузке (75.5 см). Разница этих двух измерений и составила искомый прогиб. Таким образом величина прогиба определенного опытным путем составила 77.65 — 75.5 = 2.15 см. Осталось только найти модуль упругости для древесины, определить момент инерции для данного сечения и точно посчитать нагрузку. Модуль упругости Е для древесины = 105 кгс/см2, момент инерции прямоугольного сечения Iz = bh3/12 = 4.98·0.323/12 = 0.01359872 см4, полная нагрузка — 0.302 кг.

Расчет прогиба по формуле дал: f = Ql3/(48EI) = 0.302·903/(48·105·0.0136) = 3.37 см. Напомню, что прогиб, определенный опытным путем, составил: f = 2.15 см. Возможно следовало учесть влияние на прогиб первой производной функции — тангенса угла поворота? Ведь угол наклона, судя по фотографии, достаточно большой.

Проверяем: tgθ = Ql2/(16EI) = 0.302·902/(16·105·0.0136) = 0.11233. Тогда согласно формулы (542.12) f = 3.37/((1 + 0.1122)3/2) = 3.307 см. Т.е. влияние конечно есть, но оно не превышает 2% или 0.63 мм. 

Результат меня сначала удивил, но потом объяснений для такого расхождения нашлось несколько, в частности в середине поперечное сечение линейки было не прямоугольным, так как линейка была деформирована от времени и воздействия воды, соответственно момент инерции для такого сечения больше чем, для прямоугольного, кроме того, линейка изготовлена не из сосны, а из более твердой породы древесины, для которой и модуль упругости следует принимать больше. Да и с научной точки зрения одного результата совершенно недостаточно, чтобы говорить о каких-либо закономерностях. После этого я проверил величину прогиба для деревянного бруска с моментом инерции I=2.02 см4, длиной более 2 м при пролете 2 м под нагрузкой 2 кг, приложенной посредине бруска и тогда значение прогиба, определенного теоретическим путем и опытным путем, совпало до десятых долей миллиметра. Конечно, можно было бы и дальше продолжать эксперименты, но так уж получилось, что до меня это уже сделали сотни других людей и получили на практике результаты, очень близкие к теоретическим. А если еще учесть, что идеально изотропные материалы бывают только в теории, то это очень хорошие результаты.

13. Определение угла поворота через прогиб.

(вернуться к основному содержанию)

Определить значение угла поворота для шарнирно опертой балки, на которую действует только изгибающий момент M на одной из опор, например на опоре А, казалось бы, проще простого:

tgθх = — tgθA + Мx/(EI) — Аx2/(2ЕI) (13.1.1)

где А = М/l, (B = — M/l), но для этого нужно знать угол поворота на опоре А, а мы его не знаем, однако вычислить его помогает понимание того, что прогиб на опорах будет равен нулю и тогда:

fA = tgθBl — Bl3/(6EI) = 0; tgθB = — Ml3/(6l2EI) = — Ml/(6EI) (13.1.2)

fB = tgθAl + Ml2/(2EI)- Al3/(6EI) = 0; tgθA = — Ml/(3EI) (13.1.3)

Как видим, угол поворота на опоре к которой приложен изгибающий момент, в два раза больше угла поворота на противоположной опоре, это очень важная закономерность, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

Когда сосредоточенная нагрузка к балке приложена не по центру тяжести или распределенная нагрузка является неравномерной, то углы поворота на опорах определяются через прогиб, как в вышеприведенном примере. Другими словами — значения начальных параметров определяются в ходе решения дифференциальных уравнений.

Расчет стальной балки на прогиб

При расчете стальных балок по II-й ГПС (по прогибам) необходимо создавать раскрепления для прогибов:

Информация из справки LIRA SAPR (Справка\Пояснения Сталь\Проверки прогибов):

Проверка прогиба осуществляется сопоставлением реально определенного относительного прогиба (L/f) с максимально возможным для данного конструктивного элемента прогибом.

В данной версии проверка выполняется только для балок на основании состава загружений во всех сочетаниях. Учитываются коэффициенты надежности по нагрузке (заданные при формировании РСУ в среде ПК ЛИРА-САПР) и коэффициенты сочетания.

Перемещения, вызванные загружениями с долей длительности 0, в данном расчете не используются.

Прогибы находятся для каждого сечения на основании распределения MY1, MZ1, QY1, QZ1 по длине элемента. Соответственно, увеличение количества расчетных сечений способствует более точному определению прогибов (особенно, если воздействуют сосредоточенные силовые факторы).

В режиме локального расчета элемента (см. справочную систему СТК-САПР) имеется возможность расчета прогибов по огибающим эпюрам изгибающего момента в запас. Это может потребоваться, когда редактируются расчетные сочетания усилий (или нагрузок) и теряется связь с результатами расчета на ПК ЛИРА-САПР основной схемы.

Важно: Предусмотрена возможность определять не чистые перемещения (относительно локальных осей Y и Z в недеформированной схеме), а прогиб относительно двух выбранных условно неподвижных точек – точек раскрепления (в случае консоли, например, относительно одной точки).

Схема к определению прогибов балки с раскреплениями и без раскреплений

На приведенном фрагменте показан механизм определения прогибов (они обозначены как di и dk) в конструктивном элементе с наложенными раскреплениями на элементы.

Если раскрепления не наложены, то прогиб принимается равным полному расстоянию до оси X.

Важно: Если балка (ригель) разбита по длине промежуточными узлами, то для нее необходимо создать конструктивный элемент и раскрепления для проверки прогибов создавать как для конструктивного элемента (т.е. для балки как единого целого). В расчете стальных конструкций коэффициент расчетной длины (и для балок, и для колонн, и для ферм) применяется к длине конечного элемента (КЭ), если не задан конструктивный элемент (КоЭ). Если задан КоЭ, то коэффициент расчетной длины применяется к полной длине КоЭ.

Пример расчета однопролетной балки

Расчётная модель рамы с цельным ригелем и разбитым на отдельные элементы

Согласно нормативной документации прогиб определяется от действия нормативных нагрузок. Поскольку в LIRA SAPR все нагрузки прикладываются к узлам и элементам их расчётными значениями, при определении прогибов программа определяет нормативное значение нагрузок путём деления их на коэффициент надёжности.

Посмотреть какие приняты коэффициенты надёжности, а также ввести их вручную, если это необходимо, можно в окне параметров расчёта.

Окно параметров расчёта, вызываемое из окна задания параметров для стальных конструкций

Подробнее о корректировке коэффициентов надёжности для расчета прогибов вручную читайте в статье «Коэффициенты к временным нагрузкам при проверке прогиба»

Мозаика результатов проверки назначенных сечений по 2 предельному состоянию

Предельно допустимый L/200=6000/200=30мм

Без задания раскреплений (по абсолютному перемещению узлов балки):
((39,8мм/ к-т надежности по нагрузке)/ 30мм))*100%=((39,8/1,1)/30)*100%=120,6%

С заданием раскреплений (по относительному перемещению узлов балки за вычетом перемещений опорных узлов):
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Ручной ввод расчётной длины балки для расчёта прогибов

В диалоговом окне задания характеристик расчёта стальной балки присутствует группа параметров Расчёт по прогибу.

Информация из справки ЛИРА САПР:
Расчет по прогибу – данные для расчета прогиба. Длина пролета авто – вычисляется по положению раскреплений. Длина пролета точно – длина пролета при расчете приравнивается этому числу.

Рассмотрим раму из предыдущего примера, только теперь раскрепления для прогибов назначим для всех конструкций, а расчётные длины будем для первого случая задавать автоматическим способом, а для второго ручным.

Расчётная модель с информацией о назначенных расчётных длинах балок


Результаты расчётов прогибов балок

Предельно допустимый прогиб при длине 6 м L/200=6000/200=30мм

Предельно допустимый прогиб при длине 4 м L/200=4000/200=20мм

Проценты использования по предельному прогибу

Длина балки 6 м:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Длина балки 4 м:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/20)*100%=139,4%

Расчёт прогибов стрельчатой арки

Пример — рама переменного сечения (РПС) пролётом 18 м. Соединение полурам в коньке — шарнирное, опирание полурам на фундамент — шарнирное.

Расчётная модель рамы

При этом в параметрах «Дополнительные характеристики» необходимо указать вручную пролет, с которым программа будет сравнивать прогиб (автоматическое определение пролета возможно только для линейных балок, где все конечные элементы (КЭ) конструктивного элемента (КоЭ) лежат на одной оси):

Эпюра перемещений fz ригеля одной полурамы (вдоль местной оси Z1 стержня)

Мозаика перемещений узлов по Z и «Раскрепления для прогибов» (раскреплён только ригель №4)

Результаты определения прогибов в СТК-САПР:

Результаты определения прогибов ригелей №2 и №4

Предельно допустимый L/200=17664/200=88.32 мм

Без задания раскреплений (по абсолютному значению на эпюре прогибов fz):
96.7/17644=1/182 — совпадает с результатом расчёта элемента №2

С заданием раскреплений (по относительному значению на эпюре прогибов fz):
(96.7-(-6.46))/17644=1/171 — совпадает с результатом расчёта элемента №4

Без задания раскреплений (по абсолютному значению перемещений узлов):
99.8/17644=1/177 — не совпадает ни с чем

Вывод: Расчёт на прогибы выполняется в местной системе координат стержня. Прогиб стрельчатых и цилиндрических арок, а также любых криволинейных конструкций, нужно определять по перемещениям узлов в глобальной системе координат и вручную сравнивать с предельно допустимыми значениями.

Расчёт прогибов цилиндрической арки

Пример – цилиндрическая арка пролётом 18 м, стрелой подъёма f = 9 м. Соединение всех элементов между собой — жёсткое, опирание на фундамент — шарнирное.

Нагрузки на арку приложены их расчётными значениями. Значения нагрузок для определения прогибов принимаются согласно СП 20.13330.2016 Нагрузки и воздействия, таблица Д.1 Приложения Д. В данном примере арка является конструкцией покрытия, прогиб которой должен определяться от постоянных и длительных нагрузок (п.2 табл. Д.1). Для визуализации перемещений от нормативных значений нагрузок, необходимо создать особое РСН с нормативными длительными значениями нагрузок. Нагрузки в данном РСН нужно поделить на коэффициент надёжности, с учётом длительности. На конструкцию действуют два загружения:

Загружение 1 — постоянное, коэффициент надёжности 1.1;
Загружение 2 — кратковременное, коэффициент надёжности 1.2, доля длительности 0.35;

Вычислим коэффициенты для перехода к нормативным значениям

Загружение 1 Kn=1/1.1=0.91;
Загружение 2 Kn=1/1.2*0.35=0.292

Таблица РСН с сочетаниями расчётных и нормативных значений нагрузок с учётом длительности.

Мозаика перемещений узлов цилиндрической арки от РСН2

Предельно допустимый прогиб L/200=18000/200=90 мм

Фактический прогиб (по абсолютному значению перемещений узлов): 32.2/18000=1/559 – меньше предельно допустимого значения.

Примечание: если подобная конструкция стоит на своих опорах, то перемещения опорных точек (для получения относительных перемещений) удобно получить через «Мозаику относительных перемещений», указав реперный узел.

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК (абсолютных)

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК относительно реперного узла

Расчет прогиба деревянной балки. Прогиб деревянной балки и его расчет. Расчетная схема. Определение максимальной нагрузки. Вычисление максимального прогиба


Расчет прогиба деревянной балки для двух случаев нагружения

В современном индивидуальном строительстве деревянные балки используются почти в каждом проекте. Найти постройку, в которой не используются деревянные перекрытия, практически невозможно. Деревянные балки применяются и для устройства полов, и в качестве несущих элементов, как опоры для межэтажных и чердачных перекрытий.

Формула расчета прогиба балки.

Известно, что деревянные балки, как и любые другие, могут прогибаться под воздействием различных нагрузок. Эта величина — стрелка прогиба — зависит от материала, характера нагрузки и геометрических характеристик конструкции. Небольшой прогиб вполне допустим. Когда мы ходим, например, по деревянному настилу, то чувствуем, как пол слегка пружинит, однако если такие деформации незначительны, то нас это мало беспокоит.

Насколько можно допустить прогиб, определяется двумя факторами:

  1. Прогиб не должен превышать расчетных допустимых значений.
  2. Прогиб не должен мешать эксплуатации здания.

Чтобы узнать, насколько будут деформироваться деревянные элементы в конкретном случае, нужно произвести расчеты на прочность и жесткость. Подробные и детальные расчеты такого рода — это работа инженеров-строителей, однако, имея навык математических вычислений и зная несколько формул из курса сопротивления материалов, вполне можно самостоятельно рассчитать деревянную балку.

Вспомогательная таблица для расчета количества балок.

Любая постройка должна быть прочной. Именно поэтому балки перекрытия проверяют в первую очередь на прочность, чтобы конструкция могла выдерживать все необходимые нагрузки, не разрушаясь. Кроме прочности конструкция должна обладать жесткостью и устойчивостью. Величина прогиба является элементом расчета на жесткость.

Прочность и жесткость неразрывно связаны между собой. Вначале делают расчеты на прочность, а затем, используя полученные результаты, можно сделать расчет прогиба.

Чтобы правильно спроектировать собственный загородный дом, необязательно знать полный курс сопротивления материалов. Но углубляться в слишком подробные вычисления не стоит, как и просчитывать различные варианты конструкций.

Чтобы не ошибиться, лучше воспользоваться укрупненными расчетами, применяя простые схемы, а высчитывая нагрузки на несущие элементы, всегда делать небольшой запас в большую сторону.

Алгоритм вычисления прогиба

Рассмотрим упрощенную схему расчета, опуская некоторые специальные термины, и формулы для расчета двух основных случаев нагружения, принятых в строительстве.

Нужно выполнить следующие действия:

  1. Составить расчетную схему и определить геометрические характеристики балки.
  2. Определить максимальную нагрузку на этот несущий элемент.
  3. При необходимости проверить брус на прочность по изгибающему моменту.
  4. Вычислить максимальный прогиб.

Расчетная схема балки и момент инерции

Расчетную схему сделать довольно просто. Нужно знать размеры и форму поперечного сечения элемента конструкции, способ опирания, а также пролет, то есть расстояние между опорами. Например, если вы укладываете опорные брусья перекрытия на несущие стены дома, а расстояние между стенами 4 м, то пролет будет l=4 м.

Деревянные балки рассчитывают как свободно опертые. Если это балка перекрытия, то принимается схема с равномерно распределенной нагрузкой q. В случае если нужно определить изгиб от сосредоточенной нагрузки (например, от небольшой печки, выложенной прямо на перекрытии), принимается схема с сосредоточенной нагрузкой F, равной весу, который будет давить на конструкцию.4.

Здесь нужно обратить внимание на то, что момент инерции прямоугольного сечения зависит от того, как оно сориентировано в пространстве. Если брус положить широкой стороной на опоры, то момент инерции будет значительно меньше, а прогиб — больше. Этот эффект каждый может прочувствовать на практике. Все знают, что доска, положенная обычным способом, прогибается гораздо сильнее, чем та же доска, положенная на ребро. Это свойство очень хорошо отражается в самой формуле для вычисления момента инерции.

Определение максимальной нагрузки

Для определения максимальной нагрузки на балку нужно сложить все ее составляющие: вес самого бруса, вес перекрытия, вес обстановки вместе с находящимися там людьми, вес перегородок. Все это нужно сделать в пересчете на 1 пог.м балки. Таким образом, нагрузка q будет состоять из следующих показателей:

Расчет на смятие опорных участков балки.

  • вес 1 пог.м балки;
  • вес 1 кв.м перекрытия;
  • временная нагрузка на перекрытие;
  • нагрузка от перегородок на 1 кв.3/48*E*J, где:

    F — сила давления на брус, например, вес печи или другого тяжелого оборудования.

    Модуль упругости Е для разных видов древесины различен, эта характеристика зависит не только от породы дерева, но и от вида бруса — цельные балки, клееный брус или оцилиндрованное бревно имеют различные модули упругости.

    Подобные вычисления могут производиться с различными целями. Если вам нужно просто узнать, в каких пределах будут находиться деформации элементов конструкции, то после определения стрелки прогиба дело можно считать завершенным. Но если вас интересует, насколько полученные результаты соответствуют строительным нормам, то необходимо выполнить сравнение полученных результатов с цифрами, приведенными в соответствующих нормативных документах.

    1poderevu.ru

    видео-инструкция по монтажу своими руками, как усилить перекрытия, расчет, фото и цена

    Все фото из статьи

    Деревянные балки широко применяются в частном строительстве — их используют при обустройстве полов и даже деревянных межэтажных перекрытий. Однако, для получения с их помощью прочных конструкций необходимо предварительно выполнить некоторые расчеты. В данной статье мы подробно рассмотрим как рассчитать самостоятельно балки на прогиб, который является крайне важным значением.

    На фото — деревянные балки перекрытия

    Общие сведения

    Балка является конструкционным элементом, представляющим собой стержень, на который девствуют силы в направлении перпендикулярно его оси. Под воздействием этих сил любые балки, в том числе и деревянные,деформируются.

    Незначительный прогиб является вполне допустимым явлением. К примеру, при ходьбе по деревянному полу мы зачастую ощущаем как он незначительно пружинит. Но если прогиб превышает допустимые значения, то это может привести к поломке детали.

    Допустимой считается деформация, которая соответствует следующим требованиям:

    • Не превышает расчетные значения.
    • Не мешает комфортной эксплуатации дома.

    Чтобы узнать насколько будет деформироваться деталь в том или ином случае, необходимо выполнить некоторые расчеты на жесткость и прочность.Следует отметить, что подобными работами обычно занимаются инженеры-строители. Однако в частном строительстве, ознакомившись с некоторыми формулами, их можно выполнить самостоятельно.

    Незначительный прогиб перекрытий допускается

    Надо сказать, что расчет прогиба деревянной балки является очень ответственной работой, ведь любая постройка должна соответствовать определенным требованиям прочности. Поэтому балки должны обладать определенной устойчивостью и жесткостью, чтобы конструкция с определенным запасом по прочности выдерживала запланированные нагрузки.

    Расчет

    Такие параметры, как прочность и жесткость связаны между собой. Поэтому вначале определяют жесткость детали, после чего, на основе полученных данных вычисляют деформацию.

    Для этого совсем необязательно углубляться в сложные инженерные расчеты, для получения точных значений. Чтобы не ошибиться, лучше воспользоваться упрощенной схемой, которой вполне достаточно для частного строительства.

    Состоит такой способ расчета из нескольких этапов:

    • Составление расчетной схемы и определение геометрических параметров балки.
    • Определение максимальной нагрузки, которая будет оказываться на деталь, в том числе от перегородок, установленных сверху конструкций и пр.
    • Вычисление максимального прогиба.

    Ниже подробней рассмотрим все эти этапы.

    Схема влияния расстояния между опорами на деформацию

    Расчетная схема

    Выполнить своими руками расчетную схему не сложно. Для этого нужно лишь знать форму поперечного сечения и размеры детали.

    Кроме того, следует учитывать такие моменты, как:

    • Способ опирания детали.
    • Длина пролета, т.е. расстояние между опорами. К примеру, если выполняется перекрытие и расстояние между стенами составляет 4 м, то пролет «l» будет равняться 4м.

    Если речь идет о перекрытиях, то принимается схема расчета, согласно которой нагрузка распределяется на деталь равномерно. В случаях, когда необходимо вычислить деформацию от сконцентрированного воздействия, к примеру, от установленной печи на перекрытие, используется схема с учетом сосредоточенной и направленной нагрузки F, которая равняется весу конструкции.3/12, где:

    Буквенное обозначение Значение
    h Высота сечения бруса
    b Ширина сечения

    Обратите внимание! Момент инерции прямоугольного бруса зависит от того, как он расположен в пространстве. Если деталь будет уложена широкой стороной на стены, то момент инерции будет меньше, в то время как деформация больше. Примером тому является доска, которая уложенная на ребро прогибается значительно меньше, чем уложенная плашмя.

    Определение максимальной нагрузки

    Чтобы определить максимальную нагрузку нужно сложить все параметры бруса, такие как:

    • Его вес;
    • Вес квадратного метра перекрытия;
    • Воздействие от перегородок на перекрытия, также измеряется в килограммах на метр квадратный.

    Помимо этого необходимо учитывать коэффициент, обозначающийся буквой«k», который равняется расстоянию между балками (измеряется в метрах). К примеру, если расстояние между ними составляет 700 мм, то значение коэффициента будет равняться 0,7.

    Печи или другие конструкции создают дополнительную нагрузку на перекрытие

    Совет! За помощью в расчетах при составлении проекта дома можно обратиться к специалистам. Однако,цена на их услуги бывает довольно высокой. Поэтому в большинстве случаев с поставленной задачей можно справиться самостоятельно.

    Чтобы упростить расчеты, можно принять следующие усредненные параметры:

    • Вес перекрытия составляет 60 кг.
    • Нормативная временная нагрузка на перекрытие – 250 кг.
    • Нормативная нагрузка от перегородок – 75 кг.

    Что касается веса деревянной детали, то его можно посчитать, зная плотность и объем древесины. К примеру, наиболее распространенный брус, который используют для перекрытий,имеет сечение 0,15х0,2м и весит в среднем 18 кг на погонный метр.

    Теперь, зная все параметры можно вычислить максимальную нагрузку по такой формуле –q=(60+250+75)х0,6+18=249 кг/м.

    Вычисление максимального прогиба

    Следующим шагом является расчет деревянной балки на прогиб.3/48хEхJ, где F обозначает давление на брус, к примеру, вес печи, установленной на перекрытии.

    Надо сказать, что модуль «E» у разных пород древесины может быть разным. Кроме того, этот показатель зависит от типа детали. К примеру, сплошной брус и оцилиндрованное бревно обладают разным модулем упругости.

    Совет! Зачастую домашние мастера интересуются — как усилить деревянные балки перекрытия от прогиба? Для этих целей можно воспользоваться досками толщиной не менее 50 мм, которые крепятся к брусу.

    Вот, собственно, и вся инструкция по расчету балок на прогиб.

    Вывод

    Самостоятельно вычислить прогиб балки из дерева, как мы выяснили, несложно. Для этого следует воспользоваться несколькими приведенными выше формулами и некоторыми средними нормативными значениями. При этом главное, как и в любых других расчетах, выполнять работу внимательно, чтобы не допустить ошибку.

    Из видео в этой статье можно ознакомиться как сделать чердачное перекрытие по деревянным балкам своими руками.

    rubankom.com

    Расчет прогиба балки на двух опорах

    Процесс проектирования современных строений и построек регулируется огромным количеством различных строительных норм и правил. В большинстве случаев нормы требуют обеспечения определенных характеристик, например, деформации или прогиба балок плит перекрытия под статической или динамической нагрузкой. Например, СНиП № 2.09.03-85 определяет для опор и эстакад прогиб балки не более чем в 1/150 длины пролета. Для чердачных перекрытий этот показатель составляет уже 1/200, а для межэтажных балок и того меньше – 1/250. Поэтому одним из обязательных этапов проектирования является выполнение расчета балки на прогиб.

    Способы выполнить расчет и проверку на прогиб

    Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность.

    Просчитать прогиб конструкции можно несколькими способами:

    • Воспользоваться программным онлайн-калькулятором, в котором «зашиты» стандартные условия, и не более того;
    • Использовать готовые справочные данные для различных типов и видов балок, для различных опор схем нагрузок. Нужно только правильно идентифицировать тип и размер балки и определить искомый прогиб;
    • Посчитать допустимый прогиб руками и своей головой, большинство проектировщиков так и делают, в то время как контролирующие архитектурные и строительные инспекции предпочитают второй способ расчета.

    Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет.

    Методика выполнения расчета на прогиб

    Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета.

    Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото.

    В нашем случае балка:

    1. Имеет прямоугольное сечение S=b*h, длина опирающейся части составляет L;
    2. Линейка нагружена силой Q, проходящей через центр тяжести изгибаемой плоскости, в результате чего концы поворачиваются на небольшой угол θ, с прогибом относительно начального горизонтального положения, равным f;
    3. Концы балки опираются шарнирно и свободно на неподвижных опорах, соответственно, не возникает горизонтальной составляющей реакции, и концы линейки могут перемещаться в произвольном направлении.

    Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ, где Е – справочная величина, R— усилие, Δ— величина деформации тела.

    Вычисляем моменты инерции и сил

    Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е). Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е).

    Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже.

    Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е).

    Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил Mmax = q*L*2/8, соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е). Величину b·h4/6 называют моментом инерции и обозначают W. В итоге получается Δх = M·х/(W·Е) основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E через момент инерции и изгибающий момент.

    Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L2/8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления.

    Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h5/12, где b и h – размеры сечения балки.

    Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150.

    Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя.

    Формулы для практического использования

    На практике чаще всего стоит обратная задача – определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии.

    Совет! В вопросе расчета предельного состояния балки по величине прогиба неоценимую услугу оказывают требования СНиПа. Устанавливая предел прогиба в относительной величине, например, 1/250, строительные нормы существенно облегчают определение аварийного состояния балки или плиты.

    Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения.

    Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем:

    • Первоначально измеряется геометрия плиты или балки, фиксируется величина прогиба;
    • По измеренным параметрам определяется сортамент балки, далее по справочнику выбирается формула момента инерции;
    • По прогибу и моменту инерции определяют момент силы, после чего, зная материал, можно выполнить расчет реальных напряжений в металлической, бетонной или деревянной балке.

    Вопрос – почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L2/(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия.

    Ответ  прост — необходимо непросто рассчитать, но и сохранить на бумаге ход выполнения проверочного расчета, чтобы сделанные выводы о состоянии перекрытия можно было проверить и перепроверить по всем этапам проверки.

    Совет! Используйте в своих расчетах существующие ведомственные сборники различных проектных организаций, в которых в сжатом виде сведены все необходимые формулы для определения и расчета предельного нагруженного состояния.

    Заключение

    Аналогичным образом поступает большинство разработчиков и проектантов серьезных построек. Программа – это хорошо, она помогает очень быстро выполнить расчет прогиба и основных параметров нагружения перекрытия, но важно также предоставить заказчику документальное подтверждение полученных результатов в виде конкретных последовательных расчетов на бумаге.

    Что еще почитать по теме?

    Автор статьи:

    Сергей Новожилов — эксперт по кровельным материалам с 9-летним опытом практической работы в области инженерных решений в строительстве.

    Понравилась статья? Поделись с друзьями в социальных сетях:

    Facebook

    Twitter

    Вконтакте

    Одноклассники

    Google+

    proroofer.ru

    Предельные прогибы для расчета деревянных балок.

    При действии нагрузки деревянные балки могут получать довольно большие прогибы, в результате которых нарушается их нормальная эксплуатация. Поэтому кроме расчетов по первой группе предельных состояний (прочность), необходимо выполнить расчет деревянных балок и по второй группе т.е. по прогибам. Расчет деревянных балок на прогиб выполняется на действие нормативных нагрузок. Нормативную нагрузку получаем разделением расчетной нагрузки на коэффициент надежности по нагрузке. Вычесление нормативной нагрузки выполнятся в сервисе расчет деревянных балок автоматически. Нормальная эксплуатация балок возможна, в случае если расчетный прогиб деревянной балки не превышает прогиб, установленный нормами. Нормативными документами установлены конструктивные и эстетико-психологические требования.

    1. Конструктивные требования к прогибам деревянных балок.

    Представлены в СП64.13330.2011 «ДЕРЕВЯННЫЕ КОНСТРУКЦИИ» Таблица 19

    Элементы конструкций Предельные прогибы в долях пролета, не более

    1 Балки междуэтажных перекрытий

    2 Балки чердачных перекрытий

    3 Покрытия (кроме ендов):

    а) прогоны, стропильные ноги

    б) балки консольные

    в) фермы, клееные балки (кроме консольных)

    г) плиты

    д) обрешетки, настилы

    4 Несущие элементы ендов

    5 Панели и элементы фахверха

    1/250

    1/200

    1/200

    1/150

    1/300

    1/250

    1/150

    1/400

    1/250

    1. Эстетическо-психологические требования к прогибам деревянных балок.

    Представлены в СП20.13330.2011 «НАГРУЗКИ И ВОЗДЕЙСТВИЯ» Приложение Е.2

    Элементы конструкций Вертикальные предельные прогибы

    2 Балки, фермы, ригели, прогоны,

    плиты, настилы (включая поперечные ребра

    плит и настилов):а) покрытий и перекрытий,

    открытых для обзора, при пролете l, м:

    l<1

    l<3

    l<6

    l<12

    l<24

    1/120

    1/150

    1/200

    1/250

    1/300

    В случае если балка скрыта (к примеру, под подшивным потолком) то соблюдение эстетико-психологических требований не является обязательным. В данном случае необходимо выполнить расчет прогибов балки на соблюдение только конструктивных требований по прогибам.

    rascheta.net

    Расчет металлической балки перекрытия

    Бывают случаи, когда деревянные балки для междуэтажных или чердачных перекрытий использовать экономически не выгодно. Например, когда пролет слишком большой и поэтому для его перекрытия требуются деревянные балки большого сечения. Или когда у Вас есть хороший знакомый, который торгует не пиломатериалом, а металлопрокатом.

    В любом случае не лишним будет знать во сколько может обойтись перекрытие, если использовать металлические балки, а не деревянные. И в этом Вам поможет данный калькулятор. С его помощью можно рассчитать требуемые момент сопротивления и момент инерции, которые для подбора металлических балок для перекрытия по сортаментам из условия прочности и прогиба.

    Рассчитывается балка перекрытия на изгиб как однопролетная шарнирно-опертая балка.

    Калькуляторы по теме:
    Инструкция к калькулятору
    Исходные данные

    Условия эксплуатации:

    Длина пролета (L) — расстояние между двумя внутренними гранями стен. Другими словами, пролет, который перекрывают рассчитываемые балки.

    Шаг балок (Р) — шаг по центру балок, через который они укладываются.

    Вид перекрытия — в случае, если на последнем этаже Вы жить не будете, и он не будет сильно захламляться милыми Вашему сердцу вещами, то выбирается «Чердачное», в остальных случаях — «Междуэтажное».

    Длина стены (Х) — длина стены, на которую опираются балки.

    Характеристики балки:

    Длина балки (А) — самый большой размер балки.

    Вес 1 п.м. — данный параметр используется как бы во втором этапе (после того, как Вы уже подобрали нужную балку).

    Расчетное сопротивление Ry — данный параметр зависит от марки стали. Например, если марка стали:

    • С235 — Ry = 230 МПа;
    • С255 — Ry = 250 МПа;
    • С345 — Ry = 335 МПа;

    Но обычно в расчете используется Ry = 210 МПа для того, чтобы обезопасить себя от разного рода «форс-мажерных» ситуаций. Все-таки в России живем — привезут металлопрокат из стали не той марки и все…

    Модуль упругости Е — этот параметр зависит от вида металла. Для самых распространенных его значение равно:

    • сталь — Е = 200 000 МПа;
    • алюминий — Е = 70 000 МПа.

    Нагрузка:

    Значения нормативной и расчетной нагрузок указываются после их сбора на перекрытие.

    Цена за 1 т — стоимость 1 тонны металлопроката.

    Результат

    Расчет по прочности:

    Wтреб — требуемый момент сопротивления профиля. Находится по сортаменту (есть ГОСТах на профили). Направление (х-х, y-y) выбирается в зависимости от того, как будет лежать балка. Например, для швеллера и двутавра, если Вы хотите их поставить (т.е. больший размер направлен вверх — [ и Ι), нужно выбирать «x-x».

    Расчет по прогибу:

    Jтреб — минимально допустимый момент инерции. Выбирается по тем же сортаментам и по тем же принципам, что и Wтреб.

    Другие параметры:

    Количество балок — общее количество балок, которое получается при укладки их по стене X с шагом P.

    Общая масса — вес всех балок длиной А.

    Стоимость — затраты на покупку металлических балок перекрытия.

    svoydomtoday.ru

    Расчет металлической балки на прогиб

    Прогиб металлической балки возникает в тех случаях, когда она не в силах выдержать вес перекрытий. Такого рода деформации наблюдаются даже у небольших сооружений. Размер прогиба зависит от предназначения элемента и условий его эксплуатации. К причинам его появления относятся:

    • Ошибки проектирования;
    • Общие деформации здания;
    • Появление неучтенной нагрузки;
    • Повреждение несущей конструкции.

    Распределение нагрузок и их геометрию может значительно изменить неравномерное проседание зданий. Возникновение прогиба можно заметить по ряду косвенных признаков. Часто небольшие локальные нарушения приводят к масштабным проблемам и становятся слабым местом всего сооружения. Поэтому все наиболее существенные изменения при проектировании следует предусмотреть по максимуму.

    Расчет металлической балки на прогиб позволяет предотвратить ее обрушение. Он помогает определить предельное значение этой величины. Расчеты ведутся на жесткость и прочность конструкции. Они сводятся к определению следующих параметров:

    • минимального момента инерции сечения балки;
    • минимального момента инерции сечения балки;
    • максимального относительного прогиба.

    На основании полученных значений находят номер проката для потолочных перекрытий. Если он не подходит по каким-то соображениям, его заменяют на более массивный. В ходе вычислений нужно учесть величину действующей силы, длину металлической балки, модуль упругости, момент инерции сечения. На прочностные характеристики и величину прогиба оказывают влияние материал конструкции, способ ее крепления, форма и площадь поперечного сечения.

    Некоторые величины определяют по сортаменту. Он помогает подбору оптимального варианта с учетом ряда факторов. Задачи проектирования в наши дни существенно облегчают специальные компьютерные программы. В них уже заложены справочные значения и базовые расчеты.

    Расчет прогиба стальной балки считается типовым и осуществляется по стандартному алгоритму. Существуют формулы для различных видов крепления и разных точек приложения силы. В ходе него потребуется составление расчетной схемы и определение геометрических характеристик. Далее вычисляют максимальную нагрузку и проверяют прочность по изгибающему моменту. После этих действий вычисляют максимальный прогиб.

    Не следует определять средние значения нужных величин и ориентироваться на них. Каждый конкретный случай должен сопровождаться уникальным расчетом. От него зависит безопасная эксплуатация здания.

    формула, механизм и примеры вычисления прогиба по стандартам

    Для строительства прочного, надежного и долговечного здания, нужно знать такой показатель, как прогиб балки (формула), то есть величину жесткости.

    Данное направление изучается в таких науках (дисциплинах), как “Сопротивление материалов”, “Теория прочности”, “Механика строительная” и прочее.

    Прочность и жесткость балки

    Балки в доме

    Современные строительные технологии, применяемые для просчета стройконструкций, называемых также стержневыми, по качествам прочности и жесткости дают уникальную возможность на первом же этапе проектировки вычислить величину прогиба.

    Кроме этого, можно, опираясь на рассчитанные данные, составить заключение о вероятности использования строительной конструкции.

    Какой вопрос позволяет решать указанная далее формула для расчета жесткости? Данные, полученные таким путем, говорят о самых больших изменениях в геометрии детали, что могут возникнуть в строительной конструкции.

    Несмотря на некоторую бюрократизацию методик для вычисления прогиба, используются опытные формулы, а если воздействие реальных нагрузок отличается от идеальных или усредненных, вопрос решается введением дополнительных коэффициентов для запаса прочности. Понятия «жесткость» и «прочность» связаны и абсолютно неразделимы.

    Хотя некоторые различия все-таки есть. Но только в том случае, если рассматривать данные показатели в автомашинах. В стройконструкциях главное нарушение конструкции объектов случается потому, что снижаются или нивелируются полностью вопросы, связанные с запасом прочности, вследствие чего здания нельзя эксплуатировать.

    Деревянные балки из древесины хвойных пород

    На сегодня в таких предметах изучения, как «Сопромат» и другие, приняты 2 метода для расчета прочности и жесткости:

    • Простой. При просчитывании показателей на основе этого метода используют увеличенный коэффициент.
    • Точный. Тут используются не только коэффициенты, показывающие запас прочности, но также осуществляется вычисление пограничного состояния (какую нагрузку может выдержать балка).

    Как рассчитывать прогиб для балки дома

    Чтобы просчитать, подходит ли конкретная балка для строительства дома, нужно знать такие показатели:

    • M – это тот максимальный момент, который возникает в балке, находящийся по эпюру моментов. Эпюр – это специальный чертеж с изображением пространственная фигура изображается на плоскости.
    • W n, mіn – момент сопротивления сечения (его значение находят по таблице).
    • Ry – сопротивление, что оказывает материал, из которого изготовлен элемент конструкции дома, изгибаясь от нагрузки.
    • Уc – дополнительный показатель (его можно найти в одной из многочисленных таблиц строительных нормативов).

    Формула для расчета прогиба представляет из себя неравенство следующего вида (формула № 1):

    М / (W n, min* Ry * Уc) ≤1

    Чтобы правильно применить формулу, нужно действовать так:

    • Нарисовать схематично балку и ее будущее расположение под крышей дома. Чтобы верно изобразить на чертеже все части исследуемого объекта, нужно знать форму и линейные размеры балки, поперечного сечения, характер будущих нагрузок, материал, из которого балка изготовлена.
    • Записать ее точные размеры.
    • Рассчитать по указанной формуле, чему равно частное максимального момента балки к произведению остальных трех величин.
    • Сравнить полученный результат с единицей: если он меньше или равен 1, то вычисления дают положительный ответ.

    Зная значение параметров рассматриваемой балки и сил, действующих на нее, сделав нехитрые вычисления, можно быстро справится с задачей вычисления допустимого прогиба балки дома.

    Как вычислить вспомогательные величины

    Для получения полной информации о значениях, необходимых для достижения конечной цели вычислений, нужно узнать, каков момент сопротивление сечения (формула № 2):

    Wn(требуемое) = М мах / (Ry * Уc)

    Необходимо обязательно уитывать ориентирование рассматриваемого балочного сечения, так как с уменьшением моментов инерций жесткость балок снижается, чего допускать нельзя. Для выяснения максимального значения нагрузки f, которое может выдержать балка, надо вычислить его по такой формуле № 3:

    f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦], где

    • L – продольный размер, в метрах
    • E – коэффициент, показывающий упругость (для каждого материала или сплава он будет разным)
    • J – момент инерции по сечению
    • qn – это нагрузка, равномерно-распространенная, выражается в кг/м или в Н/м

    Показатель J рассчитывается так:

    J = b * h3 / 12

    Обозначения:

    • b – диаметр сечений
    • h – вертикальный размер сечения

    Примером для сечений, величиной 15 на 20 сантиметров:

    J = 0,15 * (0,2)3 / 12 = 10 000 см4 или 0,0001 м4

    Кроме указанных расчетных или табличных величин, среди важных факторов, которые нужно учитывать при определении максимальных нагрузок, выделяют такие: статические (которые действуют постоянно, независимо от переменных внешних факторов), периодические (действие ветра, вибрации, ударов).

    Пример подсчета прогиба

    Прогиб балки (формула, пример расчета) вычисляется так. Допустим, есть балка, для которой нужно рассчитать прогиб, с такими параметрами:

    • Материал изготовления – дерево.
    • Плотность 600 кг/м3.
    • Длина балки L – 4 м, остальные размеры: 15 см х 20 см.
    • Масса перекрывающих элементов – 60 кг/м².
    • Максимальная нагрузка q равна 249 кг/м.
    • E (насколько упруго дерево) – 100 000 кгс/ м².
    • J балок – 10 кг*м².

    Максимально допустимая нагрузка вычисляется с учетом веса не только балочной конструкции, но и перекрытия, а также опор.

    Расчет на поперечный прогиб

    Не лишним будет учесть тяжесть, которую будут оказывать люди или приборы, механизмы и другие тяжелые вещи, если вычисляется прогиб балок этажа дома. Нужны такие данные, как:

    • Сколько весит один пог. метр рассматриваемой балки.
    • Сколько весит каждый м2 перекрытия.
    • Какова временная нагрузка на перекрытие.
    • Сколько составляет нагрузка от перегородок на 1 м2 перекрытия.
    • Каков коэфф. k (это промежуток, оставляемый между балками).

    Чтобы упростить пример расчетов, принимают масс перекрытия за 60 кг/м², нормальную непостоянную нагрузку на каждое перекрытие – 250 кг/м², нагрузки от перегородок равными 75 кг/м², тяжесть части деревянных балок – 18 кг/погонный метр. Когда расстояние между перекрытиями равно составляет 600 мм, тогда коэффициент k равен 0,6. Подставляем в формулу все эти значения:

    q = ( 60 + 250 + 75 ) * 0,6 + 18 = 249 кг/м.

    Изгибающий момент нужно вычислить по формуле №3, учитывая все указанные выше данные. Получается:

     f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 44) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см.

    Это – показатель уровня прогиба во время воздействия максимальной нагрузки. Что именно он обозначает? Получается, что менее, чем на один сантиметр прогнется балка при указанной максимальной нагрузке. После этого нужно сравнить полученный результат с единицей: 0,83 меньше 1.

    При расчетах деформации важных строящегося здания используют указанные выше простые формулы. Прогиб балки по формуле СНиП является универсальным способом вычисления жесткости балок и величины их прогибания.

    Как посчитать балку на изгиб — на видео:

    Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.


    Расчёт перекрытия с деревянным каркасом — О программе

    Расчёт перекрытия с деревянным каркасом выполняется в соответствии с СП 20.13333.2016 «Нагрузки и воздействия», СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции» и СП 31-105-2002 «Проектирование и строительство энергоэффективных одноквартирных жилых домов с деревянным каркасом» по следующим параметрам:

    • прочность по нормативным напряжениям; предельное и расчётное значения определяются по СП 64.13330.2011, учёт нагрузок выполняется по СП 20.13330.2011;
    • устойчивость плоской формы деформирования; расчёт производится в соответствии с СП 64.13330.2011, учёт нагрузок выполняется по СП 20.13330.2011;
    • прогиб по конструктивным требованиям; предельное значение прогиба принимается СП 31-105-2002, учёт нагрузок выполняется по СП 20.13330.2016;
    • прогиб по физиологическим требованиям; предельное и расчётное значения прогиба определяются и учёт нагрузок выполняется по СП 20.13330.2016.

    Нормативная равномерно распределённая нагрузка (если не используется возможность самостоятельно указать её величину) выбирается по СП 20.13330.2016.

    Указываемая нагрузка от конструкций должна включать вес перекрытия, и может учитывать нагрузки от других конструкций, в частности, ненесущих перегородок, приведённые к равномерно распределённой нагрузке по площади перекрытия.

    При расчёте предполагается, что балки имеют опоры только на концах (промежуточные опоры отсутствуют).

    Для использования программы требуется браузер с поддержкой HTML5 и WebGL.

    Вернуться к расчёту

    Расчёт перекрытия основывается на вычислении параметров единичной деревянной балки постоянного сечения под действием требуемых сочетаний нагрузок.

    Геометрические характеристики балки прямоугольного сечения

    Для выполнения расчёта требуется ряд геометрических характеристик досок перекрытия, являющихся балками прмоугольного сечения постоянной высоты.

    Момент инерции поперечного сечения балки вычисляется по формуле:

    I=bh412,

    где b — ширина сечения балки;
    h — высота сечения балки.

    Характеристики материала балки

    Выбранные характеристики балки соответствуют доске класса C24 (второй сорт) со следующими коэффициентами условий работы:

    Условие работы Коэффициент Значение
    коэффициента
    Режим нагружения mдл,E 1.0
    Условия эксплуатации конструкций 2 (нормальные) 1.0
    Установившаяся температура эксплуатации менее 35°C 1.0
    Срок службы до 50 лет mс.с 1.0

    Расчётные значения характеристик балки составляют:

    Описание Обозначение Базовое
    значение
    Применяемые
    коэффициенты
    Расчётное
    значение
    EⅡ Модуль упругости при расчёте по предельным состояниям 2-ой группы Eср 13 МПа mдл,Emвmтmс.с 11.7 МПа

    Расчёт прогиба балки

    Наибольший прогиб шарнирно-опёртой изгибаемой балки постоянного сечения с учётом деформации сдвига производится по формуле, рекомендованной СП 64.13330.2017:

    f=f0k1+chl2,

    где f0 — прогиб балки постоянного сечения высотой h без учёта деформации сдвига;
    k — коэффициент, учитывающий влияние переменности высоты сечения;
    c — коэффициент, учитывающий влияние деформации сдвига от поперечной силы;
    h — наибольшая высота сечения;
    l — пролёт балки.

    Коэффициенты k и c прининяты на основании данных СП 64.13330.2017 таблица Е.4 приложения Е для принятой расчётной схемы и равны:

    k=1
    c=19.2

    Прогиб балки постоянного сечения под действием равномерно-распределённой нагрузки без учёта деформации сдвига выполняется по формуле теоретической механики:

    f0=5ql4384EⅡI,

    где q — величина равномерно-распределённой нагрузки;
    l — пролёт балки;
    EⅡ — расчётный модуль упругости древесины при расчёте по предельным состояниям 2-ой группы;
    I — момент инерции поперечного сечения балки.

    Нагрузки, коэффициенты надежности и понижающие коэффициенты

    В исходных данных для расчёта задаются два вида нормативных нагрузок:

    • нагрузка от конструкций;
    • нагрузка от людей, складируемых материалов.

    Значения нормативных нагрузок от людей, складируемых материалов могут быть приняты рекомендованными в СП 20.13330.2016 или указаны. Рекомендованые значения нагрузок зависят от назначения помещения и составляют:

    Квартиры жилых помещений 1.5 кПа (150 кгс/м2)
    Чердачные помещения 0.7 кПа (70 кгс/м2)
    Коридоры 3.0 кПа (300 кгс/м2)

    Для вычисления расчётных и пониженных значений нагрузок применяются следующие коэффициенты по СП 20.13330.2016:

    Коэффициент надежности по нагрузке для веса строительных конструкций γf 1.1
    Коэффициент надежности по нагрузке для равномерно распределённых нагрузок γf 1.3
    Понижающий коэффициент для равномерно распределённых нагрузок Комнаты, коридоры 0.35
    Чердачные помещения 1.0

    Кроме этого при расчёте балок для комнат и коридоров при грузовой площади одной балки применяется понижающий коэффициент для равномерно распределённой нагрузки:

    φ1=0.4+0.6A/9,

    где A — грузовая площадь с которой передаются нагрузки на балку. Для чердачных помещений этот коэффициент равен 1.0.

    Проверка балки на прогиб — Яхт клуб Ост-Вест

    Процесс проектирования современных строений и построек регулируется огромным количеством различных строительных норм и правил. В большинстве случаев нормы требуют обеспечения определенных характеристик, например, деформации или прогиба балок плит перекрытия под статической или динамической нагрузкой. Например, СНиП № 2.09.03-85 определяет для опор и эстакад прогиб балки не более чем в 1/150 длины пролета. Для чердачных перекрытий этот показатель составляет уже 1/200, а для межэтажных балок и того меньше – 1/250. Поэтому одним из обязательных этапов проектирования является выполнение расчета балки на прогиб.

    Способы выполнить расчет и проверку на прогиб


    Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность.

    Просчитать прогиб конструкции можно несколькими способами:

    • Воспользоваться программным онлайн-калькулятором, в котором «зашиты» стандартные условия, и не более того;
    • Использовать готовые справочные данные для различных типов и видов балок, для различных опор схем нагрузок. Нужно только правильно идентифицировать тип и размер балки и определить искомый прогиб;
    • Посчитать допустимый прогиб руками и своей головой, большинство проектировщиков так и делают, в то время как контролирующие архитектурные и строительные инспекции предпочитают второй способ расчета.

    Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет.

    Методика выполнения расчета на прогиб


    Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета.

    Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото.

    В нашем случае балка:

    1. Имеет прямоугольное сечение S=b*h , длина опирающейся части составляет L ;
    2. Линейка нагружена силой Q , проходящей через центр тяжести изгибаемой плоскости, в результате чего концы поворачиваются на небольшой угол θ , с прогибом относительно начального горизонтального положения, равным f ;
    3. Концы балки опираются шарнирно и свободно на неподвижных опорах, соответственно, не возникает горизонтальной составляющей реакции, и концы линейки могут перемещаться в произвольном направлении.

    Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ , где Е – справочная величина, R — усилие, Δ — величина деформации тела.

    Вычисляем моменты инерции и сил


    Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е) . Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е) .

    Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже.

    Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е) .

    Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил Mmax = q*L*2/8 , соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) . Величину b·h 2 /6 называют моментом инерции и обозначают W . В итоге получается Δх = M·х/(W·Е) основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E через момент инерции и изгибающий момент.

    Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L 2 /8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления.

    Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h 3 /12, где b и h – размеры сечения балки.

    Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150.

    Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя.

    Формулы для практического использования


    На практике чаще всего стоит обратная задача – определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии.

    Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения.

    Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем:

    • Первоначально измеряется геометрия плиты или балки, фиксируется величина прогиба;
    • По измеренным параметрам определяется сортамент балки, далее по справочнику выбирается формула момента инерции;
    • По прогибу и моменту инерции определяют момент силы, после чего, зная материал, можно выполнить расчет реальных напряжений в металлической, бетонной или деревянной балке.

    Вопрос – почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L 2 /(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия.

    Ответ прост — необходимо непросто рассчитать, но и сохранить на бумаге ход выполнения проверочного расчета, чтобы сделанные выводы о состоянии перекрытия можно было проверить и перепроверить по всем этапам проверки.

    Заключение


    Аналогичным образом поступает большинство разработчиков и проектантов серьезных построек. Программа – это хорошо, она помогает очень быстро выполнить расчет прогиба и основных параметров нагружения перекрытия, но важно также предоставить заказчику документальное подтверждение полученных результатов в виде конкретных последовательных расчетов на бумаге.

    В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

    Что такое прогиб балки?

    Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).

    Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.

    ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.

    Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

    Метод начальных параметров

    Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)

    Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

    • в опорах прогибы равны нулю;
    • в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.

    Расчет прогибов балки

    Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

    Реакции опор

    Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.

    Система координат

    Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

    Распределенная нагрузка

    Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.

    Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

    То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

    Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.

    Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:

    Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

    Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

    Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

    Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:

    Учет внешней нагрузки

    И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. < 3 >>< 6 >]

    • Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:

    Формулы прогибов

    С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:

    В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.

    Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:

    Выражаем угол поворота:

    Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:

    Вычисление прогиба

    Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:

    Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.

    Произвести полный расчет на прочность и проверить жесткость изгибаемой статически определимой двутавровой балки (рис. 1) при следующих данных: F=40кН, q=30 кН/м, a=0,8 м, l=4м, допустимые нормальные и касательные напряжения: [ σ ]=160 МПа и [ τ ]=100 МПа, допустимый прогиб балки [f]= l/400

    Определение опорных реакций

    Подробно, пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь

    А также в нашем видеоуроке:

    Построение эпюр Q и М

    По этим данным построены эпюры Q и М.

    Подбор сечения двутавровой балки

    Так как Мmах = 45 кНм, то

    По сортаменту выбираем двутавр № 24, для которого Wx = 289 см 3 , Ix= 3460 см 4 , Smax = 163 см 3 , h = 24 см, bп = 11,5 см, t = 0,95 см, d = bc = 0,56 см, h = h-2t = 22,1 см.

    Этот двутавр будет работать при максимальном нормальном напряжении в крайнем волокне опасного сечения.

    Проверка сечения балки по касательным напряжениям

    Так как Qmax = 68 кН, то

    Построение эпюр нормальных σ и касательных τ напряжений в неблагоприятном сечении балки:

    В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение над левой опорой, в котором:

    Значение напряжений в различных точках по высоте двутавра сведены в таблицу 1

    Проверка прочности балки по главным напряжениям

    Наиболее опасной точкой в неблагоприятном сечении является точка 3. В этой точке σ 1=118 МПа и σ 3= -16 МПа. Проверяем прочность в этой точке по третьей гипотезе прочности согласно неравенству σ 1 — σ 3≤ [ σ ].

    Так как 118 — ( -16) = 134 θ

    откуда θ = -8,48∙10 -3 радиан.

    Прогиб в пролете при z=l/2=4/2=2 м.

    Аналогично определяется прогиб на конце консоли при z = l + a =4+0,8 = 4,8 м.

    Отклонение луча: как рассчитать

    В приложениях, связанных с перемещением, существует множество ситуаций, когда линейная направляющая или привод не полностью поддерживается по всей своей длине. В этих случаях прогиб (из-за собственного веса компонента и из-за приложенных нагрузок и сил) может повлиять на ходовые качества подшипников и вызвать плохую работу в виде преждевременного износа и заедания.

    Изделия, которые могут быть смонтированы только с концевыми опорами, такими как линейные валы или приводы в сборе, или в консольной ориентации, например телескопические подшипники, обычно имеют спецификацию максимально допустимого отклонения.Важно проверить приложение и убедиться, что этот максимальный прогиб не превышен. К счастью, большинство линейных направляющих и приводов можно смоделировать как балки, а их отклонение можно рассчитать с помощью обычных уравнений отклонения балки.

    Соображения, касающиеся материалов и конструкции

    При расчете прогиба необходимо знать свойства направляющей или привода и условия приложенной нагрузки. Что касается направляющей или привода, важными критериями являются модуль упругости и планарный момент инерции компонента.Модуль упругости является мерой жесткости материала, и его обычно можно найти в каталоге продукции. Момент инерции описывает сопротивление объекта изгибу и иногда предоставляется производителем компонента. Если момент инерции не указан, его можно разумно аппроксимировать, используя уравнение момента инерции для сплошного или полого цилиндра (для линейного круглого вала) или прямоугольника (телескопический подшипник или линейный привод).


    Модуль упругости, также известный как модуль Юнга или модуль упругости при растяжении, может быть определен как отношение напряжения (силы на единицу площади) на оси к деформации (отношение деформации по длине) вдоль этой оси.

    Планарный момент инерции (также называемый вторым моментом площади или моментом инерции площади) определяет, как точки области распределяются относительно произвольной плоскости и, следовательно, ее сопротивление изгибу.


    С точки зрения применения и конструкции критериями, влияющими на прогиб балки, являются тип опоры на концах направляющей или привода, приложенная нагрузка и длина без опоры. Когда компонент является консольным, его можно смоделировать как фиксированную балку, а когда он поддерживается с обоих концов, он обычно может быть смоделирован как балка с простой опорой.Для консольных балок максимальное отклонение будет происходить, когда нагрузка находится на свободном конце балки, в то время как для балок с простой опорой максимальное отклонение будет иметь место, когда нагрузка находится в центре балки.

    При определении общего отклонения имейте в виду, что будут иметь две нагрузки, , которые вызывают отклонение: вес направляющей или самого привода и приложенная нагрузка. Собственный вес компонента почти всегда можно смоделировать как равномерно распределенную нагрузку, оценивая приложенную нагрузку как точечную нагрузку в месте максимального прогиба (на свободном конце консольной балки или в центре балки с простой опорой). обычно обеспечивает наихудший сценарий полного прогиба.

    Прогиб консольных балок

    Телескопические подшипники часто являются консольными, и некоторые конфигурации декартовых роботов приводят к консольному приводу на оси Y или Z. В этом случае вес балки, который достаточно однороден по длине, вызывает максимальный прогиб на конце балки.

    Изображение предоставлено: wikipedia.org

    Этот прогиб рассчитывается как:

    Где:

    q = сила на единицу длины (Н / м, фунт-сила / дюйм)

    L = длина без опоры (м, дюйм)

    E = модуль упругости (Н / м 2 , фунт-сила / дюйм 2 )

    I = планарный момент инерции (м 4 , дюйм 4 )

    Для создания сценария наихудшего прогиба мы рассматриваем приложенную нагрузку как точечную нагрузку (F) на конце балки, и результирующий прогиб можно рассчитать как:

    Сложив прогиб из-за равномерной нагрузки и прогиб из-за приложенной (точечной) нагрузки, получаем общий прогиб на конце балки:

    Прогиб свободно опертых балок

    Линейные валы и приводы часто закрепляются на концах, оставляя длину без опоры, как у балки с простой опорой.Равномерная нагрузка на балку (собственный вес вала или привода) вызовет максимальный прогиб в центре балки, который можно рассчитать как:

    Поскольку это балка с простой опорой, приложенная нагрузка может быть смоделирована как точечная нагрузка в центре балки для наихудшего сценария.

    Изображение предоставлено: wikipedia.org

    Прогиб из-за приложенной нагрузки в этом состоянии рассчитывается как:

    Полный прогиб в центре балки:

    Прогиб валов с двумя подшипниками

    Когда два подшипника используются на балке с простой опорой, как это обычно бывает с круглыми направляющими вала, приложенная нагрузка распределяется между двумя подшипниками, и максимальное отклонение происходит в двух местах: в положении на каждом подшипнике , когда подшипниковый узел (иногда называемый кареткой или столом) находится в середине вала.

    Изображение предоставлено: Thomson Linear

    Расчет отклонения балки для этого условия:

    Опять же, мы должны добавить прогиб из-за собственного веса балки плюс прогиб из-за приложенной нагрузки, чтобы получить общий прогиб:


    Существуют дополнительные сценарии монтажа и нагружения, которые могут возникнуть в некоторых приложениях, например, в приводе с фиксированной опорой на обоих концах. Но, как и в приведенных выше примерах, их можно оценить с помощью стандартных уравнений отклонения балки.Полный список сценариев опор балки и уравнений отклонения можно найти на этой странице Корнельского университета.

    Изображение предоставлено: wikipedia.org

    Прогиб балки

    Расс Эллиот

    Благодарности : Существует ряд стандартных работ, посвященных принципам отклонения балки. Особенно хорошее описание, на котором основаны приведенные здесь уравнения, содержится в книге Mechanics of Materials (четвертое издание SI) Дж. М. Гира и С. П. Тимошенко, Стэнли Торнса, ISBN 0 7487 3998 X.Для вывода уравнений следует обращаться к этой работе.

    Введение

    Прогиб пружинной балки зависит от ее длины, формы поперечного сечения, материала, места приложения отклоняющей силы и того, как балка поддерживается.

    Уравнения, приведенные здесь, относятся к однородным, линейно упругим материалам, в которых вращение балки невелико.

    В следующих примерах рассматриваются только нагрузки, действующие в одной точке или отдельных точках — точка приложения силы F на схемах предназначена для обозначения рупорного блока модели локомотива (или буксы транспортного средства), способного перемещаться вертикально. в рупорной направляющей и действуя против силы пружинной балки, закрепленной на локомотиве или основных рамах транспортного средства или поддерживаемых ими.Доля общего веса, действующего на каждую ось локомотива или транспортного средства, будет зависеть от положения его центра тяжести по отношению к оси (или точек крепления уравновешивающих балок шасси, если они используются).

    Приложение для моделирования рожковых блоков локомотивов

    Как видно из уравнений, толщина материала ( h или d ) очень важна, и, следовательно, увеличивающиеся размеры в диапазоне доступных гитарных струн делают их очень привлекательными для использования в качестве пружинные балки.Также существует значительная разница в прогибе балки для данной силы, в зависимости от того, как она поддерживается и фиксируется, а также от того, поддерживается ли она только на одном конце или на обоих концах.

    Предполагается, что конструкция должна быть основана на заданном прогибе рогового блока, а затем определить, какая длина, толщина и стиль балки наиболее подходят для конкретной силы, которая должна восприниматься каждой осью.

    Для локомотивов, вес которых составляет от 4 до 6 граммов на тонну прототипа, массы, поддерживаемые каждым отдельным роговым блоком локомотива, вероятно, будут находиться в диапазоне от 30 до 60 граммов (что соответствует нагрузке прототипа от 14 до 20 тонн на тонну). ось).

    Выбор значения отклонения

    Для разумного мелкого пути в масштабе 4 мм рекомендуемое значение прогиба рогового блока, δ , при конечной нагрузке локомотива составляет 0,5 мм.

    Известно, что вышеупомянутая рекомендация является чрезмерно упрощенной и, возможно, неверным предположением о том, каким должно быть расчетное значение прогиба, и вызвала серьезные споры. Приветствуется любой опыт применения этой рекомендации в реальной практике моделирования шасси — цель этой статьи — начало обсуждения, а не его заключение.Щелкните здесь, чтобы ознакомиться с вопросами по этому поводу.

    Момент инерции,

    I
    Момент инерции прямоугольного сечения

    I = bh 3 ∕ 12

    , где h — размер в плоскости изгиба, т.е. в оси, по которой действует изгибающий момент


    Момент инерции круглого сечения

    I = π r 4 ∕ 4 = π d 4 ∕ 64

    , где r и d — радиус и диаметр соответственно

    Все приведенные ниже уравнения содержат I , момент инерции балки, который является константой, определяемой формой и толщиной поперечного сечения балки.Момент инерции не зависит от длины или материала балки. Здесь рассматриваются только прямоугольные и круглые цельные сечения.

    Пояснения к схемам прогиба и обозначениям

    На схемах показаны два типа опор: фиксированная и простая. На неподвижной опоре балка удерживается жестко, а угловой прогиб в точке крепления равен нулю. На простой опоре балка может скользить по опоре и вращаться в соответствии с силой, приложенной к балке.

    L = длина балки
    a = промежуточная длина балки
    δ = прогиб балки
    F = сила (т. Е. Доля веса локомотива, которому оказывает сопротивление букса)
    E = модуль Юнга
    I = момент инерции балки

    Уравнения и диаграммы прогиба

    Примечание к схемам и уравнениям .Приведенные здесь диаграммы были перевернуты по сравнению с их обычным описанием в учебниках, чтобы отразить их применение для моделей локомотивов и буксовых ящиков транспортных средств. Тем не менее, хотя уравнения для отклонения были сохранены в соответствии с их учебником, нормальное соглашение о знаках (+ или -, чтобы указать отклонения по вертикальной оси y от опорной линии балки) было проигнорировано, поскольку мы обеспокоены здесь только с абсолютной величиной прогиба балки.

    Концевая нагрузка на консольную балку с одиночной неподвижной опорой

    δ = FL 3 ∕ 3 EI

    Это уравнение также следует использовать для отклонения уравнительной балки, вращающейся вокруг фиксированной оси и опирающейся на два рупорных блока по обе стороны от оси поворота.

    Двойные нагрузки на балку с двумя простыми опорами
    (примеры применения этой конфигурации)

    Это может быть применено для двух роговых блоков, прижимающихся к одной балке. Прогиб на расстоянии a от соседней опоры составляет:

    δ = Fa 2 (3 L — 4 a ) ∕ 6 EI

    Свисающая нагрузка на балку, ограниченная двумя простыми опорами

    δ = Fa 2 ( L + a ) ∕ 3 EI

    Промежуточная / центральная нагрузка на балку с одной фиксированной и одной простой опорой

    Отклонение по длине a от неподвижной опоры составляет:

    δ = Fa 3 ( L a ) 2 (4 L a ) ∕ 12 EIL 3

    Для нагрузки в центре балки, подставив a = L ∕ 2 в приведенное выше уравнение, прогиб составит:

    δ = 3.5 FL 3 ∕ 384 EI

    Центровка нагрузки на балку с двумя неподвижными опорами

    δ = FL 3 ∕ 192 EI

    При нагрузке в центре отклонение на расстоянии a от фиксированной опоры
    (где a меньше чем или равно L ∕ 2 ):

    δ = Fa 2 (3 L — 4 a ) ∕ 48 EI

    Промежуточная нагрузка на балку с двумя неподвижными опорами

    Отклонение на расстоянии a от неподвижной опоры составляет:

    δ = 2 Fa 3 ( L a ) 2 ∕ 3 EI (2 а + Д ) 2

    Значения модуля Юнга,

    E
    Бериллий медный 124 ГПа 1
    Латунь, твердость 70/30 117.2 ГПа
    Латунь неуточненная от 96 до 110 ГПа
    Нейзильбер 132,5 ГПа (127 ГПа 1 )
    Бронза фосфористая, 5%, твердая 131,8 ГПа
    Фосфорная бронза (92% Cu / 8% Sn, или CuSn8) 111 ГПа 1
    Сталь мягкая или инструментальная 212 ГПа
    Сталь мягкая, низкоуглеродистая 210 ГПа
    Сталь мягкая (закаленная) 201.4 ГПа
    Сталь нержавеющая 215,2 ГПа (190 ГПа 1 )
    Сталь инструментальная (закаленная) 203,2 ГПа

    Следует отметить, что это теоретические значения.

    Типичное значение для стальной гитарной струны можно принять как 205 ГПа.

    Значения, указанные для фосфористой бронзы, различаются: кажется, что они будут зависеть от материала типа «пружинный» или «экстрапружинный», состоящий из фосфористой бронзы 92% Cu / 8% Sn. обычно используется в переключателях с защелкой.

    1 Шигли, Отдел машиностроения, 1980, McGraw Hill

    Примечания к единицам и размерам

    1 Па = 1 Н · м -2 = 10 -6 Н · мм -2 = 10 -6 кг · м · с -2 · мм -2 = 1 г · мм -1 · с -2

    Чтобы получить силу F в приведенных выше уравнениях, массу нужно умножить на гравитационную постоянную г (9.81 м · с -2 , или, что нам удобнее, 9810 мм · с -2 )

    Размеры модуля Юнга E составляют ML -1 T -2
    Размеры усилия F составляют L 2 ML -1 T -2 = MLT -2
    Размеры момента инерции I L 4

    © Расс Эллиотт

    впервые опубликовано 19 апреля 2000 г .;
    небольшая редакционная правка, август 2001 г .;
    уравнение для промежуточной нагрузки на балку с двумя фиксированными опорами исправлено, и уравнение прогиба для промежуточной / центральной нагрузки на балку с одной фиксированной и одной простой опорой повторно выражено, январь 2005 г .; Диаграмма
    для свисающей нагрузки на балку, ограниченную двумя простыми опорами, пересмотрена 8 октября 2009 г .;
    Уравнение промежуточной нагрузки на балку с двумя неподвижными опорами исправлено, 30 декабря 2010 г.

    Легкий прогиб стальной балки

    Верулам, инженер-строитель Том.70, No. 12, 16 июня 1992 г.

    Легкое отклонение луча

    Г-н А. Н. Бил из Лидса прислал нам записку с предложением простой процедуры приблизительного ручного расчета прогибов стальных балок. Хотя его вклад оказался слишком длинным, чтобы его можно было полностью включить в Verulam, его сокращенная версия может заинтересовать многих читателей. Г-н Бил отмечает, что, хотя расчет вручную изгибающих напряжений в балке обычно не является трудным, расчет прогибов может быть гораздо более трудоемким.Поскольку обычно нет необходимости знать прогиб с какой-либо большой степенью точности (в пределах 10%, вероятно, будет адекватным), предлагается следующий подход.

    Пример балки с простой опорой, поддерживающей равномерную нагрузку, иллюстрирует подход.

    Если мы возьмем формулу прогиба (Δ = 5WL³ / 384EI) и выразим ее через изгибающий момент (M = WL / 8), то получится Δ = 5ML³ / 48EI.

    Теперь для стальной балки напряжение упругого изгиба fbt = M / Z, где Z = 2I / D, что дает fbt = MD / 2I.
    (Z — модуль упругости, I — момент инерции, D — общая глубина сечения.)

    Подставив это в формулу прогиба, мы получим Δ = 5 fbtL³ / 24ED. При E 210 кН / мм² это становится:

    Δ (мм) = 0,992 фбтL² / д. . . (1)

    Здесь fbt, L и D выражены в их обычных единицах измерения: Н / мм², м и мм соответственно.

    Для всех практических целей формула

    Δ = fbtL² / D. . . (2)

    удобен в использовании, легко запоминается и отличается точностью до 1%.

    Г-н Бил затем переходит к рассмотрению других распределений нагрузки, аналогичным образом связывая центральный прогиб Δ с экстремальным напряжением волокна fbt, давая результаты, показанные в первом столбце результатов в таблице 1. Во втором столбце приведены значения для балок с фиксированными концами , которые Г-н Бил предлагает использовать его для оценки прогибов непрерывных балок.

    Наконец, г-н Бил показывает, как его методика может использоваться для сложных нагрузок, вычисляя отклонение нагруженной балки с простой опорой, как показано на рис. 1:

    Рис.1

    Центральный изгибающий момент, рассчитанный как 444,3 кНм.
    Для сечения балки, Z = 2474 см³, D = 539,5 мм, что дает

    фут = 179,6 Н / мм².

    Простое приблизительное отклонение с использованием ур. (2) это

    ΔAPP = 179,6 x 7² / 539,5 = 16,3 мм = L / 429 OK.

    Для более точной оценки, учитывая, что большая часть момента создается центральной точечной нагрузкой, мы могли бы взять коэффициент, более близкий к значению точечной нагрузки, равному 0.8 (скажем, 0,85), что дает

    Δ = 0,85 футов x L² / D = 13,9 мм

    Для сравнения, точный компьютерный анализ той же балки дал отклонение 13,8 мм.

    Таким образом, для большинства практических целей нам нужно запомнить только четыре простые формулы для прогиба прямошовных или непрерывных стальных балок, как показано в Таблице 2.

    Эти формулы не только упрощают жизнь для простых равномерных и точечных нагрузок — они означают, что прогиб при более сложных схемах нагружения может быть рассчитан без труда.Они также особенно подходят для проверки компьютерных рисунков «обратной стороной конверта». Лучше всего то, что их легко запомнить.

    Есть желающие?

    Лучшее руководство по определению прогиба в балках переменного поперечного сечения — опытный инженер

    Таблицы балок дают информацию и предполагают, что прогиб расчет основан на постоянном сечении. Итак, что делать, если у нашей балки есть крест сечение, которое меняется по длине балки?

    Чтобы определить величину отклонения в балка переменного сечения, необходимо интегрировать формулу прогиба балки с моментом инерции, являющимся переменной по отношению к длине и применить граничные условия.Луч Формула отклонения: v ’’ = M (x) / [E * I (x)].

    Непрерывное или дискретное — Есть два типа секций балки: непрерывная и дискретная. Большинство балок представляют собой непрерывные балки и имеют либо постоянное сечение, либо сечение, которое постепенно изменяется по длине балки. Кровельные балки в больших стальных зданиях — отличный пример непрерывной переменной балки. Балка относительно короткая на концах и очень высокая посередине.

    Дискретные балки балки которые имеют внезапные разрывы в разрезе.Вы не поверите, но иногда это проще для расчета, потому что дискретные участки обычно постоянны, что приводит к более легкий расчет.

    Формула отклонения балки является универсальной формула, которая позволяет настраивать несколько нагрузок и балку разделы. Предупреждаю, что чем больше чем точнее должны быть ваши расчеты, тем сложнее будет выполнить математику. Упрощение здесь сэкономит много времени и усилия. Как упоминалось ранее, формула:

    в ’’ = M (x) / [E * I (x)]

    Где v ’’ — вторая производная отклонения ( ускорение прогиба), M — момент, который обычно является функцией положение по длине балки, x. E — модуль упругости, I — момент инерции поверхности луч. Все табличные балки будут считайте это постоянной величиной и, следовательно, ни одна из формул прогиба может быть использован.

    Теперь, когда мы проинтегрируем приведенное выше уравнение, мы будем выполнение неопределенного интеграла, что означает, что мы должны добавить константу, C n, к многочлену каждый раз, когда мы интегрируем. Поскольку мы будем интегрировать уравнение два раза, мы получим две константы. Если у нас есть дискретный В этом случае у нас будет два или более уравнений.

    Граничные условия — это требования, которым должна соответствовать формула прогиба балки, когда она находится в окончательном виде. Окончательная форма приходит только тогда, когда мы используем граничные условия для решения констант образованный неопределенным интегралом. Общий случаи: концы балки с опорой должны быть равны 0 (дюймы, мм и т. д.) или наклон консольной балки должен быть 0 радиан.

    В этой статье мы рассмотрим три примера распространенных балок переменного сечения.

    1. Двухсекционная консольная балка с точечной нагрузкой на конце.
    2. Двухсекционная балка, свободно поддерживаемая собственным весом.
    3. Постоянно изменяющаяся неразрезная балка с простой опорой и постоянной распределенной нагрузкой.

    Лучшее руководство по минимизации отклонения луча

    Пример 1. Двухсекционная консольная балка с точечной нагрузкой на конце.

    Эта проблема состоит из 100-дюймового консольная стальная балка с нагрузкой 500 фунтов.4.

    Теперь мы определим момент и дважды проинтегрируем уравнение прогиба балки, каждый раз добавляя переменную для неопределенного интеграла. Я решил, что моя система координат (переменная x) начинается с основания. Это немного усложняет интегрирование, но переменные C 1 и C 2 будут уравновешиваться из-за граничных условий 1 и 2. Вы увидите через секунду.

    Мне нужно выполнить интегрирование только для одного из разделов, а затем изменить I 1 на I 2 в уравнениях.Я также сохранил переменную «v» как отклонение балки, но изменил первую производную отклонения на переменную «s», чтобы указать наклон. Я также указал переменные.

    Теперь, когда проблема определена, давайте установим граничные условия. Нам нужно, чтобы положение и наклон на фиксированном конце балки составляли 0 дюймов и 0 радиан. Также нам понадобятся еще два граничных условия на стыке сегментов. Наклон и положение в этом положении должны быть одинаковыми.

    Решим граничные условия 1 и 2

    Как упоминалось выше, я предвидел, что переменные C1 и C2 будет равно 0, когда я выберу, чтобы система координат начиналась с база.

    Далее мы рассмотрим граничные условия 3 и 4. Они немного сложнее.

    Обратите внимание на чек, который я поставил в блок Find, чтобы чтобы мы могли проверить, что v 1 = v 2 и s 1 = s 2 при 50in.Это подтверждает что положение и наклон в этой точке будут непрерывными.

    Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Первый — нанести каждый сегмент по всей длине. Мы ищем четыре граничных условия, которые должны быть выполнены. Как видите, линии пересекаются и касаются друг друга на расстоянии 50 дюймов. Кроме того, v 1 не имеет прогиба или наклона в основании.

    Наконец, мы объединим два графика вместе, образуя окончательное уравнение для отклонения нашей консольной балки.

    Как видите, отклонение быстро увеличивается после 50 дюймов от основания. Это четко указано на обоих графиках.

    4 лучших способа улучшить характеристики торсионной балки

    Пример 2: Двухсекционная стальная балка с простой опорой под собственным весом.

    Эта проблема состоит из стальной балки с простой опорой длиной 300 дюймов с распределенной нагрузкой 30 фунтов / дюйм на левом конце. На правом конце распределенная нагрузка составляет 50 фунтов.4.

    Теперь определим момент и проинтегрируем уравнение отклонения балки дважды каждый раз, добавляя переменную. Я выбрал две системы координат. Координата x идет слева направо и координата y идет справа налево. Их связывает:

    г = L-x

    Я выбрал эту систему координат так, чтобы C 2 и C 4 будет сокращаться, когда мы решаем граничные условия 1 и 2. Это также упрощает математику. чрезвычайно.Вы увидите через секунду.

    Мне нужно выполнить интегрирование только для одного из разделов, а затем изменить I 1 на I 2 и w 1 на w 2 в уравнениях. Для уравнений правого сечения я также заменю «y» на «x». Я также сохранил переменную «v» как отклонение балки, но изменил первую производную отклонения на переменную «s», чтобы указать наклон. Я также указал переменные.

    Теперь, когда проблема определена, давайте установим граничные условия.Нам нужно, чтобы концы балки были отклонены на 0 дюймов (BC 1 и 2). Также нам понадобятся еще два граничных условия на стыке сегментов. Наклон и положение в этой позиции должны быть такими же, как и в месте соединения сегментов.

    Решим граничные условия 1 и 2

    Как упоминалось выше, я предвидел, что переменные C 2 и C 4 будет равно 0, когда я выберу координату система запускается на базе.

    Далее мы рассмотрим граничные условия 3 и 4. Они немного сложнее.

    Обратите внимание на чек, который я поставил в блок Find, чтобы чтобы мы могли проверить, что v 1 = v 2 и s 1 = с 2 при 200 дюйм. Это подтверждает что положение и наклон в этой точке будут непрерывными.

    Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Первый — нанести каждый сегмент по всей длине.Мы ищем четыре граничных условия, которые должны быть выполнены.

    Ой, что случилось !? Линии определенно пересекаются на расстоянии 200 дюймов, и каждый конец имеет 0 дюймов прогиб, но они не касаются на пересечении. Я не только показываю силу график решения для точности, но также демонстрируя, что с помощью двух разные системы координат создают проблему. Согласно уравнениям склоны приближаются к месту расположения стык на равном по величине нисходящем склоне.Однако сделать эту работу одной из склонов на самом деле нужно подойти. Мы можем исправьте эту проблему, внеся одно небольшое изменение.

    с 1 = -s 2

    Давайте внесем это изменение и приступим к решению.

    Да, намного лучше! Наконец, мы объединим два графика вместе, образуя окончательное уравнение для отклонения нашей консольной балки.

    Как и ожидалось, более длинная и жесткая секция меньше прогибается.

    Как рассчитать данные о пучке, если вашего случая нет в таблице

    Пример 3: Постоянно изменяющаяся неразрезная балка с простой опорой и постоянной распределенной нагрузкой.

    Эта проблема состоит из стальной балки с простой опорой длиной 300 дюймов с распределенной нагрузкой 1000 фунтов / дюйм поперек балки. Сечение начинается на высоте 10 дюймов, линейно увеличивается к центру, где достигает высоты 24 дюйма. Затем он снова сужается до 10 дюймов.

    Чтобы определить, как момент инерции изменяется относительно x, мы будем моделировать в Solidworks и делать сечения каждые 30 дюймов. Мы сведем эти данные в таблицу и подгоним к ним линию.

    Теперь вы, наверное, заметили, что я сделал таблицу только для значений от 0 до 150 дюймов. Это потому, что я собираюсь использовать симметрию, чтобы упростить эту сложную задачу. Мы можем использовать симметрию, потому что и нагрузка, и сечение балки симметричны относительно середины балки. Из-за симметрии нам нужно, чтобы конечная точка имела прогиб 0 дюймов, а наклон в середине балки был 0 градусов. Затем мы можем отразить это, чтобы получить непрерывное отклонение луча. В этом случае координата x будет идти слева направо.

    Здесь вы можете видеть, что вычисленные значения I (x) точно соответствуют тому, что указано в таблице выше. Я назвал вторую производную от положения «а1» (ускорение). Как видите, верхняя и нижняя части имеют переменную «x», и интегрировать это будет очень весело. Итак, вам нужно знать обо мне одну вещь. У меня есть ограничения на то, что я не буду делать. Интеграция — одна из таких вещей. Вот почему у нас есть MathCAD!

    Как видите, очень утомительная работа по интеграции была замалчена, и мы смогли напрямую решить для нашей границы условия.В уравнениях s (x) и v (x), на самом деле были натуральные бревна и каким-то образом появилась обратная касательная (не показано). Я до сих пор не жалею позволяя MathCAD делать всю работу.

    Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Первый — нанести каждый сегмент по всей длине. Мы ищем, чтобы наши граничные условия были выполнены. Как видите, отклонение при x = 0 дюймов составляет 0 дюймов, а наклон кажется плоским при x = 150 дюймов.

    Наконец, мы отразим графики вместе, образуя окончательное уравнение для отклонения нашей консольной балки.

    Как видите, отклонение составляет 0 дюймов в конечных точках и имеет максимальное отклонение в центре.

    Лучшее руководство по решению статически неопределимых балок

    Заключение

    В этой статье рассматриваются три популярных варианта нагружения, когда балка имеет переменное поперечное сечение. Хотя это действительно связано с исчислением, часто это очень легко сделать вручную, потому что это многочлены. Если нет, то будьте благодарны за такие надежные программы, как MathCAD, которые сделают это за вас.Эта статья должна дать вам хорошее представление о процедуре, используемой для анализа подобных балок. Если ваша балка не загружена именно так, вы всегда можете найти расчет момента в таблице и интегрировать свое сердце.

    Связанные

    Прогиб балки — Приложение по прочности материалов для энергетики

    Прогиб

    Цели обучения

    По завершении этой главы вы сможете вычислить:

    • Радиус кривизны отклоненной балки с использованием теоретических соотношений
    • Максимальный прогиб безопорной балки
    • Максимальный прогиб различных балок с использованием метода формул и приложений к учебнику

    Упругие свойства материалов количественно оцениваются через их модуль упругости.Все материалы в той или иной степени эластичны, например сталь E ≈ 210 ГПа, чугун E ≈ 160 ГПа, алюминий E ≈ 70 ГПа, бетон E ≈ 40 ГПа. В реальных условиях балки, подверженные внешним нагрузкам, будут прогибаться пропорционально изгибающему моменту и обратно пропорционально их жесткости. Общая жесткость балки может быть выражена как E × I c , где E можно рассматривать как жесткость материала, а I c как поперечную или геометрическую жесткость.

    Радиус закругления

    Просмотрите вывод отклонения балки, подробно описанный в главе 10. В практических ситуациях деформация балки очень мала по сравнению с ее длиной, и в результате радиус кривизны относительно велик.

    Этот радиус кривизны можно рассчитать с помощью

    .

    где:

    • E — модуль упругости (сопротивление, обусловленное свойствами материала)
    • I c — момент инерции относительно центральной оси (сопротивление из-за геометрии сечения)
    • M — изгибающий момент на интересующем участке

    Если балка нагружена таким образом, что изгибающий момент остается постоянным по сечению балки (горизонтальная линия на диаграмме BM), то прогиб представляет собой дугу окружности, а радиус кривизны постоянен.

    Найдите момент и проанализируйте приведенную выше формулу… увеличение жесткости балки (E × I c ) уменьшит прогиб (большое R), в то время как больший изгибающий момент приведет к меньшему радиусу кривизны (большему прогибу / провисанию).

    Прогиб луча

    Рассмотрим балку с простой опорой, как показано на схеме выше. Как только радиус кривизны найден, максимальный прогиб (в середине пролета) можно легко геометрически рассчитать следующим образом:

    Формульный метод для простых случаев

    Формула радиуса кривизны действительна только для случаев, когда изгибающий момент постоянен.В других случаях для определения отклонения балки используются геометрические методы или методы интеграции. Результаты этих расчетов, представленные в алгебраической форме, приведены в инженерной книге формул. Наиболее распространенные случаи описаны в Приложении F.

    к учебнику.

    При использовании стандартных формул необходимо сначала согласовать геометрию балки и нагрузку с одним из указанных случаев. Если вы имеете дело с более сложной нагрузкой, такой как точечные нагрузки, чрезмерно накладываемые на распределенную нагрузку, вы можете проанализировать две нагрузки по отдельности, а для полного прогиба просто добавьте составляющие.

    Назначенные задачи

    Для каждой задачи определите максимальный прогиб с помощью уравнений балки и сравните со значением, найденным с использованием радиуса кривизны.

    # Корпус: Загрузка и размеры Форма и материал
    Задача 1
    • P = 50 кН
    • a = 2 м; b = 3,5 м
    • Ш 200 × 59
    • AISI 1040, холоднокатаный
    Задача 2
    • P = 5000 фунтов.
    • a = 2 фута
    • L = 10 футов
    • Труба 6 ″ сорт. 40
    • SS 304, холоднокатаный
    Задача 3
    • w = 250 фунтов / фут
    • L = 35 футов
    • W 12 × 30
    • Алюминий 6061-T6
    Задача 4
    • w = 4400 Н / м
    • a = 4 м; b = 8 м
    • Труба DN 102, Sch 80
    • AISI 1020, холоднокатаный

    Проблема 5: Порекомендуйте одно улучшение этой главы.

    Модифицированная модель для расчета прогиба железобетонной балки с деформированной арматурой из стеклопластика

    Авторы провели экспериментальные и аналитические исследования, чтобы оценить изгибную способность и соотношение момент-прогиб бетонных балок, армированных стержнями из стеклопластика. Предлагаемая модель для прогнозирования эффективного момента инерции для ж / б балки с стержнями из стеклопластика была разработана эмпирически на основе уравнения Брэнсона, чтобы иметь лучшую точность и знакомый подход инженеру-строителю.Для лучшего прогнозирования зависимости момент-прогиб до достижения предельной прочности также учитывался нелинейный параметр (). Этот параметр был введен, чтобы уменьшить влияние момента инерции трещин для железобетонного элемента, включая более низкий коэффициент усиления и модуль упругости стержня из стеклопластика. В сравнительном исследовании с использованием шести уравнений, предложенных другими, предложенная модель показала лучшее согласие с результатами экспериментальных испытаний. Было подтверждено, что эмпирическая модификация, основанная на уравнении Брэнсона, действительна для прогнозирования эффективного момента инерции R / C балок с стержнем из стеклопластика в этом исследовании.Чтобы оценить общность предложенной модели, было проведено сравнительное исследование с использованием результатов предыдущих тестов из литературы и результатов этого исследования. Было обнаружено, что предложенная модель имеет лучшую точность и знакома инженерам-строителям для прогнозирования и оценки поведения прогиба.

    1. Введение

    Срок службы железобетонных (ЖБИ) конструкций может быть уменьшен за счет ряда факторов, включая суровые условия окружающей среды и неожиданные чрезмерные внешние нагрузки.Одним из основных факторов, способствующих ухудшению состояния конструкции, является коррозия стальной арматуры. Следовательно, использование некоррозийной арматуры может быть эффективным решением для увеличения срока службы железобетонных конструкций. Во многих регионах стержни из армированного волокном полимера (FRP) представляют значительный интерес для инженеров-строителей (строителей) и инженеров-строителей для усиления и армирования бетона в качестве замены стальным стержням. Их высокое отношение прочности к весу, антикоррозионные свойства и простота обращения во время строительства считаются преимуществами для применения в строительных конструкциях.Большое количество структурных исследований с использованием стержней из стеклопластика было выполнено в полевых условиях, и в настоящее время существуют руководящие принципы по проектированию и строительству бетона, армированного стержнями из стеклопластика, такие как Спецификация проектирования мостов AASHTO LRFD, рекомендации ACI 440 и Канадские нормы проектирования [1–1] 3].

    Изгибная способность железобетонных элементов со стержнем из стеклопластика была проблемой при проектировании конструкций из-за относительно низкого модуля упругости, который вызывает больший прогиб и ширину трещин.Таким образом, поведение при изгибе железобетонных элементов с стержнем из стеклопластика должно быть дополнительно исследовано с точки зрения эксплуатационной пригодности. Прогнозирование прогиба — один из наиболее важных критериев при оценке и обеспечении работоспособности бетонного элемента. ACI 318-14 [4] использует уравнение момента инерции на основе уравнения Брэнсона [5] для расчета прогиба железобетонных балок. Недавно ACI 440.1R-15 [2] рекомендовал новую модель момента инерции для железобетонных элементов с стержнем из стеклопластика, которая не была основана на уравнении Брэнсона в отличие от ACI 440.1Р-06 [6]. Уравнение на основе Брэнсона уже давно знакомо большинству инженеров-строителей при проектировании изгибаемых бетонных элементов. Для железобетонных элементов с стержнем из стеклопластика уравнение Брэнсона было изменено для максимально точного прогнозирования прогиба. Существенные изменения заключались в корректировке мощности и добавлении параметра.

    В этом исследовании мы предлагаем модифицированный эффективный момент инерции и провели сравнительное исследование в отношении поведения прогиба ж / б балок с стержнем из стеклопластика с экспериментальными испытаниями.Для сравнительного исследования были рассмотрены шесть уравнений, в том числе некоторые из индивидуальных исследований. Предлагаемая модель была разработана на основе уравнения Брэнсона, чтобы обеспечить знакомый подход к вычислению момента инерции для R / C балок с стержнем из стеклопластика. Эта модель была эмпирически изменена в соответствии с результатами испытаний шести образцов для испытаний с переменными коэффициентом усиления. Для лучшего прогнозирования прогиба до достижения предельной прочности был введен эмпирический нелинейный параметр, чтобы уменьшить влияние момента инерции трещины.Среди уравнений была проанализирована степень точности предсказания поведения отклонения для нового момента инерции, предложенная в этом исследовании, и обсуждалась предсказуемость.

    2. Существующие и предлагаемые уравнения момента инерции для изгибаемых стержней из армированного стеклопластиком бетона

    Уравнение Брэнсона обычно недооценивает прогиб балок из армированного стеклопластом бетона. Benmokrane et al. [7] изменили уравнение, чтобы сделать его более подходящим для оценки прогиба армированных FRP балок на основе экспериментальных данных.Уравнение выглядит следующим образом: где — общий момент инерции ( 4 мм), — момент инерции трансформированного сечения с трещиной ( 4 мм), — момент растрескивания (Н · м) и — максимальное значение. рабочий момент нагрузки в стержне (Н · м).

    Заметная разница заключается в модификации и. отражает уменьшенное композитное действие между бетоном и стержнями FRP. Однако не имеет физического значения, потому что не было оснований для уменьшения. и были 0.84 и 7 соответственно.

    ACI 440.1R-06 [6] рекомендовал уравнение для эффективного момента инерции, основанное на модели Брэнсона. Был дополнительный фактор для рассмотрения уменьшенной жесткости при растяжении железобетонных элементов из FRP. Эта модель обычно использовалась для расчета момента инерции элементов из армированного стеклопластом бетона, чтобы можно было рассчитать прогиб секции с трещинами: где — коэффициент уменьшения, связанный с уменьшенной жесткостью при растяжении, проявляемой элементом R / C с FRP. bar () — коэффициент армирования стержня из стеклопластика и сбалансированный коэффициент армирования стержня из стеклопластика.

    Toutanji и Saafi [9] эмпирически предложили уравнение для эффективного момента инерции для железобетонной балки с стержнем из стеклопластика. Их уравнение сосредоточено на коэффициенте модификации мощности в (1). Фактор был основан на применении коэффициента модуля к коэффициенту усиления стержня из стеклопластика. Изменяя только степень, традиционная форма уравнения, знакомая инженерам-строителям, была сохранена. Уравнение хорошо предсказало прогиб испытанных ж / б балок с GFRP.Посмотрим где.

    Для канадских норм для железобетонных элементов с стержнем из стеклопластика CAN / CSA S806-12 [3] предлагает следующее уравнение (см. (4)) для расчета прогиба. Уравнение было основано на обычном уравнении для расчета прогиба при четырехточечной нагрузке. Он использует момент инерции при трещине, в то время как ACI 440.1R-15 [2] использует эффективный момент инерции. Однако были включены дополнительные члены уравнения, относящиеся к пролету сдвига, длине пролета и длине без трещин в половине балки.Это уравнение требует интенсивных вычислений, допускающих человеческую ошибку; таким образом, код также предоставляет уравнения в замкнутой форме для общих условий нагрузки и поддержки. Следовательно, где — пролет сдвига (мм), — общая приложенная нагрузка (Н), — длина пролета (мм), — длина без трещин в половине балки (мм) (), — это модуль упругости бетон (МПа),.

    Недавно была предложена другая полуэмпирическая модель путем модификации уравнения Брэнсона в соответствии с экспериментальными результатами и подходом на основе генетического алгоритма [10].Для лучшего прогноза некоторые факторы были разработаны эмпирически. Модель, которая имеет два множителя и экспоненциальный фактор, была проанализирована с использованием экспериментальных данных для 55 армированных FRP балок для зависимости нагрузки от прогиба. Влияние модуля упругости стержней из стеклопластика, коэффициента армирования и уровня нагрузки на мощность в уравнении Брэнсона учитывается в (5) следующим образом: где, — модуль упругости стержня из стеклопластика (МПа), и — модуль упругости стального стержня (МПа).

    ACI 440.1R-15 [2] предложил уравнение для расчета эффективного момента инерции для железобетонных балок с стержнем из стеклопластика. Это уравнение основано на подходе, предложенном Бишоффом, который представляет собой средневзвешенное значение гибкости (), как показано в (6). Сообщалось, что уравнение одинаково хорошо работает как для стальных, так и для армированных стеклопластиком элементов без эмпирического параметра [11]. Следовательно, где — параметр, учитывающий изменение жесткости по длине элемента при четырехточечном изгибе.Следовательно, Intelligent Sensing для инновационных конструкций [12] рекомендовал следующий (8) эффективный момент инерции для балок из армированного стержнем из стеклопластика. Это уравнение добавило дополнительные корректирующие члены в модифицированное уравнение Брэнсона с большим количеством экспериментальных данных. Обозначения введены выше в уравнениях от (1) до (6). Здесь

    3. Экспериментальные испытания
    3.1. Описание стержня из стеклопластика

    Арматурный стержень из стеклопластика, используемый в данном исследовании, представляет собой развитую арматуру, имеющую внешнюю форму, аналогичную обычной стальной арматуре.Он состоит из непрерывных продольных стекловолокон с объемной долей 67% в термореактивной эпоксидной смоле. Был принят типичный процесс пултрузии. Чтобы повысить сопротивление сдвигу при склеивании, на сердечнике из стеклопластика были сформированы ребра из фрезерованного стекловолокна. Для формирования волоконных ребер в процессе отверждения использовалась стальная форма. Ребристая секция стержня из стеклопластика была изготовлена ​​путем смешивания измельченного стекловолокна и эпоксидной смолы в соотношении 1: 1 по весу и отверждена в течение 15 минут при температуре выше 160 ° C. Детали внешней формы стержня из стеклопластика с волоконными ребрами были предоставлены Джу и О [8] (рис. 1 (б)).


    (a) Детализация арматурного стержня GFRP
    (b) Рисунок поверхности арматурного стержня GFRP
    (a) Детализация арматурного стержня GFRP
    (b) Рисунок поверхности арматурного стержня GFRP0002 907FR 9 стержень, используемый для области растяжения, имел номинальный диаметр 9,53 мм. Испытания на растяжение были проведены с восемью образцами для испытаний в соответствии с ACI 440.3R-04 [13]. Образцы на растяжение были загружены через толстые пластины на закрепленных концах. Использовалась универсальная испытательная машина (UTM) грузоподъемностью 2000 кН, скорость нагружения составляла 17.8 кН / мин. Среди испытанных образцов максимальная прочность на разрыв составила 871,4 МПа. В таблице 1 приведены значения прочности на разрыв стержня из стеклопластика. Расчетный гарантированный предел прочности на разрыв со стандартным отклонением составил 616,0 МПа. Расчетная прочность на растяжение была рассчитана путем умножения фактора снижения воздействия окружающей среды (0,7, для внешнего воздействия) в соответствии с ACI 440.1R-15 [2], что дало 539,1 МПа. Модуль упругости оказался равным 42,9 ГПа в пределах общего диапазона модуля упругости стержней из стеклопластика.

    9019 9019 [2]: среднее — 3 стандартных отклонения.
    Коэффициент снижения воздействия на окружающую среду () применяется равным 0,7, при воздействии земли и погодных условий.

    Средняя прочность на разрыв (МПа) Гарантированная прочность на разрыв (МПа) Гарантированная предельная деформация (%) Расчетная прочность на разрыв (МПа) Расчетная деформация на разрыв Модуль упругости (ГПа)

    841,0 ± 23,6 770,2 1,65 539,1 1,16
    3.2. Испытательная установка

    Для стержня из стеклопластика обычная конструкция пластичности, используемая для стальных стержней, не подходит из-за отсутствия предела текучести. Три типа ж / б балок с стержнем из стеклопластика были разработаны в соответствии с ACI 440.1R-15 [2]: разрыв из стеклопластика (FB-1), сбалансированный (FB-2) и разрушение при раздавливании бетона (FB-3). Были использованы три различных количества продольного арматурного стержня из стеклопластика: 2D10 для FB-2, 3D10 для FB-3 и 4D10 для FB-4.D указывает номинальный диаметр стержня из стеклопластика. Для уравновешенного FB-2 это можно рассматривать как разрушение FRP с дроблением бетона. Каждый образец состоял из двух одинаковых балок. Испытание на изгиб проводилось четырехточечным изгибом. На Рисунке 2 показаны испытательная установка и подробные сведения об измерениях. Размеры испытательных балок были следующими: ширина 180 мм, глубина 230 мм и длина 2000 мм. Чистый пролет составлял 1600 мм. Предел прочности на сдвиг, который может определять регулируемое поведение изгибной балки, был рассчитан между 3.7 и 3,9; таким образом, балка считалась подверженной изгибу. Чтобы контролировать структурное поведение балки, на нижней поверхности бетона в средней части были установлены линейные переменные дифференциальные трансформаторы (LVDT). Два тензодатчика электрического сопротивления были прикреплены к поверхности центрированного стержня из стеклопластика для FB-2 и внешнего стержня из стеклопластика для FB-1 и FB-3 в средней части. Две нагрузки были автоматически приложены к балке со скоростью 2 кН в минуту с помощью погрузочной машины MTS.Все данные (силы, деформации и отклонения) были собраны автоматизированной системой сбора данных. Для ширины трещины использовалась мера трещины, и ширина трещины исследовалась визуально на отдельном этапе нагружения. Для бетона средняя 28-дневная прочность на сжатие составила 27,0 МПа, а предел прочности бетона на изгиб при растяжении составлял приблизительно 2,4 МПа.


    3.3. Результаты испытаний на изгиб и обсуждение

    Разрушение при изгибе и структура трещин показаны на Рисунке 3.Образцы не выдержали типичного разрушения при изгибе. FB-1 показал растрескивающую нагрузку 12,0 кН. Разрушение было обусловлено разрывом стержней из стеклопластика. Максимальная ширина трещины в средней части была исследована визуально и составила 0,9 мм. Образец FB-2 изначально разрушился из-за раздавливания бетона, а затем окончательно разрушился из-за разрыва стержня из стеклопластика. Следовательно, разрушения показали разрушение при сжатии и растяжении с разрывом стержня из стеклопластика, а максимальная ширина трещины составила 0,7 мм. В случае образца FB-3 он показал обычное разрушение бетона при раздавливании без разрыва стержня из стеклопластика.Максимальная ширина трещины была измерена как 0,4 мм в средней части. Для изгибной способности было обнаружено, что расчетные режимы отказа представляют экспериментальные режимы отказа, и ширина трещины была уменьшена по мере увеличения коэффициента усиления. Трещины в зоне изгиба преимущественно состояли из вертикальных трещин, перпендикулярных направлению максимального главного напряжения, вызванного чистым изгибающим моментом. Трещины возникли в середине пролета, а затем распространились по направлению к опорам.

    Со временем напряжение сдвига стало более важным и привело к появлению наклонных трещин. При достижении предела прочности трещины при изгибе распространялись по направлению к точкам нагрузки на сжимаемой поверхности балок. Все испытательные балки показали значительные изгибные трещины до того, как наклонные трещины присоединились к изгибным трещинам. Для аналитического подхода в отношении номинального изгибающего момента использовалось уравнение из ACI 440.1R-15 [2] с изменяющимся коэффициентом усиления. Когда контролирующим предельным состоянием является разрыв стержня из стеклопластика, и можно рассчитать номинальную прочность на изгиб.На основе равновесия сил и совместимости деформаций можно получить (10). В противном случае, когда расчетная прочность на растяжение () в (10) изменяется на напряжение в FRP () при растяжении (см. (9)). В таблице 2 показаны экспериментально и аналитически полученные значения момента прочности на изгиб R / C балок с стержнем из стеклопластика. Теоретическая сила момента была оценена и была примерно на 20% ниже, чем сила момента в экспериментальных испытаниях. Это может быть связано с отклонениями из-за небольшого количества образцов для испытаний.Тем не менее, расчетная моментная сила вполне может отражать несущую способность конструкции в качестве консервативного прогноза. Для жесткости конструкции, определенной путем деления средней нагрузки на средний прогиб при предельной прочности, FB-1, FB-2 и FB-3 показали значения 1,58, 1,65 и 2,78 соответственно. Было обнаружено, что жесткость конструкции увеличивается в соответствии с увеличением степени армирования стержня из стеклопластика: где — номинальная прочность на изгиб (кН · м), — глубина эквивалентного прямоугольного блока напряжений (мм), — напряжение в Бар из стеклопластика при растяжении (МПа) — это расчетная прочность на растяжение стержня из стеклопластика (МПа), это расчетный или гарантированный модуль (МПа), это предельная деформация в бетоне (0.003), является эмпирическим фактором, представляет собой заданную прочность бетона на сжатие (МПа), представляет собой коэффициент армирования FRP и является сбалансированным коэффициентом армирования FRP, как указано Комитетом 440 ACI [2].

    Напряжение сжатия -3

    Образец Коэффициент усиления (сбалансированный) Средняя нагрузка при начальном растрескивании (кН) Средняя нагрузка в конечном состоянии (кН) Средний прогиб в конечном состоянии (мм) Номинальный момент (эксп.) (кН⋅м) Номинальный момент (кал.) (кН⋅м) Тип отказа

    FB-1 0,00427
    (0,0069)
    12,0 54171 34,4 18,6 13,6 Разрыв стеклопластика
    FB-2 0,0064
    (0,0069)
    10,0 64,8 39,1 9011 9011 9011 9011 9011
    0.00903
    (0,0069)
    12,0 74,0 26,6 25,4 21,0 Разрушение бетона

    Расчет прогиба с использованием предложенного прогиба 4. Существующие модели для расчета эффективного момента инерции

    В этой статье предлагается полуэмпирическая модель прогнозирования эффективного момента инерции. Модель основана на уравнении Брэнсона, а методология модификации следовала эмпирическому подходу Тутанжи и Саафи [9].Как показано на рисунке 4, на прогиб R / C балки со стержнями из стеклопластика повлияло соотношение армирования стержней из стеклопластика, а также модуль упругости стержня из стеклопластика. Примечательным параметром, отражающим нелинейное поведение R / C балок с стержнем из стеклопластика, эмпирически считается, что он обеспечивает хорошее согласие с экспериментальными испытаниями в этом исследовании (см. (11)). Этот фактор был использован для уменьшения влияния момента инерции трещин для железобетонного элемента, включая более низкий коэффициент усиления и модуль упругости для стержня из стеклопластика.Этот рассматриваемый параметр является коэффициентом аппроксимации кривой. Его концепция была получена эмпирически путем исследования результатов зависимости момент-прогиб из уравнения, которое прокомментировано выше в этом исследовании. На рисунке 6 рассматриваемые уравнения показали жесткую кривую как билинейное поведение вплоть до разрушения испытуемого образца. Однако результат испытания показал нелинейное поведение вплоть до отказа, так что можно было оценить необходимость уменьшения коэффициента для хорошего соответствия кривой экспериментальным результатам.Это привело к уменьшению эффективного момента инерции, так что расчетный прогиб увеличивался в соответствии с увеличением приложенной нагрузки. Рисунок 4 иллюстрирует основную концепцию рассмотрения в предлагаемой модели. Используя, можно немного смягчить жесткость отклонения. Эта аналитическая концепция может быть более подходящей для бетонного элемента, армированного материалом с более низким коэффициентом армирования и модулем упругости: где и — нелинейный параметр.


    Всего было исследовано шесть кодов и разработанных уравнений для сравнительного исследования момента инерции и отклонения нагрузки в соответствии с экспериментальными испытаниями и моделью, предложенной в этом исследовании. Для этого репрезентативный образец для каждой группы армирования был рассмотрен для сравнительного исследования из-за их сходства с результатами испытаний. Есть некоторые исследования, показывающие, что оценка структурной способности FRP стержневой железобетонной балки с использованием только одного репрезентативного образца для каждой группы армирования была успешно проведена [14, 15].На рисунке 5 показаны результаты сравнительного исследования эффективного момента инерции. Существует заметное расхождение между экспериментом и уравнением, приближающееся к приложенному моменту 5 кН · м. Комитет ACI 440 [6], Toutanji и Saafi [9] и предложенная модель показали лучшее согласие с хорошим нелинейным предсказанием экспериментально полученного эффективного момента инерции после растрескивания бетона. Другие уравнения, например, ACI Committee 440 [2], ISIS Canada [12], Mousavi et al.[10] и Benmokrane et al. [7], показали большие падения полного момента инерции () после растрескивания бетона. Они плохо отражают поведение упрочнения экспериментальных результатов. Две модели прогнозирования, модифицированные на основе уравнения Брэнсона, показали хорошее согласие с экспериментальными результатами, в то время как две другие модели с модифицированными уравнениями Брэнсона показали относительно большие расхождения. Это было вызвано применением эмпирических параметров, таких как степень или постоянные умножения.



    На рис. 6 показана кривая момента и прогиба в середине пролета для образца FB-1, который состоял из двух ж / б балок со стержнем из стеклопластика. За исключением Toutanji и Saafi [9], ACI 440 Committee [6] и Benmokrane et al. [7], поведение пластичности было обнаружено после растрескивания. Эти уравнения недооценивают растрескивание образца FB-1, в то время как экспериментальные результаты показывают поведение упрочнения с приложенным моментом. Уравнение Мусави и др. [10] показали самую высокую жесткость при прогнозировании прогиба.Они использовали почти одинаковую постоянную умножения для полного и разорванного моментов инерции; однако мощность была иной, чем у Benmokrane et al. [7]. Это различие может сделать жесткость на изгиб при прогнозировании отклонения более расслабленной, чем у Benmokrane et al. [7].

    Комитет ACI 440 [6] и Тутанджи и Саафи [9] показали хорошее соответствие поведения отклонения примерно до половины приложенного момента; однако после этапа нагружения эти модели вели себя как линейно-зависимый прогноз прогиба.Таким образом, разница в прогнозе прогиба увеличивалась до конечного момента. Для предложенного уравнения с нелинейным параметром было обнаружено, что оно лучше всего предсказывает поведение отклонения в экспериментальных испытаниях до отказа. На рисунках 7–10 аналитические кривые силы приложенного момента инерции и момент-прогиб, полученные из шести уравнений и предложенной модели, сравниваются с экспериментальными результатами для образцов FB-2 и FB-3. Тенденции в предсказании прогиба были аналогичны таковому для образца FB-1, где Комитет ACI 440 [6], Toutanji и Saafi [9], и предложенные модели все же показали лучшее согласие с хорошими нелинейными предсказаниями экспериментальных полученный эффективный момент инерции после растрескивания бетона.Экспериментальные кривые момент-прогиб FB-2 и FB-3 не показали хорошего согласия с аналитическими кривыми, полученными из шести рассмотренных здесь уравнений, но хорошо согласуются с предложенной моделью.





    Шесть уравнений оценивали реакцию на отклонение момента, которая была линейной по сравнению с фактической реакцией образцов для испытаний после растрескивания до достижения предела прочности. В отличие от ACI 440.1R-06 [6], Toutanji and Saafi [9] и предложенной модели, другие уравнения не отражали эффект жесткости при растяжении испытательных образцов до примерно половины предела прочности.Причина может заключаться в том, что уравнения оценивают эффективный момент инерции как намного меньший, чем у испытуемого образца до стадии нагружения, а затем они отвечают прогнозом линейного упрочнения до предела прочности. Предложенная модель, однако, хорошо представляла отклик на отклонение от момента, даже с нелинейным поведением, до предела прочности.

    5. Сравнительное исследование для проверки предложенной модели

    Чтобы оценить универсальность предложенной модели, были рассмотрены некоторые из предыдущих результатов испытаний: образец A1 от Aiello и Ombres [16], образец BC2HA от Thériault и Benmokrane [17] ], образец F1 из Pecce et al.[18], серия образцов 1 из Benmokrane et al. [7], а также образцы группы 2 из Al-Salloum et al. [19]. Кроме того, испытанные образцы, FB-1, FB-2 и FB-3, из этого исследования также были сравнены в соответствии с порядком вычисленного значения эквивалентного отношения армирования с отношением модулей,. нормализовал отношение армирования стержня из стеклопластика к свойствам стального стержня и должен быть важным показателем для исследования валидации поведения момента отклонения с помощью предлагаемой модели. Критерии применения могут быть определены для оценки структурного поведения бетонных балок, армированных с различными соотношениями армирования.На рисунке 11 показаны результаты сравнительного исследования с использованием предложенной модели. Результаты показали, что предложенная модель разумно описывает поведение момента отклонения рассматриваемых испытательных образцов, когда он изменялся от 0,00068 до 0,006. Однако предложенная модель показала завышенную оценку, которая была увеличена, например, до 0,006 для группы 2, так что границы приложения должны быть исследованы дополнительно. Серия FB показала относительно хорошее согласие с экспериментальными испытаниями благодаря эталонным образцам, использованным в этом исследовании.


    Для других образцов восходящий тренд был хорошо описан экспериментальными результатами, и после появления трещин были обнаружены некоторые расхождения. Есть некоторые влияющие параметры, такие как свойства бетона, размерный эффект и тип стержня для свойства склеивания. В частности, характеристики сцепления стержня из стеклопластика в бетонной балке могут больше зависеть от изгибных нагрузок, чем от одноосной растягивающей нагрузки из-за различной обработки поверхности, включая свойство химической адгезии.Дальнейший точный анализ этого требует экспериментального и аналитического исследования.

    6. Выводы

    В этом исследовании мы провели экспериментальные и аналитические исследования, чтобы оценить способность к изгибу и соотношение момент-прогиб бетонных балок, армированных стержнями из стеклопластика. Предложенная модель, предложенная для эффективного момента инерции R / C балок с стержнем из стеклопластика, могла бы разумно описать соотношение момент-отклонение. Сделанные выводы заключаются в следующем: (i) Это исследование предложило новое уравнение для эффективного момента инерции для бетонных балок, армированных стержнями из стеклопластика.Новое уравнение было модифицировано из уравнения Брэнсона, которое давно используется в этой области инженерами-строителями. Мощность была изменена на основе уравнения Тутанджи и Саафи [9], а также введен нелинейный параметр. Этот фактор использовался, чтобы уменьшить влияние момента инерции трещины для бетонного элемента, армированного с более низким коэффициентом армирования и материала с более низким модулем упругости. Для сравнения с экспериментальными испытаниями были спроектированы и испытаны три типа ж / б балок с стержнем из стеклопластика.Была оценена предсказуемость предложенной модели. (Ii) В сравнительном исследовании использовались шесть уравнений и предложенная модель для расчета эффективного момента инерции и зависимости приложенного момента, и было обнаружено, что уравнения ACI 440.1R-06 [6], Toutanji и Саафи [9], и предложенные модели показали лучшее согласие с экспериментальными результатами. Остальные три уравнения значительно занижали момент инерции сразу после растрескивания бетона. На основе этого результата было подтверждено, что эмпирическая модификация, основанная на уравнении Брэнсона, действительна для прогнозирования эффективного момента инерции и приложенного момента балок R / C с стержнем из стеклопластика.(iii) Для предсказания прогиба в экспериментальных испытаниях предложенная модель показала лучшую предсказуемость среди рассмотренных уравнений. Новая модель показала лучшее согласие с поведением прогиба балки из армированного стеклопластиком бетона до предела прочности, даже в отношении нелинейного поведения. Чтобы оценить универсальность предложенной модели, было проведено сравнительное исследование с использованием результатов предыдущих испытаний, а также результатов этого исследования в отношении отношения момент-прогиб.Для дальнейшего изучения, в отношении разницы в свойствах сцепления стержней из стеклопластика, предложенная модель могла бы разумно описать соотношение момент-прогиб для результатов испытаний, рассмотренных в предыдущем исследовании, и результатов испытаний в этом исследовании. (Iv) Это исследование подтвердило предсказуемость предложенной модели по эффективному моменту инерции. Было обнаружено, что применима методология модификации с эмпирическим подходом. Что касается будущих исследований, важно провести сравнительное исследование с различными соотношениями армирования, связующими свойствами стержней из стеклопластика и размерными эффектами бетонных балок.

    Конкурирующие интересы

    Авторы заявляют, что у них нет конкурирующих интересов.

    Благодарности

    Работа поддержана грантом (2015R1A2A2A01005286) Национального исследовательского фонда Кореи (NRF) и грантом (16CTAP-C117247-01) программы НИОКР Министерства земли, инфраструктуры и транспорта Правительство Кореи.

    Формула прогиба балок со схемами для любых условий.

    , когда есть вертикальное смещение в любой точке нагруженной балки, это называется отклонением балок .Максимальный прогиб балок происходит при нулевом уклоне.

    Наклон луча определяется как угол между отклоненным лучом и фактическим лучом в той же точке.

    Общие и стандартные уравнения прогиба балок приведены ниже:

    Где,
    M = изгибающий момент,
    E = модуль Юнга,
    I = момент инерции.

    Продукт E.I известен как жесткость на изгиб.

    Есть много типов балок, и для этих разных типов балок или случаев формула не будет одинаковой. Его необходимо модифицировать в зависимости от корпуса или типа балки. Теперь рассмотрим следующие случаи.

    Различные типы случаев прогиба балок.

    1. Балка с простой опорой и центральной точечной нагрузкой:

    Балка с простой опорой AB длиной l несет точечную нагрузку в центре балки при C. Прогиб в точке C составит:

    2. Балка с простой опорой и эксцентричной точечной нагрузкой:

    Балка с простой опорой AB длиной l несет эксцентрическую точечную нагрузку при C , как показано на рис. Прогиб балки определяется следующим образом:

    Поскольку b> a , поэтому максимальное отклонение происходит в CB , а его расстояние от B определяется по формуле:

    , а максимальное отклонение определяется по формуле:




    3.Балка с простой опорой и равномерно распределенной нагрузкой:

    Балка с простой опорой AB с равномерно распределенной нагрузкой w / единицу длины показана на рисунке ,

    Максимальный прогиб происходит в средней точке C и определяется по формуле:

    4. Балка с простой опорой и постепенно изменяющейся нагрузкой:

    Легкоопорная балка из AB длиной l , несущая постепенно изменяющуюся нагрузку от нуля при B до с / на единицу длины при A , показана на рис.

    ниже.

    Максимальный прогиб балки происходит, когда x = 0.519 l и его значение определяется по формуле:

    5. Консольная балка с точечной нагрузкой на свободном конце:

    Консольная балка AB длиной l , несущая точечную нагрузку на свободном конце, показана на рис. Прогиб в любом сечении X на расстоянии x от свободного конца определяется по формуле:

    Максимальный прогиб происходит на свободном конце (когда x = 0 ), и его значение равно

    6.Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой:




    Консольная балка AB длиной l , несущая равномерно распределенную нагрузку на единицу длины, показана на рис. Прогиб в любом сечении X на расстоянии x от B определяется выражением

    Максимальный прогиб происходит на свободном конце (когда x = 0), и его значение равно

    .

    Когда консоль частично нагружена, как показано на рисунке, прогиб в точке C (на расстоянии от неподвижного конца) определяется по формуле:

    , а максимальное отклонение происходит при B , значение которого равно

    .

    7.Консольная балка с постепенно изменяющейся нагрузкой:

    Консольная балка AB длиной l , несущая постепенно изменяющуюся нагрузку от нуля при B до с / на единицу длины при A , показана на рис. Прогиб в любом сечении X на расстоянии x от B определяется как

    Максимальный прогиб происходит на свободном конце (когда x = 0), и его значение равно

    .

    8.Фиксированная балка, несущая центральную точечную нагрузку:

    Неподвижная балка AB длиной l , несущая точечную нагрузку в центре балки C , как показано на рис. Максимальный прогиб балки происходит при C, и его значение равно

    .

    9. Неподвижная балка, несущая эксцентрическую нагрузку:

    Неподвижная балка AB длиной l , несущая эксцентрическую точечную нагрузку при C , как показано на рис.Прогиб в любом сечении X на расстоянии x от A определяется как

    Максимальное расстояние достигается, когда,




    Отсюда Максимальный прогиб балки,

    и прогиб под нагрузкой при C ,

    10. Фиксированная балка, несущая равномерно распределенную нагрузку:

    Неподвижная балка AB длиной l , несущая равномерно распределенную нагрузку на единицу длины, как показано на рис.Прогиб в любом сечении X на на расстоянии x от A определяется как

    Максимальный прогиб балки происходит в центре балки, и его значение равно

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.